Проблема Ньютона–Пеписа

Проблема вероятности

Задача Ньютона –Пеписа — вероятностная задача, касающаяся вероятности выпадения шестерок при бросании определенного количества игральных костей. ^[1]

В 1693 году Сэмюэл Пипс и Исаак Ньютон переписывались по проблеме, которую Пипсу предложил школьный учитель по имени Джон Смит. ^[2] Проблема была следующей:

Какое из следующих трех предложений имеет наибольшие шансы на успех?

A. Шесть игральных костей бросаются независимо друг от друга, и хотя бы на одной из них появляется цифра «6».

Б. Двенадцать игральных костей бросаются независимо друг от друга, и выпадает не менее двух цифр «6».

C. Восемнадцать игральных костей бросаются независимо друг от друга, и выпадает не менее трех цифр «6». ^[3]

Первоначально Пипс считал, что исход C имеет наибольшую вероятность, но Ньютон правильно заключил, что на самом деле исход A имеет наибольшую вероятность.

Решение

Вероятности результатов A, B и C следующие: ^[1]

${\displaystyle P(A)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{6}={\frac {31031}{46656}}\approx 0.6651\,,}$

${\displaystyle P(B)=1-\sum _{x=0}^{1}{\binom {12}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{12-x}={\frac {1346704211}{2176782336}}\approx 0.6187\,,}$

${\displaystyle P(C)=1-\sum _{x=0}^{2}{\binom {18}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{18-x}={\frac {15166600495229}{25389989167104}}\approx 0.5973\,.}$

Эти результаты могут быть получены путем применения биномиального распределения (хотя Ньютон получил их из первых принципов). В общем, если P( n ) — вероятность выпадения не менее n шестерок при 6 n игральных костях, то:

${\displaystyle P(n)=1-\sum _{x=0}^{n-1}{\binom {6n}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{6n-x}\,.}$

С ростом n P( n ) монотонно уменьшается до асимптотического предела 1/2.

Пример на языке R

Описанное выше решение можно реализовать на языке R следующим образом:

for ( s in 1 : 3 ) { # ищем s = 1, 2 или 3 шестерки n = 6 * s # ... на n = 6, 12 или 18 кубиках q = pbinom ( s -1 , n , 1 / 6 ) # q = Prob( <s шестерок на n кубиках ) cat ( "Вероятность выпадения по крайней мере" , s , "шестерки на" , n , "честной кости:" , 1 - q , "\n" ) }                     

объяснение Ньютона

Хотя Ньютон правильно рассчитал шансы каждой ставки, он предоставил отдельное интуитивное объяснение Пипсу. Он представил, что B и C бросают свои кости группами по шесть, и сказал, что A был наиболее благоприятным, потому что требовал 6 только в одном броске, в то время как B и C требовали 6 в каждом из своих бросков. Это объяснение предполагает, что группа не производит более одной 6, поэтому оно на самом деле не соответствует исходной задаче. ^[3]

Обобщения

Естественным обобщением проблемы является рассмотрение n не обязательно честных игральных костей, где p — вероятность того, что каждая кость выберет грань 6 при броске (обратите внимание, что на самом деле количество граней кости и то, какая грань должна быть выбрана, не имеют значения). Если r — общее количество игральных костей, выбирающих грань 6, то r — вероятность того, что при броске ровно n игральных костей будет сделано по крайней мере k правильных выборов . Тогда исходную задачу Ньютона–Пеписа можно обобщить следующим образом: ${\displaystyle P(r\geq k;n,p)}$

Пусть — натуральные положительные числа st . Тогда не меньше ли, чем для всех n, p, k ? ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$ ${\displaystyle \nu _{1}\leq \nu _{2}}$ ${\displaystyle P(r\geq \nu _{1}k;\nu _{1}n,p)}$ ${\displaystyle P(r\geq \nu _{2}k;\nu _{2}n,p)}$

Обратите внимание, что с этой записью исходная задача Ньютона–Пеписа читается как: равно ? ${\displaystyle P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)}$

Как отмечено в работе Рубина и Эванса (1961), не существует единых ответов на обобщенную задачу Ньютона–Пеписа, поскольку ответы зависят от k, n и p . Тем не менее, существуют некоторые вариации предыдущих вопросов, которые допускают единые ответы:

(из Чонди и Булларда (1960)): ^[4]

Если — положительные натуральные числа, и , то . ${\displaystyle k_{1},k_{2},n}$ ${\displaystyle k_{1}<k_{2}}$ ${\displaystyle P(r\geq k_{1};k_{1}n,{\frac {1}{n}})>P(r\geq k_{2};k_{2}n,{\frac {1}{n}})}$

Если — положительные натуральные числа, и , то . ${\displaystyle k,n_{1},n_{2}}$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$ ${\displaystyle P(r\geq k;kn_{1},{\frac {1}{n_{1}}})>P(r\geq k;kn_{2},{\frac {1}{n_{2}}})}$

(из Вараньоло, Пиллонетто и Шенато (2013)): ^[5]

Если — положительные натуральные числа, и тогда . ${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2},n,k}$ ${\displaystyle \nu _{1}\leq \nu _{2},k\leq n,p\in [0,1]}$ ${\displaystyle P(r=\nu _{1}k;\nu _{1}n,p)\geq P(r=\nu _{2}k;\nu _{2}n,p)}$

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Проблема Ньютона-Пеписа». Математический мир .
2. Чаунди, Т. В., Буллард, Дж. Э., 1960. «Проблема Джона Смита». The Mathematical Gazette 44, 253-260.
3. Stigler, Stephen M (2006). «Исаак Ньютон как вероятностный специалист». Статистическая наука . 21 (3): 400. arXiv : math/0701089 . doi :10.1214/088342306000000312. S2CID  17471221.
4. Чаунди, Т. В., Буллард, Дж. Э., 1960. «Проблема Джона Смита». The Mathematical Gazette 44, 253-260.
5. Вараньоло, Дамиано; Шенато, Лука; Пиллонето, Джанлуиджи (2013). «Вариация задачи Ньютона–Пеписа и ее связь с проблемами оценки размера». Statistics & Probability Letters . 83 (5): 1472–1478. doi :10.1016/j.spl.2013.02.008.