В алгебраической геометрии пример Хиронаки — это некэлерово комплексное многообразие , которое является деформацией кэлеровых многообразий, найденных Хейсуке Хиронакой (1960, 1962). Пример Хиронаки можно использовать для того, чтобы показать, что несколько других правдоподобных утверждений, верных для гладких многообразий размерности не более 2, неверны для гладких многообразий размерности не менее 3.
Возьмем две гладкие кривые C и D в гладком проективном 3-мерном P , пересекающиеся в двух точках c и d , которые являются узлами для приводимой кривой . Для некоторых приложений их следует выбирать так, чтобы существовал автоморфизм без неподвижных точек, меняющий кривые C и D , а также меняющий точки c и d . Пример Хиронаки V получается склеиванием двух квазипроективных многообразий и . Пусть будет многообразием, полученным раздутием вдоль , а затем вдоль строгого преобразования , и пусть будет многообразием, полученным раздутием вдоль D , а затем вдоль строгого преобразования C . Поскольку они изоморфны над , их можно склеить, что приведет к собственному многообразию V . Тогда V имеет две гладкие рациональные кривые L и M , лежащие над c и d , такие, что алгебраически эквивалентно 0, поэтому V не может быть проективным.
Для явного примера этой конфигурации возьмем t как точку порядка 2 на эллиптической кривой E , возьмем P как , возьмем C и D как множества точек вида и , так что c и d являются точками (0,0,0) и , и возьмем инволюцию σ как ту, которая переводит в .
Многообразие Хиронаки является гладким 3-мерным полным многообразием , но не является проективным, поскольку имеет нетривиальную кривую, алгебраически эквивалентную 0. Любое 2-мерное гладкое полное многообразие является проективным, поэтому 3 — это наименьшая возможная размерность для такого примера. Существует множество 2-мерных комплексных многообразий, которые не являются алгебраическими, например, поверхности Хопфа (не кэлеровы) и неалгебраические торы (кэлеровы).
В проективном многообразии ненулевой эффективный цикл имеет ненулевую степень, поэтому не может быть алгебраически эквивалентен 0. В примере Хиронаки эффективный цикл, состоящий из двух исключительных кривых, алгебраически эквивалентен 0.
Если одной из кривых D в конструкции Хиронаки разрешено варьироваться в семействе таким образом, что большинство кривых семейства не пересекают D , то получается семейство многообразий, большинство из которых проективны, но одно — нет. Над комплексными числами это дает деформацию гладких кэлеровых (на самом деле проективных) многообразий, которая не является кэлеровой. Это семейство тривиально в гладкой категории, поэтому, в частности, существуют кэлеровы и некэлеровы гладкие компактные 3-мерные комплексные многообразия, которые являются диффеоморфными.
Выберем C и D так, чтобы P имел автоморфизм σ порядка 2, действующий свободно на P и меняющий C и D , а также меняющий c и d . Тогда фактор V по действию σ является гладким 3-мерным алгебраическим пространством с неприводимой кривой, алгебраически эквивалентной 0. Это означает, что фактор является гладким 3-мерным алгебраическим пространством, не являющимся схемой .
Если предыдущая конструкция выполнена с комплексными многообразиями, а не с алгебраическими пространствами, то она дает пример гладкого 3-мерного компактного многообразия Мойшезона , которое не является абстрактным многообразием. Многообразие Мойшезона размерности не более 2 обязательно проективно, поэтому 3 — это минимально возможная размерность для этого примера.
Это по сути то же самое, что и предыдущие два примера. Фактор существует как схема, если каждая орбита содержится в аффинной открытой подсхеме; контрпример выше показывает, что это техническое условие не может быть отброшено.
Для квазипроективных многообразий очевидно, что любое конечное подмножество содержится в открытом аффинном подмногообразии. Это свойство не выполняется для примера Хиронаки: двухточечное множество, состоящее из точки в каждой из исключительных кривых, не содержится ни в каком открытом аффинном подмногообразии.
Для многообразия Хиронаки V над комплексными числами с автоморфизмом порядка 2, как указано выше, функтор Гильберта Hilb V / C замкнутых подсхем не представим схемой, по сути, потому что фактор по группе порядка 2 не существует как схема (Nitsure 2005, стр. 112). Другими словами, это дает пример гладкого полного многообразия, схема Гильберта которого не существует. Гротендик показал, что схема Гильберта всегда существует для проективных многообразий.
Выберите нетривиальный Z /2 Z торсор B → A ; например, в характеристике не 2 можно было бы взять A и B как аффинную прямую за вычетом начала координат с отображением из B в A, заданным как x → x 2 . Думайте о B как о открытом покрытии U для этальной топологии. Если V является полной схемой с действием группы порядка 2 без неподвижных точек, то данные спуска для отображения V × B → B задаются подходящим изоморфизмом из V × C в себя, где C = B × A B = B × Z /2 Z . Такой изоморфизм задается действием Z /2 Z на V и C . Если бы эти данные спуска были эффективными, то слои спуска по U давали бы фактор V по действию Z /2 Z . Поэтому, если этот фактор не существует как схема (как в примере выше), то данные спуска неэффективны. См. Вистоли (2005, стр. 103).
Если X — схема конечного типа над полем, то существует естественное отображение дивизоров в линейные расслоения. Если X либо проективно, либо редуцировано, то это отображение сюръективно. Клейман нашел пример нередуцированного и непроективного X , для которого это отображение не сюръективно, следующим образом. Возьмем пример Хиронаки многообразия с двумя рациональными кривыми A и B, такими, что A + B численно эквивалентно 0. Тогда X задается выбором точек a и b на A и B и введением нильпотентных элементов в этих точках.
{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)