Проблема Гурвица

В математике задача Гурвица (названная в честь Адольфа Гурвица ) — это задача нахождения мультипликативных соотношений между квадратичными формами , которые обобщают те, которые, как известно, существуют между суммами квадратов определенного числа переменных.

Описание

Существуют хорошо известные мультипликативные соотношения между суммами квадратов двух переменных.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}\ ,}$

(известное как тождество Брахмагупты–Фибоначчи ), а также тождество четырех квадратов Эйлера и тождество восьми квадратов Дегена . Их можно интерпретировать как мультипликативность для норм комплексных чисел ( ), кватернионов ( ) и октонионов ( ), соответственно. ^{[1] : 1–3  [2]} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Задача Гурвица для поля K состоит в нахождении общих соотношений вида

${\displaystyle (x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,}$

причем z является билинейной формой относительно x и y : то есть, каждая z является K -линейной комбинацией членов вида x _i y _j . ^{[3] : 127}

Мы называем тройку допустимой для K, если такое тождество существует. ^{[1] : 125} Тривиальные случаи допустимых троек включают Задача неинтересна для K характеристики 2, так как над такими полями каждая сумма квадратов является квадратом, и мы исключаем этот случай. Считается ,  что в противном случае допустимость не зависит от поля определения. ^{[1] : 137} ${\displaystyle \;(r,s,n)\;}$ ${\displaystyle \;(r,s,rs)\;.}$

Теорема Гурвица–Радона

Гурвиц сформулировал проблему в 1898 году в частном случае и показал, что при взятии коэффициентов единственными допустимыми значениями являются ^{[3] : 130} Его доказательство распространяется на поле любой характеристики, кроме  2. ^{[1] : 3} ${\displaystyle \;r=s=n\;}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \,(n,n,n)\,}$ ${\displaystyle \;n\in \{1,2,4,8\}\;.}$

Проблема «Гурвица–Радона» заключается в нахождении допустимых троек вида Очевидно, что допустимо. Теорема Гурвица–Радона утверждает, что допустимо над любым полем, где — функция, определенная для нечетного v , причем и ^{[1] : 137  [3] : 130} ${\displaystyle \,(r,n,n)\;.}$ ${\displaystyle \;(1,n,n)\;}$ ${\displaystyle \;\left(\rho (n),n,n\right)\;}$ ${\displaystyle \,\rho (n)\,}$ ${\displaystyle \;n=2^{u}v\;,}$ ${\displaystyle \;u=4a+b\;,}$ ${\displaystyle \;0\leq b\leq 3\;,}$ ${\displaystyle \;\rho (n)=8a+2^{b}\;.}$

Другие допустимые тройки включают ^{[1] : 138} и ^{[1] : 137} ${\displaystyle \,(3,5,7)\,}$ ${\displaystyle \,(10,10,16)\;.}$

Смотрите также

• Композиционная алгебра
• Теорема Гурвица (нормированные алгебры с делением)
• Число Радона–Гурвица

Ссылки

1. Раджваде, AR (1993). Квадраты . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Збл  0785.11022.
2. Кертис, CW (1963). «Проблема четырех и восьми квадратов и алгебры деления». В Albert, AA (ред.). Исследования по современной алгебре . Математическая ассоциация Америки . стр. 100–125, особенно 115.— Решение задачи Гурвица на стр. 115.
3. Lam, Tsit-Yuen (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2. MR  2104929. Zbl  1068.11023.