В математике кондуктор эллиптической кривой над полем рациональных чисел (или, в более общем смысле, локальным или глобальным полем ) — это интегральный идеал , аналогичный кондуктору Артина представления Галуа . Он задаётся как произведение простых идеалов вместе с соответствующими показателями, которые кодируют ветвление в расширениях поля , порожденных точками конечного порядка в групповом законе эллиптической кривой . Простые числа, входящие в кондуктор, — это в точности простые числа плохой редукции кривой: это критерий Нерона–Огга–Шафаревича .
Формула Огга выражает проводник через дискриминант и число компонентов специального волокна над локальным полем, которое можно вычислить с помощью алгоритма Тейта .
Проводник эллиптической кривой над локальным полем был неявно изучен (но не назван) Оггом (1967) в форме целочисленного инварианта ε+δ, который позже оказался показателем проводника.
Проводник эллиптической кривой над рациональными числами был введен и назван Вейлем (1967) как константа, появляющаяся в функциональном уравнении ее L-серии , аналогично тому, как проводник глобального поля появляется в функциональном уравнении его дзета-функции. Он показал, что его можно записать как произведение над простыми числами с показателями, заданными порядком (Δ) − μ + 1, что по формуле Огга равно ε+δ. Аналогичное определение работает для любого глобального поля. Вейль также предположил, что проводник равен уровню модулярной формы, соответствующей эллиптической кривой.
Серр и Тейт (1968) распространили теорию на проводники абелевых многообразий .
Пусть E — эллиптическая кривая, определенная над локальным полем K , а p — простой идеал кольца целых чисел K. Рассмотрим минимальное уравнение для E : обобщенное уравнение Вейерштрасса , коэффициенты которого являются p -целыми и с минимально возможной оценкой дискриминанта ν p (Δ). Если дискриминант — p -единица, то E имеет хорошую редукцию в p , а показатель кондуктора равен нулю.
Мы можем записать показатель f проводника как сумму ε + δ двух членов, соответствующих ручному и дикому ветвлению. Часть ручного ветвления ε определяется в терминах типа редукции: ε=0 для хорошей редукции, ε=1 для мультипликативной редукции и ε=2 для аддитивной редукции. Член дикого ветвления δ равен нулю, если только p не делит 2 или 3, и в последних случаях он определяется в терминах дикого ветвления расширений K точками деления E по формуле Серра
Здесь M — группа точек на эллиптической кривой порядка l для простого числа l , P — представление Свана , а G — группа Галуа конечного расширения K, такого, что точки M определены над ним (так что G действует на M ).
Показатель степени проводника связан с другими инвариантами эллиптической кривой формулой Огга:
где n — число компонентов (без учета кратностей) единичного волокна минимальной модели Нерона для E. (Иногда это используется как определение проводника).
Первоначальное доказательство Огга использовало много проверок по каждому случаю, особенно в характеристиках 2 и 3. Сайто (1988) дал единообразное доказательство и обобщил формулу Огга на более общие арифметические поверхности.
Мы также можем описать ε в терминах оценки j-инварианта ν p ( j ): он равен 0 в случае хорошей редукции; в противном случае он равен 1, если ν p ( j ) < 0, и 2, если ν p ( j ) ≥ 0.
Пусть E — эллиптическая кривая, определенная над числовым полем K. Глобальный проводник — это идеал, заданный произведением простых чисел K
Это конечное произведение, поскольку простые числа плохой редукции содержатся в наборе простых делителей дискриминанта любой модели для E с глобальными интегральными коэффициентами.
![{\displaystyle \delta =\dim _{Z/lZ}{\text{Hom}}_{Z_{l}[G]}(P,M).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64514b79c34d60c5ce490bdfa26432c9a4e41de)
