Уменьшенное кольцо

Кольцо без ненулевых нильпотентных элементов

В теории колец , разделе математики , кольцо называется редуцированным , если оно не имеет ненулевых нильпотентных элементов. Эквивалентно, кольцо является редуцированным, если оно не имеет ненулевых элементов с квадратом ноль, то есть x ²  = 0 влечет x  = 0. Коммутативная алгебра над коммутативным кольцом называется редуцированной алгеброй, если ее базовое кольцо является редуцированным.

Нильпотентные элементы коммутативного кольца R образуют идеал кольца R , называемый нильрадикалом кольца R ; поэтому коммутативное кольцо является редуцированным тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю . Более того, коммутативное кольцо является редуцированным тогда и только тогда, когда единственный элемент, содержащийся во всех простых идеалах, является нулем.

Фактор -кольцо R / I является редуцированным тогда и только тогда, когда I является радикальным идеалом .

Пусть обозначает нильрадикал коммутативного кольца . Существует функтор категории коммутативных колец в категорию приведенных колец и он является левым сопряженным к функтору включения в . Естественная биекция индуцируется из универсального свойства факторколец . ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\mapsto R/{\mathcal {N}}_{R}}$ ${\displaystyle {\text{Crng}}}$ ${\displaystyle {\text{Red}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\text{Red}}}$ ${\displaystyle {\text{Crng}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\text{Red}}(R/{\mathcal {N}}_{R},S)\cong {\text{Hom}}_{\text{Crng}}(R,I(S))}$

Пусть D — множество всех делителей нуля в редуцированном кольце R. Тогда D — объединение всех минимальных простых идеалов . ^[1]

Над нётеровым кольцом R мы говорим, что конечно порождённый модуль M имеет локально постоянный ранг, если является локально постоянной (или эквивалентно непрерывной) функцией на Spec R. Тогда R редуцируется тогда и только тогда, когда каждый конечно порождённый модуль локально постоянного ранга является проективным . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto \operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M\otimes k({\mathfrak {p}}))}$ 

Примеры и не примеры

• Подкольца , произведения и локализации редуцированных колец снова являются редуцированными кольцами.
• Кольцо целых чисел Z является редуцированным кольцом. Каждое поле и каждое кольцо многочленов над полем (от произвольного числа переменных) является редуцированным кольцом.
• В более общем смысле, каждая область целостности является редуцированным кольцом, поскольку нильпотентный элемент a fortiori является делителем нуля . С другой стороны, не каждое редуцированное кольцо является областью целостности; например, кольцо Z [ x ,  y ]/( xy ) содержит x + ( xy ) и y + ( xy ) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов. В качестве другого примера, кольцо Z  ×  Z содержит (1, 0) и (0, 1) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов.
• Кольцо Z /6 Z является редуцированным, однако Z /4 Z не является редуцированным: класс 2 + 4 Z является нильпотентным. В общем случае Z / n Z является редуцированным тогда и только тогда, когда n  = 0 или n является свободным от квадратов .
• Если R — коммутативное кольцо и N — его нильрадикал , то фактор-кольцо R / N является редуцированным.
• Коммутативное кольцо R простой характеристики p является редуцированным тогда и только тогда, когда его эндоморфизм Фробениуса инъективен (ср. Совершенное поле ).

Обобщения

Редуцированные кольца играют элементарную роль в алгебраической геометрии , где это понятие обобщается до понятия редуцированной схемы .

Смотрите также

• Полное кольцо частных § Полное кольцо дробей редуцированного кольца

Примечания

1. Доказательство: пусть — все (возможно, нулевые) минимальные простые идеалы. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

   ${\displaystyle D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:}$Пусть x находится в D . Тогда xy = 0 для некоторого ненулевого y . Поскольку R приведено, (0) является пересечением всех и, таким образом, y не находится в некотором . Поскольку xy находится во всех ; в частности, в , x находится в . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

   ${\displaystyle D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:}$(украдено из Капланского, коммутативные кольца, теорема 84). Опускаем индекс i . Пусть . S мультипликативно замкнуто, поэтому мы можем рассмотреть локализацию . Пусть будет прообразом максимального идеала. Тогда содержится как в D , так и в и по минимальности . (Это направление непосредственно, если R является нётеровым по теории ассоциированных простых чисел .) ${\displaystyle S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle R\to R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}}$

2. Эйзенбуд 1995, Упражнение 20.13.

Ссылки

• Н. Бурбаки , Коммутативная алгебра , Герман Париж, 1972, гл. II, § 2.7
• Н. Бурбаки , Алгебра , Springer 1990, гл. V, § 6.7
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию . Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94268-8.