Проводник (теория классов поля)

В алгебраической теории чисел проводник конечного абелева расширения локальных или глобальных полей обеспечивает количественную меру разветвления в расширении. Определение проводника связано с отображением Артина .

Местный проводник

Пусть L / K — конечное абелево расширение неархимедовых локальных полей . Проводник L / K , обозначаемый , — это наименьшее неотрицательное целое число n такое, что высшая единичная группа ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,\left(\operatorname {mod} {\mathfrak {m}}_{K}^{n}\right)\right\}}$

содержится в N _{L / K} ( L ^× ), где N _{L / K} — это карта нормы поля , а — максимальный идеал K . ^[1] Эквивалентно, n — это наименьшее целое число, такое что локальное отображение Артина тривиально на . Иногда проводник определяется как , где n — как указано выше. ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}}$ ${\displaystyle U_{K}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{n}}$

Кондуктор расширения измеряет разветвление. Качественно расширение неразветвлено тогда и только тогда, когда кондуктор равен нулю, ^[3] и оно ручно разветвлено тогда и только тогда, когда кондуктор равен 1. ^[4] Точнее, кондуктор вычисляет нетривиальность групп высшего ветвления : если s — наибольшее целое число, для которого « нижняя нумерация » группы высшего ветвления G _s нетривиальна, то , где η _{L / K} — функция, которая переводит из «нижней нумерации» в « верхнюю нумерацию » групп высшего ветвления. ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1}$

Проводник L / K также связан с проводниками Артина персонажей группы Галуа Gal( L / K ). В частности, ^[6]

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}=\operatorname {lcm} \limits _{\chi }{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}}$

где χ изменяется по всем мультипликативным комплексным характерам Gal( L / K ), — кондуктор Артина χ, а lcm — наименьшее общее кратное . ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\chi }}$

Более общие поля

Проводник может быть определен таким же образом для L / K не обязательно абелева конечного расширения Галуа локальных полей. ^[7] Однако он зависит только от L ^ab / K , максимального абелева расширения K в L , из-за «теоремы об ограничении нормы», которая утверждает, что в этой ситуации ^{[8] [9]}

${\displaystyle N_{L/K}\left(L^{\times }\right)=N_{L^{\text{ab}}/K}\left(\left(L^{\text{ab}}\right)^{\times }\right).}$

Кроме того, проводник может быть определен, когда L и K могут быть немного более общими, чем локальными, а именно, если они являются полными полями с квазиконечным полем вычетов. ^[10]

Архимедовы поля

В основном для глобальных проводников проводник тривиального расширения R / R определяется как 0, а проводник расширения C / R определяется как 1. ^[11]

Глобальный дирижер

Алгебраические числовые поля

Проводник абелева расширения L / K числовых полей может быть определен, аналогично локальному случаю, с помощью отображения Артина. В частности, пусть θ : I ^m → Gal( L / K ) будет глобальным отображением Артина , где модуль m является определяющим модулем для L / K ; мы говорим, что взаимность Артина выполняется для m, если θ факторизуется через группу классов лучей по модулю m . Мы определяем проводник L / K , обозначаемый , как наибольший общий множитель всех модулей, для которых выполняется взаимность; на самом деле взаимность выполняется для , поэтому это наименьший такой модуль. ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

Пример

• Принимая за основу поле рациональных чисел, теорема Кронекера–Вебера утверждает, что алгебраическое числовое поле K является абелевым над Q тогда и только тогда, когда оно является подполем циклотомического поля , где обозначает примитивный корень степени n из единицы. ^[15] Если n — наименьшее целое число, для которого это выполняется, то кондуктором K является n , если K зафиксировано комплексным сопряжением, и в противном случае. ${\displaystyle \mathbf {Q} \left(\zeta _{n}\right)}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n\infty }$
• Пусть L / K будет , где d — целое число, свободное от квадратов . Тогда, ^[16] ${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$

  ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)}\right|&{\text{for }}d<0\end{cases}}}$

где - дискриминант .​ ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \left({\sqrt {d}}\right)/\mathbf {Q} }$

Связь с местными проводниками и разветвление

Глобальный проводник является продуктом локальных проводников: ^[17]

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}\left(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}}\right)}.}$

Как следствие, конечное простое число разветвлено в L / K тогда и только тогда, когда оно делит . ^[18] Бесконечное простое число v встречается в проводнике тогда и только тогда, когда v является действительным и становится комплексным в L . ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$

Примечания

1. Серр 1967, §4.2
2. Как в Neukirch 1999, определение V.1.6
3. Нойкирх 1999, предложение V.1.7.
4. Милн 2008, I.1.9
5. Серр 1967, §4.2, предложение 1
6. Артин и Тейт 2009, следствие теоремы XI.14, стр. 100
7. Как в Serre 1967, §4.2
8. Серр 1967, §2.5, предложение 4
9. Милн 2008, теорема III.3.5
10. Как в Artin & Tate 2009, §XI.4. Это ситуация, в которой работает формализм локальной теории полей классов .
11. Коэн 2000, определение 3.4.1
12. Милн 2008, примечание V.3.8
13. Януш 1973, стр. 158, 168–169.
14. Некоторые авторы опускают бесконечные места из проводника, например, Нойкирх 1999, §VI.6
15. Манин, Ю. И. ; Панчишкин, А. А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Т. 49 (Второе изд.). С. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Збл  1079.11002.
16. Милн 2008, пример V.3.11
17. Для конечной части Нойкирх 1999, предложение VI.6.5, а для бесконечной части Коэн 2000, определение 3.4.1.
18. Нойкирх 1999, следствие VI.6.6

Ссылки

• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009) [1967], Теория полей классов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4426-7, г-н  2467155
• Коэн, Анри (2000), Продвинутые темы в вычислительной теории чисел , Graduate Texts in Mathematics , т. 193, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98727-9
• Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, т. 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, ЗБЛ  0307.12001
• Милн, Джеймс (2008), Теория полей классов (ред. v4.0) , получено 22.02.2010
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Серр, Жан-Пьер (1967), «Локальная теория полей классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел, Труды учебной конференции в Университете Сассекса, Брайтон, 1965 , Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, МР  0220701