В математике , и в частности в аксиоматической теории множеств , принцип алмаза ◊ — это комбинаторный принцип, введенный Рональдом Дженсеном в работе Дженсена (1972), который справедлив в конструируемой вселенной ( L ) и подразумевает гипотезу континуума . Дженсен извлек принцип алмаза из своего доказательства того, что аксиома конструируемости ( V = L ) подразумевает существование дерева Суслина .
Принцип алмаза ◊ гласит, что существует◊-последовательность , семейство множеств A α ⊆ α для α < ω 1 такое, что для любого подмножества A изω 1 множество α с A ∩ α = A α являетсястационарнымв ω 1 .
Существует несколько эквивалентных форм принципа алмаза. Одна утверждает, что существует счетный набор A α подмножеств α для каждого счетного ординала α, такой что для любого подмножества A из ω 1 существует стационарное подмножество C из ω 1, такое что для всех α из C мы имеем A ∩ α ∈ A α и C ∩ α ∈ A α . Другая эквивалентная форма утверждает, что существуют множества A α ⊆ α для α < ω 1, такие что для любого подмножества A из ω 1 существует по крайней мере одно бесконечное α с A ∩ α = A α .
В более общем смысле, для заданного кардинального числа κ и стационарного множества S ⊆ κ утверждение ◊ S (иногда пишется ◊( S ) или ◊ κ ( S ) ) — это утверждение о том, что существует последовательность ⟨ A α : α ∈ S ⟩ такая, что
Принцип ◊ ω 1 такой же, как и ◊ .
Принцип ромба-плюса ◊ + утверждает, что существует ◊ + -последовательность , другими словами, счетный набор A α подмножеств α для каждого счетного ординала α такой, что для любого подмножества A из ω 1 существует замкнутое неограниченное подмножество C из ω 1 такое, что для всех α из C мы имеем A ∩ α ∈ A α и C ∩ α ∈ A α .
Йенсен (1972) показал, что принцип алмаза ◊ подразумевает существование деревьев Суслина . Он также показал, что V = L подразумевает принцип алмаза-плюс, который подразумевает принцип алмаза, который подразумевает CH . В частности, принцип алмаза и принцип алмаза-плюс оба независимы от аксиом ZFC . Также ♣ + CH подразумевает ◊ , но Шелах дал модели ♣ + ¬ CH , поэтому ◊ и ♣ не эквивалентны (скорее, ♣ слабее, чем ◊ ).
Матет доказал принцип, эквивалентный свойству разбиений с диагональным пересечением начальных сегментов разбиений, стационарных в . [1]
Алмазный принцип ◊ не подразумевает существование дерева Курепа , но более сильный принцип ◊ + подразумевает как принцип ◊ , так и существование дерева Курепа.
Акеман и Уивер (2004) использовали ◊ для построения C * -алгебры, служащей контрпримером к проблеме Наймарка .
Для всех кардиналов κ и стационарных подмножеств S ⊆ κ + , ◊ S выполняется в конструируемой вселенной . Шелах (2010) доказал, что для κ > ℵ 0 , ◊ κ + ( S ) следует из 2 κ = κ + для стационарных S , которые не содержат ординалов конфинальности κ .
Шелах показал, что принцип алмаза решает проблему Уайтхеда , подразумевая, что каждая группа Уайтхеда свободна.
