постоянная Больцмана

Физическая константа, связывающая кинетическую энергию частицы с температурой

Постоянная Больцмана ( kB или k ) — это коэффициент пропорциональности , который связывает среднюю относительную тепловую энергию частиц в газе с термодинамической температурой газа. ^[2] Она встречается в определениях кельвина (К) и газовой постоянной , в законе Планка об излучении _{черного} тела и формуле энтропии Больцмана и используется при расчете теплового шума в резисторах . Постоянная Больцмана имеет размерность энергии, деленной на температуру , такую ​​же, как энтропия и теплоемкость . Она названа в честь австрийского ученого Людвига Больцмана .

В рамках пересмотра СИ 2019 года постоянная Больцмана является одной из семи « определяющих констант », которым даны точные определения. Они используются в различных комбинациях для определения семи основных единиц СИ. Постоянная Больцмана определяется как точно1,380 649 × 10 ⁻²³ джоулей на кельвин. ^[1]

Роли постоянной Больцмана

Соотношения между законами Бойля , Шарля , Гей-Люссака , Авогадро , комбинированным и идеальным газовым законами с постоянной Больцмана k= ⁠Р/Н _А⁠ = ⁠н  Р/Н⁠ (в каждом законе обведенные свойства являются переменными, а необведенные свойства остаются постоянными)

Определение ИЮПАК

Постоянная Больцмана : Постоянная Больцмана, k , является одной из семи фиксированных констант, определяющих Международную систему единиц, СИ, с k = 1,380 649 x 10 ^-23 ДжК ^-1 . Постоянная Больцмана является константой пропорциональности между величинами температуры (с единицей кельвин) и энергии (с единицей джоуль). ^[3]

Макроскопически закон идеального газа гласит, что для идеального газа произведение давления p и объема V пропорционально произведению количества вещества n и абсолютной температуры T : где R — молярная газовая постоянная ( $${\displaystyle pV=nRT,}$$8,314 462 618 153 24  Дж⋅К ⁻¹ ⋅ моль ⁻¹ ). ^[4] Введение постоянной Больцмана как газовой постоянной на молекулу ^[5] k = R / N _A ( где N _{A —} постоянная Авогадро ) преобразует закон идеального газа в альтернативную форму: где N — число молекул газа. $${\displaystyle pV=NkT,}$$

Роль в равнораспределении энергии

Для термодинамической системы при абсолютной температуре T средняя тепловая энергия, переносимая каждой микроскопической степенью свободы в системе, равна ⁠1/2⁠  k T (т.е. около2,07 × 10−21  Дж ^, или0,013  эВ при комнатной температуре). Это, как правило, справедливо только для классических систем с большим числом частиц , в которых квантовые эффекты пренебрежимо малы.

В классической статистической механике это среднее значение предсказывается для однородных идеальных газов . Одноатомные идеальные газы (шесть благородных газов) обладают тремя степенями свободы на атом, что соответствует трем пространственным направлениям. Согласно равнораспределению энергии это означает, что существует тепловая энергия ⁠3/2⁠  k T на атом. Это очень хорошо соответствует экспериментальным данным. Тепловая энергия может быть использована для расчета среднеквадратичной скорости атомов, которая оказывается обратно пропорциональной квадратному корню атомной массы . Среднеквадратические скорости, найденные при комнатной температуре, точно отражают это, варьируясь от1370 м/с для гелия , до240 м/с для ксенона .

Кинетическая теория дает среднее давление p для идеального газа как $${\displaystyle p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.}$$

Сочетание с законом идеального газа показывает, что средняя поступательная кинетическая энергия равна $${\displaystyle pV=NkT}$$ $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.}$$

Учитывая, что вектор скорости поступательного движения v имеет три степени свободы (по одной для каждого измерения), получаем среднюю энергию на степень свободы, равную одной трети от этого, т.е. ⁠1/2⁠  к Т .

Уравнение идеального газа также близко подчиняется молекулярным газам; но форма для теплоемкости более сложная, поскольку молекулы обладают дополнительными внутренними степенями свободы, а также тремя степенями свободы для движения молекулы как целого. Двухатомные газы, например, обладают в общей сложности шестью степенями простой свободы на молекулу, которые связаны с движением атомов (три поступательных, две вращательных и одна колебательная). При более низких температурах не все эти степени свободы могут полностью участвовать в теплоемкости газа из-за квантово-механических ограничений на доступность возбужденных состояний при соответствующей тепловой энергии на молекулу.

Роль в факторах Больцмана

В более общем смысле, системы в равновесии при температуре T имеют вероятность P _i занять состояние i с энергией E, взвешенной соответствующим фактором Больцмана : где Z — это статистическая сумма . Опять же, центральное значение имеет величина, подобная энергии k T. $${\displaystyle P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},}$$

Следствием этого является (в дополнение к результатам для идеальных газов, приведенным выше) уравнение Аррениуса в химической кинетике .

Роль в статистическом определении энтропии

Могила Больцмана в Центральном кладбище в Вене с бюстом и формулой энтропии.

В статистической механике энтропия S изолированной системы, находящейся в термодинамическом равновесии , определяется как натуральный логарифм W — числа различных микроскопических состояний, доступных системе с учетом макроскопических ограничений (таких как фиксированная полная энергия E ): $${\displaystyle S=k\,\ln W.}$$

Это уравнение, связывающее микроскопические детали или микросостояния системы (через W ) с ее макроскопическим состоянием (через энтропию S ), является центральной идеей статистической механики. Его важность такова, что оно высечено на надгробии Больцмана.

Константа пропорциональности k позволяет сделать статистическую механическую энтропию равной классической термодинамической энтропии Клаузиуса : $${\displaystyle \Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.}$$

Вместо этого можно было бы выбрать перемасштабированную безразмерную энтропию в микроскопических терминах, такую, что $${\displaystyle {S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.}$$

Это более естественная форма, и эта перемасштабированная энтропия точно соответствует последующей информационной энтропии Шеннона .

Характерная энергия kT , таким образом, представляет собой энергию, необходимую для увеличения масштабированной энтропии на единицу nat .

Тепловое напряжение

В полупроводниках уравнение диода Шокли — соотношение между потоком электрического тока и электростатическим потенциалом через p–n-переход — зависит от характерного напряжения, называемого тепловым напряжением , обозначаемым V _T. Тепловое напряжение зависит от абсолютной температуры T следующим образом : где q — величина электрического заряда электрона со значением $${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={RT \over F},}$$1,602 176 634 × 10 ⁻¹⁹  Кл . ^[6] Эквивалентно, $${\displaystyle {V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.617333262\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .}$$

При комнатной температуре 300 К (27 °C; 80 °F) V _T приблизительно равна25,85 мВ ^{[7] [8]} , что можно получить, подставив значения следующим образом: $${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J{\cdot }K^{-1}} \times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25.85\ \mathrm {mV} }$$

При температуре стандартного состояния 298,15 К (25,00 °C; 77,00 °F) это приблизительно равно25,69 мВ . Тепловое напряжение также важно в плазме и растворах электролитов (например, уравнение Нернста ); в обоих случаях оно дает меру того, насколько пространственное распределение электронов или ионов зависит от границы, удерживаемой при фиксированном напряжении. ^{[9] [10]}

История

Константа Больцмана названа в честь ее австрийского первооткрывателя 19 века Людвига Больцмана . Хотя Больцман впервые связал энтропию и вероятность в 1877 году, эта связь никогда не была выражена с помощью конкретной константы, пока Макс Планк впервые не ввел k и не дал для нее более точное значение (1,346 × 10−23 Дж ^/  К , что примерно на 2,5% ниже сегодняшнего показателя) при выводе им закона излучения черного тела в 1900–1901 гг. ^[11] До 1900 г. уравнения, включающие факторы Больцмана, записывались не с использованием энергий на молекулу и постоянной Больцмана, а с использованием формы газовой постоянной R и макроскопических энергий для макроскопических количеств вещества. Знаменитая краткая форма уравнения S = k ln W на надгробии Больцмана на самом деле принадлежит Планку, а не Больцману. Планк фактически ввел его в той же работе, что и его одноименное h . ^[12]

В 1920 году Планк написал в своей Нобелевской лекции: ^[13]

Эту константу часто называют постоянной Больцмана, хотя, насколько мне известно, сам Больцман никогда ее не вводил — странное положение дел, которое можно объяснить тем фактом, что Больцман, как следует из его редких высказываний, никогда не задумывался о возможности проведения точного измерения этой константы.

Это «странное положение дел» проиллюстрировано ссылкой на один из величайших научных споров того времени. Во второй половине девятнадцатого века существовали значительные разногласия относительно того, были ли атомы и молекулы реальными или они были просто эвристическим инструментом для решения проблем. Не было согласия относительно того, были ли химические молекулы, измеряемые атомными весами , тем же самым, что и физические молекулы, измеряемые кинетической теорией . Лекция Планка 1920 года продолжалась: ^[13]

Ничто не может лучше проиллюстрировать позитивный и бурный темп прогресса, достигнутого искусством экспериментаторов за последние двадцать лет, чем тот факт, что с тех пор был открыт не один, а множество методов измерения массы молекулы практически с той же точностью, что и для планеты.

В версиях СИ до пересмотра СИ 2019 года постоянная Больцмана была измеряемой величиной, а не фиксированным значением. Ее точное определение также менялось с годами из-за переопределений кельвина (см. Кельвин § История ) и других основных единиц СИ (см. Джоуль § История ).

В 2017 году наиболее точные измерения постоянной Больцмана были получены с помощью акустической газовой термометрии, которая определяет скорость звука одноатомного газа в трехосной эллипсоидной камере с использованием микроволнового и акустического резонансов. ^{[14] [15] [16]} Эти десятилетние усилия были предприняты с использованием различных методов несколькими лабораториями; ^[a] это один из краеугольных камней пересмотра SI 2019 года. Основываясь на этих измерениях, CODATA рекомендовала1,380 649 × 10−23  Дж/К будет окончательным фиксированным значением постоянной Больцмана, которое будет использоваться в ^{Международной} системе единиц . ^[17]

В качестве предварительного условия для переопределения постоянной Больцмана должно быть одно экспериментальное значение с относительной неопределенностью ниже 1 ppm и по крайней мере одно измерение с помощью второго метода с относительной неопределенностью ниже 3 ppm. Акустическая газовая термометрия достигла 0,2 ppm, а шумовая термометрия Джонсона достигла 2,8 ppm. ^[18]

Значение в разных единицах

Поскольку k — коэффициент пропорциональности между температурой и энергией, его численное значение зависит от выбора единиц для энергии и температуры. Малое численное значение постоянной Больцмана в единицах СИ означает, что изменение температуры на 1 К изменяет энергию частицы лишь на небольшую величину. Изменение1  °C определяется как изменение1 К. Характерная энергия kT — термин, встречающийся во многих физических соотношениях.

Постоянная Больцмана устанавливает связь между длиной волны и температурой (деление hc / k на длину волны дает температуру), при этом один микрометр соотносится с14 387 .777 K , а также соотношение между напряжением и температурой ( kT в единицах эВ соответствует напряжению), при этом один вольт связан с11 604 .518 K. Отношение этих двух температур,14 387 .777 К  / 11 604 .518 K  ≈ 1,239842, — численное значение hc в единицах эВ⋅мкм.

Натуральные единицы

Постоянная Больцмана обеспечивает отображение характерной микроскопической энергии E в макроскопическую температурную шкалу T = ⁠Э/к⁠ . В фундаментальной физике это отображение часто упрощается путем использования естественных единиц , устанавливая k равным единице. Это соглашение означает, что величины температуры и энергии имеют одинаковые размерности . ^{[22] [23]} В частности, единица СИ кельвин становится излишней, будучи определенной в терминах джоулей как 1 К =1,380 649 × 10−23  Дж . ^{[24] При таком соглашении} температура всегда указывается в единицах энергии, а постоянная Больцмана явно не требуется в формулах. ^[22]

Это соглашение упрощает многие физические соотношения и формулы. Например, формула равнораспределения для энергии, связанной с каждой классической степенью свободы ( выше), становится ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kT}$ $${\displaystyle E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T}$$

В качестве другого примера, определение термодинамической энтропии совпадает с формой информационной энтропии : где Pi _— вероятность каждого микросостояния . $${\displaystyle S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.}$$

Смотрите также

• Комитет по данным Международного научного совета
• Термодинамическая бета
• Список ученых, чьи имена используются в физических константах

Примечания

1. Использовались независимые методы: акустическая газовая термометрия, газовая термометрия диэлектрической проницаемости, шумовая термометрия Джонсона . Участвующие лаборатории, упомянутые CODATA в 2017 году: LNE - Cnam (Франция), NPL (Великобритания), INRIM (Италия), PTB (Германия), NIST (США), NIM (Китай).

Ссылки

1. Newell, David B.; Tiesinga, Eite (2019). Международная система единиц (СИ). Специальная публикация NIST 330. Гейтерсберг, Мэриленд: Национальный институт стандартов и технологий. doi :10.6028/nist.sp.330-2019. S2CID  242934226. {{cite book}}: |work=проигнорировано ( помощь )
2. Фейнман, Ричард (1970). Лекции Фейнмана по физике, том I. Эддисон Уэсли Лонгман. ISBN 978-0-201-02115-8.
3. "Константа Больцмана". Золотая книга . ИЮПАК. 2020. doi : 10.1351/goldbook.B00695 . Получено 1 апреля 2024 г.
4. «Материалы 106-го заседания» (PDF) . 16–20 октября 2017 г.
5. Петруччи, Ральф Х.; Харвуд, Уильям С.; Херринг, Ф. Джеффри (2002). Общая химия: принципы и современные приложения (8-е изд.). Prentice Hall. стр. 785. ISBN 0-13-014329-4.
6. "2022 CODATA Value: Elementary Charge". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 18 мая 2024 .
7. Рашид, Мухаммад Х. (2016). Микроэлектронные схемы: анализ и проектирование (3-е изд.). Cengage Learning. стр. 183–184. ISBN 9781305635166.
8. Катальдо, Энрико; Ди Лието, Альберто; Маккарроне, Франческо; Паффути, Джампьеро (18 августа 2016 г.). «Измерения и анализ вольт-амперной характеристики pn-диода для лабораторной работы по физике для студентов бакалавриата». arXiv : 1608.05638v1 [physics.ed-ph].
9. Кирби, Брайан Дж. (2009). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрожидкостных устройствах (PDF) . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
10. Tabeling, Patrick (2006). Введение в микрофлюидику . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856864-3.
11. Планк, Макс (1901). «Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum». Аннален дер Физик . 309 (3): 553–63. Бибкод : 1901АнП...309..553П. дои : 10.1002/andp.19013090310 .. Английский перевод: "О законе распределения энергии в нормальном спектре". Архивировано из оригинала 17 декабря 2008 г.
12. Gearhart, Clayton A. (2002). «Planck, the Quantum, and the Historians». Physics in Perspective . 4 (2): 177. Bibcode : 2002PhP.....4..170G. doi : 10.1007/s00016-002-8363-7. ISSN  1422-6944. S2CID  26918826.
13. Планк, Макс (2 июня 1920 г.). «Происхождение и современное состояние развития квантовой теории». Нобелевские лекции по физике 1901-1921 гг . Издательство Elsevier, Амстердам (опубликовано в 1967 г.).
14. Pitre, L; Sparasci, F; Risegari, L; Guianvarc'h, C; Martin, C; Himbert, ME; Plimmer, MD; Allard, A; Marty, B; Giuliano Albo, PA; Gao, B; Moldover, MR; Mehl, JB (1 декабря 2017 г.). "Новое измерение постоянной Больцмана с помощью акустической термометрии газа гелия-4" (PDF) . Metrologia . 54 (6): 856–873. Bibcode : 2017Metro..54..856P. doi : 10.1088/1681-7575/aa7bf5. hdl : 11696/57295. S2CID  53680647. Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2019 г.
15. Де Подеста, Майкл; Марк, Даррен Ф.; Даймок, Росс К.; Андервуд, Робин; Баккар, Томас; Саттон, Гэвин; Дэвидсон, Стюарт; Мачин, Грэм (1 октября 2017 г.). «Переоценка соотношений изотопов аргона, приводящая к пересмотренной оценке постоянной Больцмана» (PDF) . Metrologia . 54 (5): 683–692. Bibcode :2017Metro..54..683D. doi :10.1088/1681-7575/aa7880. S2CID  125912713.
16. Фишер, Дж; Феллмут, Б; Гайзер, С; Зандт, Т; Питре, Л; Спараски, Ф; Плиммер, доктор медицины; де Подеста, М; Андервуд, Р.; Саттон, Дж; Мачин, Г; Гавиозо, РМ; Рипа, Д. Мадонна; Стер, PPM; Цюй, Дж (2018). «Проект Больцмана». Метрология . 55 (2): 10.1088/1681–7575/aaa790. дои : 10.1088/1681-7575/aaa790. ISSN  0026-1394. ПМК 6508687 . ПМИД  31080297. 
17. Ньюэлл, Д.Б.; Кабиати, Ф.; Фишер Дж.; Фуджи, К.; Каршенбойм, С.Г.; Марголис, HS; Мирандес, Э. де; Мор, П.Дж.; Нез, Ф. (2018). «Значения h, e, k и NA в CODATA 2017 для пересмотра SI». Метрология . 55 (1): Л13. Бибкод : 2018Метро..55Л..13Н. дои : 10.1088/1681-7575/aa950a . ISSN  0026-1394.
18. "NIST 'Noise Thermometry' Yields Accurate New Measurements of Boltzmann Constant". NIST . 29 июня 2017 г.
19. "2022 CODATA Value: Boltzmann constant". Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . Май 2024. Получено 18 мая 2024 .
20. "Значение CODATA: соотношение кельвин-электрон-вольт".
21. "Значение CODATA: соотношение кельвин-килограмм".
22. Калинин, М.; Кононогов, С. (2005). "Константа Больцмана, энергетический смысл температуры и термодинамическая необратимость". Measurement Techniques . 48 (7): 632–636. doi :10.1007/s11018-005-0195-9. S2CID  118726162.
23. Киттель, Чарльз; Кремер, Герберт (1980). Теплофизика (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman. стр. 41. ISBN 0716710889. Мы предпочитаем использовать более естественную температурную шкалу... фундаментальная температура имеет единицы энергии.
24. Mohr, Peter J.; Shirley, Eric L.; Phillips, William D.; Trott, Michael (1 октября 2022 г.). «О размерности углов и их единицах». Metrologia . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Bibcode : 2022Metro..59e3001M. doi : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .

Внешние ссылки

• Проект главы 2 для брошюры СИ, после переопределения основных единиц (подготовлен Консультативным комитетом по единицам)
• Большой шаг к переопределению кельвина: ученые нашли новый способ определения постоянной Больцмана