Первичный идеал

В математике , в частности в коммутативной алгебре , собственный идеал Q коммутативного кольца A называется первичным , если всякий раз, когда xy является элементом Q, то x или y ⁿ также являются элементами Q для некоторого n  > 0. Например, в кольце целых чисел Z ( p ⁿ ) является первичным идеалом, если p является простым числом .

Понятие первичных идеалов важно в теории коммутативных колец, поскольку каждый идеал нётерова кольца имеет первичное разложение , то есть может быть записан как пересечение конечного числа первичных идеалов. Этот результат известен как теорема Ласкера–Нётер . Следовательно, ^[1] неприводимый идеал нётерова кольца является первичным.

Существуют различные методы обобщения первичных идеалов на некоммутативные кольца, ^[2], но чаще всего эта тема изучается для коммутативных колец. Поэтому кольца в этой статье предполагаются коммутативными кольцами с единицей.

Примеры и свойства

• Определение можно перефразировать более симметрично: собственный идеал является первичным, если всякий раз, когда , мы имеем или или . (Здесь обозначает радикал . ) ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle xy\in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle y\in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle x,y\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$
• Собственный идеал Q из R является первичным тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в R / Q нильпотентен. (Сравните это со случаем простых идеалов, где P является простым тогда и только тогда, когда каждый делитель нуля в R / P на самом деле равен нулю.)
• Любой простой идеал является первичным, и, более того, идеал является простым тогда и только тогда, когда он является первичным и полупервичным (также называется радикальным идеалом в коммутативном случае).
• Каждый первичный идеал является первичным . ^[3]
• Если Q — первичный идеал, то радикал Q обязательно является первичным идеалом P , и этот идеал называется ассоциированным первичным идеалом Q. В этой ситуации Q называется P -первичным .
  • С другой стороны, идеал, радикал которого является простым, не обязательно является простым: например, если , , и , то является простым и , но у нас есть , , и для всех n > 0, поэтому не является простым. Первичное разложение имеет вид ; здесь является -первичным и является -первичным. ${\displaystyle R=k[x,y,z]/(xy-z^{2})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=({\overline {x}},{\overline {z}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\mathfrak {q}}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}{\overline {y}}={\overline {z}}^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}={\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}\not \in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\overline {y}}^{n}\not \in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle ({\overline {x}})\cap ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$ ${\displaystyle ({\overline {x}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle ({\overline {x}}^{2},{\overline {x}}{\overline {z}},{\overline {y}})}$ ${\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}})}$
    • Однако идеал, радикал которого максимален , является первичным.
    • Каждый идеал Q с радикалом P содержится в наименьшем P -примарном идеале: всех элементах a таких , что ax  ∈  Q для некоторого x  ∉  P. Наименьший P -примарный идеал, содержащий P ^{n ,} называется n -й символической степенью P .
• Если P — максимальный простой идеал, то любой идеал, содержащий степень P , является P -первичным. Не все P -первичные идеалы обязаны быть степенями P , но по крайней мере они содержат степень P; например, идеал ( x ,  y ² ) является P -первичным для идеала P  = ( x ,  y ) в кольце k [ x ,  y ], но не является степенью P , однако он содержит P².
• Если A — нётерово кольцо , а P — простой идеал, то ядро ​​, отображение из A в локализацию A в P , является пересечением всех P -первичных идеалов. ^[4] ${\displaystyle A\to A_{P}}$
• Конечное непустое произведение -первичных идеалов является -первичным, но бесконечное произведение -первичных идеалов может не быть -первичным; например, в нётеровом локальном кольце с максимальным идеалом , ( теорема пересечения Крулля ), где каждый является -первичным, например, бесконечное произведение максимального (и, следовательно, первичного и, следовательно, первичного) идеала локального кольца даёт нулевой идеал, который в этом случае не является первичным (потому что делитель нуля не является нильпотентным). Фактически, в нётеровом кольце непустое произведение -первичных идеалов является -первичным тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число такое, что . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \cap _{n>0}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle m=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle K[x,y]/\langle x^{2},xy\rangle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}\subset \cap _{i}Q_{i}}$

Сноски

1. Если быть точным, этот факт обычно используют для доказательства теоремы.
2. См. ссылки на Чаттерса–Хаджарнависа, Голдмана, Гортона–Хезерли и Лесье–Круазо.
3. Доказательство второй части см. в статье Фукса.
4. Атья – Макдональд, следствие 10.21
5. Бурбаки, Ч. IV, § 2, Упражнение 3.

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, стр. 50, ISBN 978-0-201-40751-8
• Бурбаки, коммутативная алгебра
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1971), «Некоммутативные кольца с примарным разложением», The Quarterly Journal of Mathematics , Вторая серия, 22 : 73–83, doi : 10.1093/qmath/22.1.73, ISSN  0033-5606, MR  0286822
• Голдман, Оскар (1969), «Кольца и модули частных», Журнал алгебры , 13 : 10–47, doi : 10.1016/0021-8693(69)90004-0 , ISSN  0021-8693, MR  0245608
• Гортон, Кристин; Хезерли, Генри (2006), «Обобщенные первичные кольца и идеалы», Mathematica Pannonica , 17 (1): 17–28, ISSN  0865-2090, MR  2215638
• О первичных идеалах, Ладислас Фукс
• Лесье, Л.; Круазо, Р. (1963), Некоммутативная алгебра noethérienne (на французском языке), Mémor. наук. Матем., Fasc. КЛИВ. Gauthier-Villars & Cie, Editeur-Imprimeur-Libraire, Париж, с. 119, МР  0155861

Внешние ссылки

• Первичный идеал в Encyclopaedia of Mathematics