Проблема Вахбы

В прикладной математике проблема Вахбы , впервые поставленная Грейс Вахбой в 1965 году, стремится найти матрицу вращения ( специальную ортогональную матрицу ) между двумя системами координат из набора (взвешенных) векторных наблюдений. Решения проблемы Вахбы часто используются при определении ориентации спутника с использованием датчиков, таких как магнитометры и многоантенные GPS-приемники . Функция стоимости, которую проблема Вахбы стремится минимизировать, выглядит следующим образом:

${\displaystyle J(\mathbf {R} )={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}a_{k}\|\mathbf {w} _{k}-\mathbf {R} \mathbf {v} _{k}\|^{2}}$для ${\displaystyle N\geq 2}$

где — k -е 3-векторное измерение в системе отсчета, — соответствующее k -е 3-векторное измерение в системе отсчета тела, — матрица вращения 3 на 3 между системами координат. ^[1] — необязательный набор весов для каждого наблюдения. ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle a_{k}}$

В литературе появилось несколько решений этой проблемы, в частности q-метод Дэвенпорта, ^[2] QUEST и методы, основанные на сингулярном разложении (SVD). Несколько методов решения проблемы Вахбы обсуждаются Маркли и Мортари.

Это альтернативная формулировка ортогональной задачи Прокруста (рассматриваем все векторы, умноженные на квадратные корни соответствующих весов, как столбцы двух матриц с N столбцами, чтобы получить альтернативную формулировку). Элегантный вывод решения на полутора страницах можно найти в. ^[3]

Решение через SVD

Одно из решений можно найти с помощью сингулярного разложения (SVD).

1. Получите матрицу следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {w} _{i}{\mathbf {v} _{i}}^{T}}$

2. Найдите разложение по сингулярным числам ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V} ^{T}}$

3. Матрица вращения выглядит просто:

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {M} \mathbf {V} ^{T}}$

где ${\displaystyle \mathbf {M} =\operatorname {diag} ({\begin{bmatrix}1&1&\det(\mathbf {U} )\det(\mathbf {V} )\end{bmatrix}})}$

Примечания

1. Вращение в определении задачи преобразует систему отсчета тела в систему отсчета. Большинство публикаций определяют вращение в обратном направлении, т.е. от системы отсчета к системе отсчета тела, что составляет . ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{T}}$
2. "Q-метод Дэвенпорта (Нахождение ориентации, соответствующей набору точечных образцов)". Mathematics Stack Exchange . Получено 2020-07-23 .
3. Аппель, М. «Надежное обнаружение и устранение спуфинга на основе оценки направления прибытия» (PDF) . Ion GNSS+ 2015. 28 .

Ссылки

• Вахба, Г. Задача 65–1: Оценка положения спутника методом наименьших квадратов, SIAM Review, 1965, 7(3), 409
• Шустер, МД и О, СД Определение трехосного положения по векторным наблюдениям, Журнал руководства и управления, 1981, 4(1):70–77
• Маркли, Ф. Л. Определение положения с использованием векторных наблюдений и разложения сингулярных значений, Журнал астронавтических наук, 1988, 38:245–258
• Маркли, Ф. Л. и Мортари, Д. Оценка ориентации кватерниона с использованием векторных наблюдений, Журнал астронавтических наук, 2000, 48(2):359–380
• Маркли, Ф. Л. и Крассидис, Дж. Л. Основы определения и управления положением космического корабля, Springer 2014
• Либбус, Б. и Саймонс, Г. и Яо, И. Вращение нескольких наборов помеченных точек для приведения их к близкому совпадению: обобщенная проблема Вахбы, The American Mathematical Monthly, 2017, 124(2):149–160
• Луракис, М. и Терзакис, Г. Повторный взгляд на эффективную абсолютную ориентацию, Международная конференция IEEE/RSJ по интеллектуальным роботам и системам (IROS), 2018, стр. 5813-5818.

Смотрите также

• Метод триады
• Алгоритм Кабша
• Ортогональная задача Прокруста