принцип максимума

В математических областях дифференциальных уравнений и геометрического анализа принцип максимума является одним из самых полезных и известных инструментов изучения. Решения дифференциального неравенства в области D удовлетворяют принципу максимума , если они достигают своих максимумов на границе D.

Принцип максимума позволяет получать информацию о решениях дифференциальных уравнений без явного знания самих решений. В частности, принцип максимума является полезным инструментом в численной аппроксимации решений обыкновенных и частных дифференциальных уравнений и в определении границ погрешностей таких аппроксимаций. ^[1]

В простом двумерном случае рассмотрим функцию двух переменных $u (x, y)$ такую, что

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

Слабый принцип максимума в этой постановке гласит, что для любого открытого предкомпактного подмножества $M$ области определения $u$ максимум $u$ на замыкании $M$ достигается на границе $M.$ Сильный принцип максимума гласит, что, если $u$ не является постоянной функцией, максимум не может быть достигнут нигде на самом $M.$

Такие утверждения дают поразительную качественную картину решений данного дифференциального уравнения. Такая качественная картина может быть распространена на многие виды дифференциальных уравнений. Во многих ситуациях можно также использовать такие принципы максимума для получения точных количественных заключений о решениях дифференциальных уравнений, таких как контроль над размером их градиента . Не существует единого или наиболее общего принципа максимума, который применим ко всем ситуациям одновременно.

В области выпуклой оптимизации существует аналогичное утверждение, утверждающее, что максимум выпуклой функции на компактном выпуклом множестве достигается на границе . ^[2]

Интуиция

Частичная формулировка сильного принципа максимума

Здесь мы рассмотрим простейший случай, хотя то же самое мышление можно распространить и на более общие сценарии. Пусть $M$ — открытое подмножество евклидова пространства, а $u$ — функция $C 2$ на $M$ такая, что

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=0

где для каждого $i$ и $j$ между 1 и $n$ , $a ij$ является функцией на $M$ с $a ij = a ji$ .

Зафиксируем некоторый выбор $x$ в $M$ . Согласно спектральной теореме линейной алгебры, все собственные значения матрицы $[a ij (x)]$ являются действительными, и существует ортонормированный базис $ℝ n ,$ состоящий из собственных векторов. Обозначим собственные значения через $λ i ,$ а соответствующие собственные векторы через $v i$ , для $i$ от 1 до $n$ . Тогда дифференциальное уравнение в точке $x$ можно перефразировать как

\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left.{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\right|_{t=0}{\big (}u(x+tv_{i}){\big )}=0.

Суть принципа максимума заключается в простом наблюдении, что если каждое собственное значение положительно (что равнозначно определенной формулировке «эллиптичности» дифференциального уравнения), то приведенное выше уравнение налагает определенную балансировку вторых производных по направлению решения. В частности, если одна из вторых производных по направлению отрицательна, то другая должна быть положительной. В гипотетической точке, где $u$ максимизируется, все вторые производные по направлению автоматически неположительны, и «балансировка», представленная приведенным выше уравнением, требует, чтобы все вторые производные по направлению были тождественно равны нулю.

Можно утверждать, что это элементарное рассуждение представляет собой бесконечно малую формулировку сильного принципа максимума, который гласит, при некоторых дополнительных предположениях (таких как непрерывность $a$ ), что $u$ должно быть постоянным, если существует точка $M$ , в которой $u$ максимизируется.

Обратите внимание, что приведенные выше рассуждения не изменятся, если рассмотреть более общее уравнение в частных производных

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0,

поскольку добавленный член автоматически равен нулю в любой гипотетической точке максимума. Рассуждение также не изменяется, если рассмотреть более общее условие

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0,

в котором можно даже отметить дополнительные явления наличия прямого противоречия, если в этом условии в гипотетической точке максимума есть строгое неравенство ( $>,$ а не $\geq$ ). Это явление важно в формальном доказательстве классического слабого принципа максимума.

Неприменимость сильного принципа максимума

Однако приведенные выше рассуждения больше не применимы, если принять во внимание условие

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\leq 0,

поскольку теперь условие "балансировки", оцененное в гипотетической точке максимума $u$ , говорит только о том, что средневзвешенное значение явно неположительных величин неположительно. Это тривиально верно, и поэтому из этого нельзя сделать никакого нетривиального вывода. Это отражено в любом количестве конкретных примеров, таких как тот факт, что

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}{\big (}{-x}^{2}-y^{2}{\big )}\leq 0,

и на любой открытой области, содержащей начало координат, функция $- x 2 - y 2$ обязательно имеет максимум.

Классический слабый принцип максимума для линейных эллиптических уравнений в частных производных

Основная идея

Пусть $M$ обозначает открытое подмножество евклидова пространства. Если гладкая функция максимизируется в точке $p$ , то автоматически имеем: $u:M\to \mathbb {R}$

$(du)(p)=0$
$(\nabla ^{2}u)(p)\leq 0,$ как матричное неравенство.

Можно рассматривать частное дифференциальное уравнение как наложение алгебраического соотношения между различными производными функции. Итак, если $u$ является решением частного дифференциального уравнения, то возможно, что вышеуказанные условия на первую и вторую производные $u$ образуют противоречие этому алгебраическому соотношению. Это суть принципа максимума. Очевидно, что применимость этой идеи сильно зависит от конкретного рассматриваемого частного дифференциального уравнения.

Например, если $u$ решает дифференциальное уравнение

\Delta u=|du|^{2}+2,

то очевидно, что невозможно иметь и в любой точке области. Итак, следуя вышеприведенному наблюдению, невозможно, чтобы $u$ принял максимальное значение. Если бы вместо этого $u$ решил дифференциальное уравнение , то не было бы такого противоречия, и приведенный до сих пор анализ не подразумевает ничего интересного. Если бы $u$ решил дифференциальное уравнение , то тот же анализ показал бы, что $u$ не может принять минимальное значение. $\Delta u\leq 0$ $du=0$ $\Delta u=|du|^{2}$ $\Delta u=|du|^{2}-2,$

Возможность такого анализа не ограничивается даже частными дифференциальными уравнениями. Например, если есть функция такая, что $u:M\to \mathbb {R}$

\Delta u-|du|^{4}=\int _{M}e^{u(x)}\,dx,

которое является своего рода «нелокальным» дифференциальным уравнением, то автоматическая строгая положительность правой части показывает, с помощью того же анализа, что и выше, что $u$ не может достичь максимального значения.

Существует много методов расширения применимости этого вида анализа различными способами. Например, если $u$ — гармоническая функция, то противоречие выше не возникает напрямую, поскольку существование точки $p$ , где не противоречит требованию везде. Однако можно рассмотреть, для произвольного действительного числа $s$ , функцию $u$ $s ,$ определенную как $\Delta u(p)\leq 0$ $\Delta u=0$

u_{s}(x)=u(x)+se^{x_{1}}.

Легко увидеть, что

\Delta u_{s}=se^{x_{1}}.

Согласно вышеприведенному анализу, если то $u$ $s$ не может достичь максимального значения. Можно было бы рассмотреть предел как $s$ к 0, чтобы заключить, что $u$ также не может достичь максимального значения. Однако возможно, что поточечный предел последовательности функций без максимумов имеет максимум. Тем не менее, если $M$ имеет границу такую, что $M$ вместе с ее границей компактно, то, предположив, что $u$ может быть непрерывно продолжено до границы, немедленно следует, что и $u,$ и $u$ $s$ достигают максимального значения на Поскольку мы показали, что $u$ $s$ , как функция на $M$ , не имеет максимума, следует, что точка максимума $u$ $s$ , для любого $s$ , находится на Из последовательной компактности следует, что максимум $u$ достигается на Это слабый принцип максимума для гармонических функций. Это само по себе не исключает возможности того, что максимум $u$ также достигается где-то на $M$ . Это содержание «сильного принципа максимума», который требует дальнейшего анализа. $s>0$ $M\cup \partial M.$ $\partial M.$ $\partial M,$ $\partial M.$

Использование конкретной функции выше было совершенно несущественным. Все, что имело значение, — это иметь функцию, которая непрерывно продолжается до границы и чей Лапласиан строго положителен. Так что мы могли бы использовать, например, $e^{x_{1}}$

u_{s}(x)=u(x)+s|x|^{2}

с тем же эффектом.

Классический сильный принцип максимума для линейных эллиптических уравнений в частных производных

Резюме доказательства

Пусть $M$ — открытое подмножество евклидова пространства. Пусть — дважды дифференцируемая функция, достигающая своего максимального значения $C$ . Предположим, что $u:M\to \mathbb {R}$

a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0.

Предположим, что можно найти (или доказать существование):

компактное подмножество $Ω$ множества $M$ с непустой внутренностью, такое, что $u (x) < C$ для всех $x$ внутри $Ω$ , и такое, что на границе $Ω$ существует $x 0$ с $u$ $($ $x$ $0$ $) =$ $C$ .
непрерывная функция , дважды дифференцируемая внутри $Ω$ и имеющая $h:\Omega \to \mathbb {R}$

a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}\geq 0,

и такой, что

u + h \leq C

на границе

Ω

h (x 0) = 0

Тогда $L (u + h - C) \geq 0$ на $Ω$ с $u + h - C \leq 0$ на границе $Ω$ ; согласно слабому принципу максимума, имеем $u + h - C \leq 0$ на $Ω$ . Это можно реорганизовать так:

-{\frac {u(x)-u(x_{0})}{|x-x_{0}|}}\geq {\frac {h(x)-h(x_{0})}{|x-x_{0}|}}

для всех $x$ в $Ω$ . Если можно сделать выбор $h$ так, чтобы правая часть имела явно положительный характер, то это приведет к противоречию с тем фактом, что $x 0$ является максимальной точкой $u$ на $M$ , так что ее градиент должен исчезнуть.

Доказательство

Вышеуказанная «программа» может быть выполнена. Выбираем $Ω$ в качестве сферического кольца; выбираем его центр $x c$ в качестве точки, более близкой к замкнутому множеству $u -1 (C),$ чем к замкнутому множеству $\partial M$ , а внешний радиус $R$ выбираем в качестве расстояния от этого центра до $u -1 (C)$ ; пусть $x 0$ будет точкой на этом последнем множестве, которая реализует расстояние. Внутренний радиус $ρ$ произволен. Определим

h(x)=\varepsilon {\Big (}e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}-e^{-\alpha R^{2}}{\Big )}.

Теперь граница $Ω$ состоит из двух сфер; на внешней сфере $h = 0$ ; из-за выбора $R$ на этой сфере u $\leq$ $C$ , и поэтому $u$ $+$ $h$ $-$ $C$ $\leq 0$ выполняется на этой части границы вместе с требованием $h$ $($ $x$ $0$ $) = 0.$ На внутренней сфере $u$ $<$ $C.$ Из-за непрерывности $u$ и компактности внутренней сферы можно выбрать $δ$ $> 0$ так, чтобы $u$ $+$ $δ$ $<$ $C.$ Поскольку $h$ постоянен на этой внутренней сфере, можно выбрать $ε$ $> 0$ так, чтобы $u$ $+$ $h$ $\leq$ $C на внутренней сфере, а$ $значит$ , и на всей границе $Ω$ .

Прямой расчет показывает

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial h}{\partial x^{i}}}=\varepsilon \alpha e^{-\alpha |x-x_{\text{c}}|^{2}}\left(4\alpha \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x){\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}{\big (}x^{j}-x_{\text{c}}^{j}{\big )}-2\sum _{i=1}^{n}a_{ii}-2\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\big (}x^{i}-x_{\text{c}}^{i}{\big )}\right).

Существуют различные условия, при которых можно гарантировать неотрицательность правой части; см. формулировку теоремы ниже.

Наконец, обратите внимание, что производная по направлению $h$ в точке $x 0$ вдоль направленной внутрь радиальной линии кольца строго положительна. Как описано в приведенном выше резюме, это гарантирует, что производная по направлению $u$ в точке $x 0$ будет ненулевой, в противоречии с тем, что $x 0$ является максимальной точкой $u$ на открытом множестве $M$ .

Формулировка теоремы

Ниже приводится формулировка теоремы в книгах Морри и Смоллера, следующая первоначальной формулировке Хопфа (1927):

Пусть $M$ — открытое подмножество евклидова пространства $ℝ n$ . Для каждого $i$ и $j$ между 1 и $n$ пусть $a ij$ и $b i$ — непрерывные функции на $M$ с $a ij = a ji$ . Предположим, что для всех $x$ из $M$ симметричная матрица $[a ij]$ положительно определена. Если $u$ — непостоянная функция $C 2$ на $M$ такая, что
$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$
на $M$ , то $u$ не достигает максимального значения на $M.$

Суть предположения о непрерывности заключается в том, что непрерывные функции ограничены на компактных множествах, причем соответствующим компактным множеством здесь является сферическое кольцо, появляющееся в доказательстве. Более того, по тому же принципу существует число $λ$ такое, что для всех $x$ в кольце матрица $[a ij (x)]$ имеет все собственные значения, большие или равные $λ$ . Затем принимается, что $α$ , как и появляется в доказательстве, велико относительно этих границ. В книге Эванса есть немного более слабая формулировка, в которой предполагается, что существует положительное число $λ$ , которое является нижней границей собственных значений $[a ij]$ для всех $x$ в $M$ .

Эти предположения о непрерывности явно не являются наиболее общими из возможных для того, чтобы доказательство работало. Например, ниже приводится утверждение теоремы Гилбарга и Трудингера, следующее за тем же доказательством:

Пусть $M$ — открытое подмножество евклидова пространства $ℝ n$ . Для каждого $i$ и $j$ между 1 и $n$ пусть $a ij$ и $b i$ — функции на $M$ с $a ij = a ji$ . Предположим, что для всех $x$ из $M$ симметричная матрица $[a ij]$ положительно определена, и пусть $λ(x)$ обозначает ее наименьшее собственное значение. Предположим, что и — ограниченные функции на $M$ для каждого $i$ между 1 и $n$ . Если $u$ — непостоянная функция $C$ $2$ на $M$ такая, что $\textstyle {\frac {a_{ii}}{\lambda }}$ $\textstyle {\frac {|b_{i}|}{\lambda }}$
$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\geq 0$
на $M$ , то $u$ не достигает максимального значения на $M.$

Нельзя наивно распространить эти утверждения на общее линейное эллиптическое уравнение второго порядка, как уже было замечено в одномерном случае. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение $y ″ + 2 y = 0$ имеет синусоидальные решения, которые, безусловно, имеют внутренние максимумы. Это распространяется на многомерный случай, где часто имеются решения уравнений «собственных функций» $Δ u + cu = 0$ , которые имеют внутренние максимумы. Знак c имеет значение, как также было замечено в одномерном случае; например, решения для $y ″ - 2 y = 0$ являются экспоненциальными, и характер максимумов таких функций совершенно отличается от характера максимумов синусоидальных функций.

Смотрите также

Примечания

^ Проттер, Мюррей Х.; Вайнбергер, Ганс Феликс (1984). Максимальные принципы в дифференциальных уравнениях . Нью-Йорк Берлин Гейдельберг [и т.д.]: Springer. ISBN 978-3-540-96068-3.
↑ Глава 32 Рокафеллара (1970).

Ссылки

Научные статьи

Калаби, Э. Расширение принципа максимума Э. Хопфа с применением к римановой геометрии. Duke Math. J. 25 (1958), 45–56.
Ченг, SY; Яу, ST Дифференциальные уравнения на римановых многообразиях и их геометрические приложения. Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), № 3, 333–354.
Гидас, Б.; Ни, Вэй Мин; Ниренберг, Л. Симметрия и связанные с ней свойства через принцип максимума. Comm. Math. Phys. 68 (1979), № 3, 209–243.
Гидас, Б.; Ни, Вэй Мин; Ниренберг, Л. Симметрия положительных решений нелинейных эллиптических уравнений в $R n$ . Математический анализ и приложения, часть A, стр. 369–402, Adv. in Math. Suppl. Stud., 7a, Academic Press, Нью-Йорк-Лондон, 1981.
Гамильтон, Ричард С. Четырехмерные многообразия с оператором положительной кривизны. Журнал дифференциальной геометрии, 24 (1986), № 2, 153–179.
Э. Хопф. Elementare Bemerkungen Über die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Ситбер. Пройсс. Акад. Висс. Берлин 19 (1927), 147–152.
Хопф, Эберхард. Замечание о линейных эллиптических дифференциальных уравнениях второго порядка. Proc. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 791–793.
Ниренберг, Луис. Сильный принцип максимума для параболических уравнений. Comm. Pure Appl. Math. 6 (1953), 167–177.
Омори, Хидеки. Изометрические погружения римановых многообразий. J. Math. Soc. Jpn. 19 (1967), 205–214.
Яу, Шинг Тунг. Гармонические функции на полных римановых многообразиях. Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), 201–228.
Крейберг, HJA О максимальном принципе оптимального контроля в экономических процессах, 1969 (Тронхейм, NTH, Sosialøkonomisk institutt https://www.worldcat.org/title/on-the-maximum-principle-of-optimal-control-in- экономические-процессы/oclc/23714026)

Учебники

Каффарелли, Луис А.; Ксавье Кабре (1995). Полностью нелинейные эллиптические уравнения . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 31–41. ISBN 0-8218-0437-5.
Эванс, Лоуренс К. Уравнения с частными производными. Второе издание. Graduate Studies in Mathematics, 19. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010. xxii+749 стр. ISBN 978-0-8218-4974-3
Фридман, Авнер. Уравнения с частными производными параболического типа. Prentice-Hall, Inc., Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1964, xiv+347 стр.
Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка. Переиздание издания 1998 года. Классика математики. Springer-Verlag, Берлин, 2001. xiv+517 стр. ISBN 3-540-41160-7
Ладыженская, О.А.; Солонников, В.А.; Уральцева, Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Перевод с русского С. Смита. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 23 American Mathematical Society, Providence, RI 1968 xi+648 pp.
Ладыженская, Ольга А. ; Уральцева, Нина Н. Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения. Перевод с русского: Scripta Technica, Inc. Редактор перевода: Леон Эренпрайс. Academic Press, Нью-Йорк-Лондон 1968 xviii+495 стр.
Либерман, Гэри М. Параболические дифференциальные уравнения второго порядка. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996. xii+439 стр. ISBN 981-02-2883-X
Морри, Чарльз Б., младший. Кратные интегралы в вариационном исчислении. Переиздание издания 1966 года. Классика математики. Springer-Verlag, Берлин, 2008. x+506 стр. ISBN 978-3-540-69915-6
Проттер, Мюррей Х.; Вайнбергер, Ганс Ф. Принципы максимума в дифференциальных уравнениях. Исправленное переиздание оригинала 1967 года. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1984. x+261 стр. ISBN 0-387-96068-6
Рокафеллар, Р. Т. (1970). Выпуклый анализ . Принстон: Princeton University Press.
Смоллер, Джоэл. Ударные волны и уравнения реакции-диффузии. Второе издание. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 258. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1994. xxiv+632 стр. ISBN 0-387-94259-9