Проблемы с кузенами

Создать мероморфную функцию из локальных данных в нескольких переменных

В математике проблемы Кузена — это два вопроса в нескольких комплексных переменных , касающиеся существования мероморфных функций , которые задаются в терминах локальных данных. Они были введены в частных случаях Пьером Кузеном в 1895 году. Теперь они ставятся и решаются для любого комплексного многообразия M в терминах условий на M.

Для обеих задач задано открытое покрытие M множествами U _i , а также мероморфная функция f _i на каждом U _i .

Проблема двоюродного брата

Первая задача Кузена или аддитивная задача Кузена предполагает, что каждая разность

${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

является голоморфной функцией , где она определена. Она запрашивает мероморфную функцию f на M такую, что

${\displaystyle f-f_{i}}$

голоморфна на U _i ; другими словами, f разделяет сингулярное поведение заданной локальной функции. Заданное условие на очевидно необходимо для этого; поэтому проблема сводится к вопросу, достаточно ли его. Случай одной переменной — теорема Миттаг-Леффлера о предписывающих полюсах, когда M — открытое подмножество комплексной плоскости . Теория римановой поверхности показывает, что потребуется некоторое ограничение на M. Задача всегда может быть решена на многообразии Штейна . ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

Первую проблему Кузена можно понимать в терминах когомологий пучков следующим образом. Пусть K — пучок мероморфных функций, а O — пучок голоморфных функций на M. Глобальное сечение K переходит в глобальное сечение фактор-пучка K / O. Обратный вопрос — это первая проблема Кузена: если дано глобальное сечение K / O , существует ли глобальное сечение K , из которого оно возникает? Таким образом , задача состоит в том, чтобы охарактеризовать образ отображения ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi (f)}$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

По длинной точной когомологической последовательности ,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

является точным, и поэтому первая проблема Кузена всегда разрешима при условии, что первая группа когомологий H ¹ ( M , O ) обращается в нуль. В частности, по теореме Картана B проблема Кузена всегда разрешима, если M — многообразие Штейна.

Проблема троюродного брата

Вторая задача Кузена или мультипликативная задача Кузена предполагает, что каждое отношение

${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$

является неисчезающей голоморфной функцией, где она определена. Она требует мероморфной функции f на M такой, что

${\displaystyle f/f_{i}}$

является голоморфной и неисчезающей. Вторая проблема Кузена является многомерным обобщением теоремы Вейерштрасса о существовании голоморфной функции одной переменной с предписанными нулями.

Атака на эту проблему посредством взятия логарифмов , чтобы свести ее к аддитивной проблеме, встречает препятствие в виде первого класса Черна (см. также последовательность экспоненциальных пучков ). В терминах теории пучков пусть будет пучком голоморфных функций, которые нигде не обращаются в нуль, и пучком мероморфных функций, которые не являются тождественно нулевыми. Оба они являются пучками абелевых групп , и фактор-пучок хорошо определен. Мультипликативная проблема Кузена затем стремится идентифицировать образ фактор-отображения ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

Длинная точная последовательность когомологий пучка, связанная с фактором, имеет вид

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

поэтому вторая проблема Кузена разрешима во всех случаях при условии, что Фактор-пучок является пучком ростков дивизоров Картье на M. Таким образом, вопрос о том, порождается ли каждое глобальное сечение мероморфной функцией, эквивалентен определению того, является ли каждое линейное расслоение на M тривиальным . ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$

Группу когомологий для мультипликативной структуры на можно сравнить с группой когомологий с ее аддитивной структурой, взяв логарифм. То есть, существует точная последовательность пучков ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$ ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0}$

где самый левый пучок — локально постоянный пучок с волокном . Препятствие к определению логарифма на уровне H ¹ находится в , из длинной точной последовательности когомологий ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Когда M — многообразие Штейна, средняя стрелка является изоморфизмом, поскольку для , поэтому необходимым и достаточным условием в этом случае для того, чтобы вторая проблема Кузена всегда была разрешима, является то, что ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Смотрите также

• Теоремы Картана А и Б

Ссылки

• Картан, Анри (1950). «Идеи и модули аналитических функций комплексов переменных». Бюллетень математического общества Франции . 2 : 29–64. дои : 10.24033/bsmf.1409 .
• Чирка, Э.М. (2001) [1994], «Проблемы кузенов», Энциклопедия математики , EMS Press.
• Кузен, П. (1895), «Sur les fonctions de n переменных», Acta Math. , 19 : 1–62, doi : 10.1007/BF02402869.
• Хитотумату, Син (1951). «Задачи о кузене идеалов и область регулярности». Отчеты математического семинара Kodai . 3 (1–2): 26–32. дои : 10.2996/кмдж/1138843066 .
• Ока, Киёси (1936). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. I. Выпуклые области по взаимосвязи с рациональными функциями». Научный журнал Хиросимского университета . 6 : 245–255. дои : 10.32917/hmj/1558749869 .
• Ока, Киёси (1937). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. II – Domaines d'holomorphie». Научный журнал Хиросимского университета . 7 : 115–130. дои : 10.32917/hmj/1558576819 .
• Ока, Киёси (1939). «Sur les fonctions Analytiques de Plusieurs переменных. III – Deuxième problème de Cousin» (PDF) . Научный журнал Хиросимского университета . 9 :7–19. дои : 10.32917/hmj/1558490525 .
• Ганнинг, Роберт К.; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных , Prentice Hall.
• Chorlay, Renaud (январь 2010 г.). «От проблем к структурам: проблемы кузенов и возникновение концепции пучка». Архив истории точных наук . 64 (1): 1–73. doi :10.1007/s00407-009-0052-3. JSTOR  41342411. S2CID  73633995.