Проводник (теория колец)

В теории колец , разделе математики , проводник является измерением того, насколько далеко друг от друга находятся коммутативное кольцо и кольцо расширения . Чаще всего большее кольцо является областью , цело замкнутой в своем поле дробей , а затем проводник измеряет неспособность меньшего кольца быть цело замкнутым.

Проводник имеет большое значение в изучении немаксимальных порядков в кольце целых чисел алгебраического числового поля . Одна из интерпретаций проводника заключается в том, что он измеряет несостоятельность однозначной факторизации в простые идеалы .

Определение

Пусть A и B — коммутативные кольца, и предположим, что A $\subseteq B. Проводник$ [ ^1] кольца A в B — это идеал

{\mathfrak {f}}(B/A)=\operatorname {Энн} _{A}(B/A).

Здесь $B / A$ рассматривается как частное A - модулей , а Ann $обозначает$ аннулятор . Более конкретно, проводник - это множество

{\mathfrak {f}}(B/A)=\{a\in A\colon aB\subseteq A\}.

Поскольку проводник определяется как аннулятор , он является идеалом A.

Если B — целостная область , то проводник можно переписать как

\{0\}\cup \left\{a\in A\setminus \{0\}:B\subseteq \textstyle {\frac {1}{a}}A\right\},

где рассматривается как подмножество дробного поля B . То есть, если a не равно нулю и находится в проводнике, то каждый элемент B может быть записан в виде дроби, числитель которой находится в A , а знаменатель — a . Поэтому ненулевые элементы проводника — это те, которые достаточны в качестве общих знаменателей при записи элементов B в виде частных элементов A . $\textstyle {\frac {1}{a}}A$

Предположим, что R — это кольцо, содержащее B. Например, R может быть равно B или B может быть доменом, а R — его полем дробей. Тогда, поскольку $1 \in B$ , проводник также равен

\{r\in R:rB\subseteq A\}.

Элементарные свойства

Проводник является всем кольцом A тогда и только тогда, когда оно содержит $1 \in A$ и, следовательно, тогда и только тогда, когда A $= B. В$ противном случае проводник является собственным идеалом кольца A.

Если индекс $m = [B : A]$ конечен, то $mB \subseteq A$ , поэтому . В этом случае проводник ненулевой. Это применимо, в частности, когда B — кольцо целых чисел в алгебраическом числовом поле, а A — порядок (подкольцо, для которого $B$ $/$ $A$ конечно). $m\in {\mathfrak {f}}(B/A)$

Проводник также является идеалом B , потому что для любого $b$ из $B$ и любого $a$ из , $baB$ $\subseteq$ $aB$ $\subseteq$ $A$ . Фактически, идеал J из B содержится в A тогда и только тогда, когда J содержится в проводнике. Действительно, для такого J , $JB$ $\subseteq$ $J$ $\subseteq$ $A$ , поэтому по определению J содержится в . Обратно , проводник является идеалом A , поэтому любой идеал, содержащийся в нем, содержится в A . Этот факт подразумевает, что является наибольшим идеалом A , который также является идеалом B . (Может случиться, что существуют идеалы A , содержащиеся в проводнике, которые не являются идеалами B .) ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$

Предположим, что S — мультипликативное подмножество A. Тогда

S^{-1}{\mathfrak {f}}(B/A)\subseteq {\mathfrak {f}}(S^{-1}B/S^{-1}A),

с равенством в случае, если B является конечно порождённым A -модулем.

Проводники Дедекиндовских доменов

Некоторые из наиболее важных приложений кондуктора возникают, когда B является областью Дедекинда , а $B / A$ конечно. Например, B может быть кольцом целых чисел числового поля , а A — немаксимальным порядком. Или B может быть аффинным координатным кольцом гладкой проективной кривой над конечным полем , а A — аффинным координатным кольцом сингулярной модели. Кольцо A не имеет однозначной факторизации на простые идеалы, и несостоятельность однозначной факторизации измеряется кондуктором . ${\mathfrak {f}}(B/A)$

Идеалы , взаимно простые с проводником, разделяют многие приятные свойства идеалов в дедекиндовых областях. Более того, для этих идеалов существует тесное соответствие между идеалами B и идеалами A :

Идеалы A , которые взаимно просты, чтобы иметь единственное разложение на произведения обратимых простых идеалов, которые взаимно просты с проводником. В частности, все такие идеалы обратимы. ${\mathfrak {f}}(B/A)$
Если I — идеал в B , который взаимно прост с , то $I$ $\cap$ $A$ — идеал в A , который взаимно прост с , и естественный гомоморфизм колец является изоморфизмом . В частности, I является простым тогда и только тогда, когда $I$ $\cap$ $A$ является простым. ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ $A/(I\cap A)\to B/I$
Если J — идеал A , который относительно прост с , то $JB$ — идеал B , который относительно прост с , и естественный гомоморфизм колец является изоморфизмом. В частности, J является простым тогда и только тогда, когда JB является простым. ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ $A/J\to B/JB$
Функции и определяют биекцию между идеалами A, взаимно простыми с , и идеалами B, взаимно простыми с . Эта биекция сохраняет свойство быть простым. Она также мультипликативна, то есть и . $I\mapsto I\cap A$ $J\mapsto JB$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ ${\mathfrak {f}}(B/A)$ $(I\cap A)(I'\cap A)=II'\cap A$ $(JB)(J'B)=JJ'B$

Все эти свойства в общем случае не выполняются для идеалов, не взаимно простых с проводником. Чтобы увидеть некоторые из трудностей, которые могут возникнуть, предположим, что J является ненулевым идеалом как A , так и B (в частности, он содержится в проводнике, следовательно, не является взаимно простым с ним). Тогда J не может быть обратимым дробным идеалом A , если только $A = B.$ Поскольку B является областью Дедекинда, J обратим в B , и, следовательно,

\{x\in K\colon xJ\subseteq J\}=B,

поскольку мы можем умножить обе стороны уравнения $xJ \subseteq J$ на J ⁻¹ . Если J также обратим в A , то применимы те же рассуждения. Но левая часть приведенного выше уравнения не ссылается ни на A, ни на B , а только на их общее поле дробей, и, следовательно, A $= B. Следовательно$ , идеал как A , так и B подразумевает необратимость в A.

Проводники квадратичных числовых полей

Пусть K — квадратичное расширение Q , и пусть $O K — его кольцо целых чисел. Расширяя 1 \in O K$ $до$ $Z$ -базиса $,$ $мы$ видим , что каждый порядок O в K имеет вид $Z$ $+$ $cO$ $K$ для некоторого положительного целого числа c . Кондуктор этого порядка равен идеалу cO _K . Действительно, ясно, что cO _K — идеал O _{K ,} содержащийся в O , поэтому он содержится в кондукторе. С другой стороны, идеалы O , содержащие cO _{K ,} совпадают с идеалами фактор-кольца $($ $Z$ $+$ $cO$ $K$ $) /$ $cO$ $K$ . Последнее кольцо изоморфно $Z$ $/$ $c$ $Z$ по второй теореме об изоморфизме , поэтому все такие идеалы O являются суммой cO _K с идеалом Z . При этом изоморфизме кондуктор аннулирует $Z$ $/$ $c$ $Z$ , поэтому он должен быть $c$ $Z$ .

В этом случае индекс $[O K : O]$ также равен c , поэтому для порядков квадратичных числовых полей индекс можно отождествить с проводником. Для числовых полей более высокой степени эта идентификация невозможна.

Ссылки

^ Бурбаки, Николя (1989). Коммутативная алгебра . Спрингер. п. 316. ИСБН 0-387-19371-5.

Смотрите также

Неотъемлемый элемент