проблема Ферми

Задача оценки в физике или инженерном образовании

Задача Ферми (или тест Ферми , вопрос Ферми , оценка Ферми ), также известная как задача порядка величины (или оценка порядка величины , оценка порядка ), — это задача оценки в физическом или инженерном образовании, разработанная для обучения размерному анализу или аппроксимации экстремальных научных расчетов. Задачи Ферми обычно представляют собой расчеты на обратную сторону конверта . Метод оценки назван в честь физика Энрико Ферми , поскольку он был известен своей способностью делать хорошие приближенные расчеты с небольшим количеством или без фактических данных. Задачи Ферми обычно включают в себя обоснованные предположения о величинах и их дисперсии или нижних и верхних границах. В некоторых случаях оценки порядка величины также могут быть получены с помощью размерного анализа .

Историческая справка

Примером может служить оценка Энрико Ферми силы атомной бомбы , взорвавшейся во время испытания Тринити , основанная на расстоянии, пройденном кусками бумаги, которые он выронил из руки во время взрыва. Оценка Ферми в 10 килотонн тротила была вполне в пределах порядка величины ныне принятого значения в 21 килотонну. ^{[1] [2] [3]}

Примеры

Вопросы Ферми часто носят экстремальный характер и обычно не могут быть решены с использованием обычной математической или научной информации.

Примеры вопросов, заданных официальным конкурсом Ферми: ^{[ необходимо разъяснение ]}

«Если бы массу одной чайной ложки воды можно было бы полностью преобразовать в энергию в виде тепла, какой объем воды, изначально имеющей комнатную температуру, можно было бы довести до кипения? (литры)».

«Насколько нагревается река Темза при прохождении через плотину Фэншоу ? (В градусах Цельсия)».

«Какова масса всех автомобилей, сданных на слом в Северной Америке в этом месяце? (килограммы)» ^{[4] [5]}

Возможно, самым известным вопросом Ферми является уравнение Дрейка , которое пытается оценить количество разумных цивилизаций в галактике. Основной вопрос о том, почему, если было значительное количество таких цивилизаций, человеческая цивилизация никогда не сталкивалась ни с какими другими, называется парадоксом Ферми . ^[6]

Преимущества и область применения

Ученые часто ищут оценки Ферми для ответа на задачу, прежде чем обратиться к более сложным методам для вычисления точного ответа. Это обеспечивает полезную проверку результатов. Хотя оценка почти наверняка неверна, это также простой расчет, который позволяет легко проверить ошибки и найти ошибочные предположения, если полученная цифра намного превосходит то, что мы могли бы разумно ожидать. Напротив, точные вычисления могут быть чрезвычайно сложными, но с ожиданием, что ответ, который они дают, будет правильным. Гораздо большее количество вовлеченных факторов и операций может скрыть очень значительную ошибку, либо в математическом процессе, либо в предположениях, на которых основано уравнение, но результат все равно может считаться правильным, поскольку он был выведен из точной формулы, которая, как ожидается, даст хорошие результаты. Без разумной системы отсчета для работы редко бывает ясно, является ли результат приемлемо точным или на много степеней величины (десятки или сотни раз) больше или меньше. Оценка Ферми дает быстрый и простой способ получить эту систему отсчета для того, что можно было бы разумно ожидать как ответ.

Пока начальные предположения в оценке являются разумными величинами, полученный результат даст ответ в том же масштабе, что и правильный результат, а если нет, то даст основу для понимания того, почему это так. Например, предположим, что человека попросили определить количество настройщиков пианино в Чикаго. Если их первоначальная оценка сказала им, что их должно быть около сотни, но точный ответ говорит им, что их много тысяч, то они знают, что им нужно выяснить, почему существует это расхождение с ожидаемым результатом. Сначала ищем ошибки, затем факторы, которые оценка не учла — есть ли в Чикаго несколько музыкальных школ или других мест с непропорционально высоким соотношением пианино к людям? Будь то близкие или очень далекие от наблюдаемых результатов, контекст, предоставляемый оценкой, дает полезную информацию как о процессе расчета, так и о предположениях, которые использовались для рассмотрения проблем.

Оценки Ферми также полезны при подходе к проблемам, где оптимальный выбор метода расчета зависит от ожидаемого размера ответа. Например, оценка Ферми может указывать, достаточно ли низки внутренние напряжения конструкции, чтобы ее можно было точно описать линейной упругостью ; или если оценка уже имеет значительную связь в масштабе относительно некоторого другого значения, например, если конструкция будет перепроектирована, чтобы выдерживать нагрузки, в несколько раз превышающие оценку. ^{[ необходима цитата ]}

Хотя расчеты Ферми часто неточны, поскольку в их предположениях может быть много проблем, этот вид анализа действительно информирует, на что следует обратить внимание, чтобы получить лучший ответ. Для приведенного выше примера можно попытаться найти более точную оценку количества пианино, настраиваемых настройщиком пианино в типичный день, или найти точное число для населения Чикаго. Он также дает грубую оценку, которая может быть достаточно хороша для некоторых целей: если человек хочет открыть магазин в Чикаго, который продает оборудование для настройки пианино, и подсчитывает, что ему нужно 10 000 потенциальных клиентов, чтобы оставаться в бизнесе, он может разумно предположить, что приведенная выше оценка намного ниже 10 000, и ему следует рассмотреть другой бизнес-план (и, приложив немного больше усилий, он мог бы вычислить грубую верхнюю границу количества настройщиков пианино, рассмотрев самые крайние разумные значения, которые могут появиться в каждом из их предположений).

Объяснение

Оценки Ферми обычно работают, потому что оценки отдельных членов часто близки к правильным, а переоценки и недооценки помогают компенсировать друг друга. То есть, если нет последовательного смещения, расчет Ферми, который включает в себя умножение нескольких оценочных факторов (например, количество настройщиков пианино в Чикаго), вероятно, будет более точным, чем можно было бы предположить на первый взгляд.

В деталях, умножение оценок соответствует сложению их логарифмов; таким образом, получается своего рода винеровский процесс или случайное блуждание по логарифмической шкале , которое рассеивается как (по числу членов n ). В дискретных терминах число переоценок за вычетом недооценок будет иметь биномиальное распределение . В непрерывных терминах, если сделать оценку Ферми n шагов со стандартным отклонением σ единиц по логарифмической шкале от фактического значения, то общая оценка будет иметь стандартное отклонение , поскольку стандартное отклонение суммы масштабируется как по числу слагаемых. ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Например, если сделать 9-шаговую оценку Ферми, на каждом шаге переоценивая или недооценивая правильное число в 2 раза (или со стандартным отклонением 2), то после 9 шагов стандартная ошибка вырастет в логарифмическом размере , так что 2 ³ = 8. Таким образом, можно ожидать, что будет в пределах от 1 ⁄ 8 до 8 раз от правильного значения — в пределах порядка величины и намного меньше, чем в худшем случае ошибки в 2 ⁹ = 512 раз (около 2,71 порядка величины). Если у вас более короткая цепочка или вы оцениваете точнее, общая оценка будет соответственно лучше. ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$

Смотрите также

• Предположительная оценка
• Расчет пути
• Машу рукой
• Эвристический
• Порядок приближения
• Пример Штейна
• Сферическая корова

Ссылки

1. "Взгляд назад: очевидцы Троицы" (PDF) . Nuclear Weapons Journal (2). Los Alamos National Laboratory: 45. 2005. Получено 27 октября 2022 г.
2. Фон Байер, Ганс Христиан (сентябрь 1988 г.). «Как Ферми это исправил бы». The Sciences . 28 (5): 2–4. doi :10.1002/j.2326-1951.1988.tb03037.x.
3. Фон Байер, Ганс Христиан (2001). «Решение Ферми». Решение Ферми: Очерки о науке . Dover Publications. стр. 3–12. ISBN 9780486417073. OCLC  775985788.
4. Weinstein, LB (2012). «Вопросы Ферми». Old Dominion University . Получено 27 октября 2022 г.
5. Вопросы Ферми. Ричард К. Кертис. 2001.
6. Ćirković, Milan M. (10 мая 2018 г.). Великое молчание: наука и философия парадокса Ферми . Oxford University Press. ISBN 9780199646302.

Дальнейшее чтение

В следующих книгах содержится множество примеров задач Ферми с решениями:

• Джон Харт, Рассмотрим сферическую корову: курс решения экологических проблем. Университетские научные книги. 1988. ISBN 0-935702-58-X . 
• Джон Харт, Рассмотрим цилиндрическую корову: больше приключений в решении экологических проблем . Университетские научные книги. 2001. ISBN 1-891389-17-3 . 
• Клиффорд Шварц, Back-of-the-Envelope Physics . Издательство Университета Джонса Хопкинса. 2003. ISBN 0-8018-7263-4 . ISBN 978-0801872631 .  
• Лоуренс Вайнштейн и Джон А. Адам, «Газировка: решение мировых проблем на обороте коктейльной салфетки» Princeton University Press. 2008. ISBN 0-691-12949-5 . ISBN 978-1-4008-2444-1 . Учебник по задачам Ферми.  
• Аарон Сантос, Сколько лизков?: Или как оценить почти все . Running Press. 2009. ISBN 0-7624-3560-7 . ISBN 978-0-7624-3560-9 .  
• Санджой Махаджан, Математика уличных боев: искусство обоснованного угадывания и оппортунистического решения проблем. MIT Press. 2010. ISBN 026251429X . ISBN 978-0262514293 .  
• Йоран Гримвалл, Quantify! Экспресс-курс по умному мышлению . Издательство Университета Джонса Хопкинса. 2010. ISBN 0-8018-9717-3 . ISBN 978-0-8018-9717-7 .  
• Лоуренс Вайнштейн, Догадка 2.0: Решение современных проблем на обороте салфетки . Издательство Принстонского университета. 2012. ISBN 978-0-691-15080-2 . 
• Санджой Махаджан, Искусство понимания в науке и технике . Издательство MIT. 2014. ISBN 9780262526548 . 
• Дмитрий Будкер, Александр О. Сушков, Физика на ногах. Вопросы выпускного экзамена в Беркли. Oxford University Press. 2015. ISBN 978-0199681655 . 
• Роб Иставей, Математика на обратной стороне конверта: умные способы (приблизительно) посчитать что угодно, HarperCollins. 2019. ISBN 978-0008324582 . 

Внешние ссылки

• Группа физического образования Мэрилендского университета ведет коллекцию задач Ферми.
• Вопросы Ферми: руководство для преподавателей, студентов и руководителей мероприятий Ллойда Абрамса.
• «Что если? Раскрасить Землю» из книги « Что если? Серьёзные научные ответы на абсурдные гипотетические вопросы» Рэндалла Манро .
• Пример задачи Ферми, касающейся общего количества бензина, потребляемого автомобилями с момента изобретения автомобилей, и сравнения с выработкой энергии, выделяемой солнцем.
• «Введение в оценки Ферми» Нуньо Семпере, в котором приводится схематическое доказательство того, почему разложения в стиле Ферми дают лучшие оценки.
• «Как следует преподавать математику нематематикам?» Тимоти Гауэрс .

Существует или существовало несколько университетских курсов, посвященных оценке и решению задач Ферми. Материалы для этих курсов являются хорошим источником дополнительных примеров задач Ферми и материалов о стратегиях решения:

• 6,055 Дж / 2,038 Дж Искусство аппроксимации в науке и технике преподает Санджой Махаджан в Массачусетском технологическом институте (MIT).
• «Физика на обратной стороне конверта», которую преподает Лоуренс Вайнштейн в Университете Олд Доминион .
• Порядок величин Физика, преподаваемая Стерлом Финни в Калифорнийском технологическом институте .
• Курс оценки порядка величины преподает Патрик Чуан в Калифорнийском университете в Санта-Крузе .
• Курс «Решение проблем порядка величины» преподает Линда Струббе в Университете Торонто .
• Порядок величин Физика, преподаваемая Юджином Чангом в Калифорнийском университете в Беркли .
• Глава 2: Открытия на обратной стороне конверта из книги «Грани науки: научные привычки разума», которую читает Дэвид Хелфанд в Колумбийском университете .