Проблема банкротства

Проблема математической социологии

Проблема банкротства ^[1] , также называемая проблемой претензий ^[2], представляет собой проблему распределения однородного делимого товара (например, денег) среди людей с различными претензиями . Основное внимание уделяется случаю, когда сумма недостаточна для удовлетворения всех претензий.

Каноническое приложение — это обанкротившаяся фирма , которая должна быть ликвидирована . Фирма должна разные суммы денег разным кредиторам , но общая стоимость активов компании меньше ее общей задолженности. Проблема в том, как разделить скудные имеющиеся деньги между кредиторами.

Другим применением может быть раздел имущества между несколькими наследниками , особенно когда имущество не может удовлетворить все обязательства умершего.

Третье применение ^[2] — это налоговая оценка . Можно рассматривать заявителей как налогоплательщиков, требования как доходы, а эндаумент как общий доход после уплаты налогов. Определение распределения общего дохода после уплаты налогов эквивалентно определению распределения налоговых платежей.

Определения

Сумма, доступная для деления, обозначается как (=Имущество или Фонд). Есть n претендентов . Каждый претендент i имеет претензию, обозначенную как . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c_{i}}$

Предполагается , что , то есть общая сумма претензий (слабо) превышает стоимость имущества. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}$

Правило деления — это функция, которая отображает экземпляр проблемы в вектор такой, что и для всех i . То есть: каждый претендент получает максимум по своему требованию, а сумма распределений — это в точности имущество E . ${\displaystyle (c_{1},\ldots ,c_{n},E)}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}$ ${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq c_{i}}$

Обобщения

Существуют обобщенные варианты, в которых общие требования могут быть меньше имущества. В этих обобщенных вариантах не предполагается и не требуется. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}$ ${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq c_{i}}$

Другое обобщение, вдохновленное реалистичными проблемами банкротства, заключается в добавлении экзогенного приоритетного порядка среди заявителей, который может быть разным даже для заявителей с идентичными претензиями. Эта проблема называется проблемой претензий с приоритетами . Другой вариант называется проблемой претензий с весами.

Правила

На практике существуют различные правила решения проблем банкротства. ^[1]

• Пропорциональное правило делит имущество пропорционально требованию каждого агента. Формально, каждый претендент i получает , где r — константа, выбранная таким образом, что . Обозначим результат пропорционального правила как . ${\displaystyle r\cdot c_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r\cdot c_{i}=E}$ ${\displaystyle PROP(c_{1},\ldots ,c_{n};E)}$
• Существует вариант, называемый правилом пропорциональности усеченных исков , в котором каждое исковое заявление, большее, чем E, усекается до E , а затем активируется правило пропорциональности. То есть, оно равно , где . ^[2] ${\displaystyle PROP(c_{1}',\ldots ,c_{n}',E)}$ ${\displaystyle c'_{i}:=\min(c_{i},E)}$
• Скорректированное пропорциональное правило ^[3] сначала дает каждому агенту i его минимальное право , которое является суммой, не востребованной другими агентами. Формально, . Обратите внимание, что подразумевает . Затем оно пересматривает требование агента i до , а имущество до . Обратите внимание, что . Наконец, оно активирует пропорциональное правило усеченных требований, то есть оно возвращает , где . При двух претендентах пересмотренные требования всегда равны, поэтому остаток делится поровну. При трех и более претендентах пересмотренные требования могут быть разными. ${\displaystyle m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}\geq E}$ ${\displaystyle m_{i}\leq c_{i}}$ ${\displaystyle c'_{i}:=c_{i}-m_{i}}$ ${\displaystyle E':=E-\sum _{i}m_{i}}$ ${\displaystyle E'\geq 0}$ ${\displaystyle TPROP(c_{1},\ldots ,c_{n},E')=PROP(c_{1}'',\ldots ,c_{n}'',E')}$ ${\displaystyle c''_{i}:=\min(c'_{i},E')}$
• Правило ограниченных равных наград делит имущество поровну между агентами, гарантируя, что никто не получит больше, чем по его требованию. Формально, каждый претендент i получает , где r — константа, выбранная таким образом, что . Мы обозначаем результат этого правила как . В контексте налогообложения это известно как выравнивающий налог . ^[2] ${\displaystyle \min(c_{i},r)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\min(c_{i},r)=E}$ ${\displaystyle CEA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)}$
• Правило ограниченных равных потерь делит поровну разницу между совокупным требованием и имуществом, гарантируя, что ни один агент не получит отрицательный перевод. Формально каждый претендент i получает , где r выбирается таким образом, что . Это правило обсуждалось Маймонидом . ^[4] В контексте налогообложения он известен как подушный налог . ${\displaystyle \max(0,c_{i}-r)}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\max(0,c_{i}-r)=E}$
• Оспариваемое правило одежды (также называемое правилом Талмуда ) использует правило CEA для половины претензий, если имущество меньше половины общей суммы претензии; в противном случае оно дает каждому истцу половину его претензий и применяет правило CEL. Формально, если то ; В противном случае, . ${\displaystyle 2E<\sum _{i=1}^{n}c_{i}}$ ${\displaystyle CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$ ${\displaystyle CG(c_{1},\ldots ,c_{n};E)=c/2+CEL(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j}(c_{j}/2))}$
• Следующее правило приписывается ^[2] Пинилсу . ^[5] Если сумма претензий больше 2 E , то он применяет правило CEA к половине претензий, то есть возвращает  ; В противном случае он отдает каждому агенту половину его претензии, а затем применяет CEA к оставшейся части, то есть возвращает . ${\displaystyle CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E)}$ ${\displaystyle (c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2)+CEA(c_{1}/2,\ldots ,c_{n}/2;E-\sum _{j=1}^{n}c_{j}/2)}$
• Правило ограниченного эгалитаризма ^[6] работает следующим образом. Если сумма требований больше 2 E , то оно запускает правило CEA для половины требований, давая каждому заявителю i . В противном случае оно дает каждому агенту i , В обоих случаях r — константа, выбранная таким образом, чтобы сумма распределений равнялась E . ${\displaystyle \min(c_{i}/2,r)}$ ${\displaystyle \max(c_{i}/2,\min(c_{i},r))}$
• Правило случайного прибытия работает следующим образом. Предположим, что заявители прибывают по одному. Каждый заявитель получает все свои претензии, вплоть до доступной суммы. Правило возвращает среднее значение результирующих векторов распределения, когда порядок прибытия выбирается равномерно случайным образом. ^[7] Формально:

${\displaystyle RA(c_{1},\ldots ,c_{n};E)={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in {\text{permutations}}}\min(c_{i},\max(0,E-\sum _{\pi (j)<\pi (i)}c_{j}))}$.

Правила банкротства и кооперативные игры

Торговые игры

Можно связать каждую проблему банкротства с проблемой кооперативного торга и использовать правило торга для решения проблемы банкротства. Затем:

• Решение Нэша о переговорах соответствует правилу ограниченных равных наград ; ^[8]
• Решение лексикографически-эгалитаристского торга также соответствует правилу ограниченного равного вознаграждения; ^[2]
• Взвешенное решение Нэша по торгам , с весами, равными требованиям, соответствует пропорциональному правилу ; ^[8]
• Решение по переговорам Калаи -Смородинского соответствует правилу пропорциональности усеченных претензий; ^[8]
• Решение о расширенном равном ущербе соответствует правилу усеченных претензий с ограниченным равным ущербом. ^[2]

Коалиционные игры

Можно связать каждую проблему банкротства с кооперативной игрой , в которой ценность каждой коалиции равна ее минимальному праву — сумме, которую эта коалиция может себе обеспечить, если все остальные заявители получат свои полные претензии (то есть, сумме, которую эта коалиция может получить, не обращаясь в суд). Формально ценность каждого подмножества S заявителей равна . Результирующая игра является выпуклой , ^[4], поэтому ее ядро ​​непусто. Можно использовать концепцию решения для кооперативных игр, чтобы решить соответствующую проблему банкротства. Каждое правило деления, которое зависит только от усеченных претензий, соответствует решению кооперативной игры. В частности: ${\displaystyle v(S):=\max \left(0,~E-\sum _{j\not \in S}c_{j}\right)}$

• Значение Шепли соответствует правилу случайного поступления; ^[7]
• Пренуклеолус соответствует правилу Талмуда; ^[4 ]
• Решение Дутта-Рэя соответствует правилу ограниченных равных наград; ^[9]
• Решение по значению Тау соответствует скорректированному пропорциональному правилу. ^[3]

Альтернативным способом связать проблему претензий с кооперативной игрой ^[10] является ее максимальное право — сумма, которую эта коалиция может себе обеспечить, если все остальные претенденты откажутся от своих претензий: . ${\displaystyle v(S):=\min \left(E,\sum _{j\in S}c_{j}\right)}$

Свойства правил деления

В большинстве случаев правила деления часто требуются для удовлетворения следующих основных свойств: ^[2]

• Осуществимость : сумма распределений не превышает общую стоимость имущества . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\leq E}$
• Эффективность : сильнее осуществимости: сумма распределений равна общему имуществу . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=E}$
• Неотрицательность : каждый заявитель должен получить неотрицательную сумму . ${\displaystyle \forall i:x_{i}\geq 0}$
• Ограниченность претензий : каждый претендент должен получить максимум по своему требованию . ${\displaystyle \forall i:x_{i}\leq c_{i}}$
• Минимальные права : сильнее неотрицательности: каждый претендент должен получить по крайней мере свое минимальное право, которое останется, если все остальные агенты получат свои полные права: . ${\displaystyle \forall i:x_{i}\geq m_{i},{\text{ where }}m_{i}:=\max(0,E-\sum _{j\neq i}c_{j})}$
  • Обратите внимание, что эффективность, неотрицательность и ограниченность требований вместе подразумевают минимальные права.
• Равное отношение к равным (ETE) : два заявителя с идентичными требованиями должны получить одинаковые распределения: В обобщенных задачах требований с приоритетами равное отношение к равным требуется для агентов в каждом классе приоритетов, но не для агентов в разных классах приоритетов. ${\displaystyle c_{i}=c_{j}\implies x_{i}=x_{j}}$
• Равное отношение к равным группам : сильнее, чем ETE: две подгруппы претендентов с одинаковым общим требованием должны получить одинаковое общее распределение.
• Анонимность : сильнее, чем ETE: если мы переставляем вектор требований, то вектор распределений переставляется соответствующим образом.
• Сохранение порядка : сильнее, чем ETE: агенты со слабо-высокими претензиями должны получать слабо-больше и должны терять слабо-больше: . ${\displaystyle c_{i}\geq c_{j}\implies (x_{i}\geq x_{j}{\text{ and }}c_{i}-x_{i}\geq c_{j}-x_{j})}$
• Сохранение порядка в группе : сильнее, чем групповой ETE и сохранение порядка: требует сохранения порядка среди каждых двух подмножеств агентов.

Смотрите также

• Право (справедливое разделение)
• Пропорциональное разделение пирога с различными правами
• Стратегическая проблема банкротства

Ссылки

1. Алькальде, Хосе; Перис, Хосеп Э. (17 февраля 2017 г.). «Равные награды против равных потерь в проблемах банкротства». ССРН . дои : 10.2139/ssrn.2919582. S2CID  158036131. ​​SSRN  2919582.
2. Томсон, Уильям (2003-07-01). "Аксиоматический и теоретико-игровой анализ проблем банкротства и налогообложения: обзор". Математические социальные науки . 45 (3): 249–297. doi :10.1016/S0165-4896(02)00070-7. ISSN  0165-4896.
3. Куриэль, IJ; Машлер, М.; Тийс, С.Х. (1 сентября 1987 г.). «Банкротные игры». Zeitschrift für Operations Research . 31 (5): А143–А159. дои : 10.1007/BF02109593. ISSN  1432-5217. S2CID  206811949.
4. Aumann, Robert J; Maschler, Michael (1985-08-01). «Теоретико-игровой анализ проблемы банкротства из Талмуда». Журнал экономической теории . 36 (2): 195–213. doi :10.1016/0022-0531(85)90102-4. ISSN  0022-0531.
5. Пинилес, Цви Менахем (1863). Дарка Шел Тора (иврит). Вена: Форестер.
6. Чун, Янгсаб; Шуммер, Джеймс; Томсон, Уильям (1998). «Ограниченный эгалитаризм: новое решение проблем претензий». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
7. O'Neill, Barry (1982-06-01). "Проблема арбитража прав из Талмуда". Математические социальные науки . 2 (4): 345–371. doi :10.1016/0165-4896(82)90029-4. hdl : 10419/220805 . ISSN  0165-4896.
8. Даган, Нир; Волий, Оскар (1993-11-01). «Проблема банкротства: кооперативный подход к переговорам». Математические социальные науки . 26 (3): 287–297. doi :10.1016/0165-4896(93)90024-D. ISSN  0165-4896.
9. Дутта, Бхаскар; Рэй, Дебрадж (1989). «Концепция эгалитаризма при ограничениях участия». Econometrica . 57 (3): 615–635. doi :10.2307/1911055. ISSN  0012-9682. JSTOR  1911055.
10. Дриссен, Тео (1995). «Альтернативный теоретико-игровой анализ проблемы банкротства из Талмуда: случай жадной игры в банкротство». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

• Аддитивные правила в проблемах банкротства и других связанных с этим проблемах
• Проблема банкротства: подход к кооперативным переговорам