Оптимальное решение

Решение, которое приводит к лучшему результату в теории принятия решений

Оптимальное решение — это решение, которое приводит к как минимум такому же известному или ожидаемому результату, как и все другие доступные варианты решений. Это важная концепция в теории принятия решений . Чтобы сравнить различные результаты принятия решений, обычно каждому из них присваивают значение полезности .

Если есть неопределенность относительно того, каким будет результат, но есть знание о распределении неопределенности, то согласно аксиомам фон Неймана–Моргенштерна оптимальное решение максимизирует ожидаемую полезность (вероятностно- взвешенное среднее полезности по всем возможным результатам решения). Иногда рассматривается эквивалентная задача минимизации ожидаемого значения потери , где потеря равна (–1) умножить на полезность. Другая эквивалентная задача — минимизация ожидаемого сожаления .

«Полезность» — это лишь произвольный термин для количественной оценки желательности конкретного результата решения, и он не обязательно связан с «полезностью». Например, для кого-то вполне может быть оптимальным решением купить спортивный автомобиль, а не универсал, если результат с точки зрения другого критерия (например, влияние на личный имидж) более желателен, даже с учетом более высокой стоимости и отсутствия универсальности спортивного автомобиля.

Проблема поиска оптимального решения — это математическая задача оптимизации . На практике мало кто проверяет, что их решения оптимальны, но вместо этого использует эвристику и эмпирические правила, чтобы принимать решения, которые «достаточно хороши» — то есть, они занимаются satisficing .

Более формальный подход может использоваться, когда решение достаточно важно, чтобы оправдать время, необходимое для его анализа, или когда оно слишком сложно для решения с помощью более простых интуитивных подходов, таких как множество доступных вариантов решений и сложная взаимосвязь между решением и результатом.

Формальное математическое описание

Каждое решение в наборе доступных вариантов решения приведет к результату . Все возможные результаты образуют набор . Назначая полезность каждому результату, мы можем определить полезность конкретного решения как ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle o=f(d)}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle U_{O}(o)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d)).\,}$

Тогда мы можем определить оптимальное решение как такое, которое максимизирует  : ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle U_{D}(d)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d).\,}$

Таким образом, решение проблемы можно разделить на три этапа:

1. прогнозирование результата каждого решения ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle d;}$
2. назначение полезности каждому результату ${\displaystyle U_{O}(o)}$ ${\displaystyle o;}$
3. найти решение , которое максимизирует ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle U_{D}(d).}$

В условиях неопределенности результата

В случае, если невозможно с уверенностью предсказать, каким будет результат конкретного решения, необходим вероятностный подход. В самом общем виде его можно выразить следующим образом:

Принимая решение , мы знаем распределение вероятностей для возможных результатов, описанных условной плотностью вероятности . Рассматривая как случайную величину (условную на ), мы можем вычислить ожидаемую полезность решения как ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p(o|d)}$ ${\displaystyle U_{D}(d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,}$ ,

где интеграл берется по всему множеству (DeGroot, стр. 121). ${\displaystyle O}$

Оптимальным решением тогда является то, которое максимизирует , как и выше: ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}{\text{E}}U_{D}(d).\,}$

Примером может служить задача Монти Холла .

Смотрите также

• Принятие решений
• Программное обеспечение для принятия решений
• Двухальтернативный принудительный выбор

Ссылки

• Моррис Дегрут Оптимальные статистические решения . McGraw-Hill. Нью-Йорк. 1970. ISBN  0-07-016242-5 .
• Джеймс О. Бергер Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ . Второе издание. 1980. Springer Series in Statistics. ISBN 0-387-96098-8 .