В математике бесконечная геометрическая прогрессия вида
расходится тогда и только тогда, когда | р | ≥ 1 . Иногда полезны методы суммирования расходящихся рядов, которые обычно оценивают расходящиеся геометрические ряды до суммы, согласующейся с формулой для сходящегося случая.
Это справедливо для любого метода суммирования, обладающего свойствами регулярности, линейности и устойчивости .
В порядке возрастания сложности суммируем:
Полезно выяснить, какие методы суммирования дают формулу геометрического ряда, для каких общих отношений. Одним из применений этой информации является так называемый принцип Бореля-Окады : если регулярный метод суммирования суммирует Σ z n до 1/(1 - z ) для всех z в подмножестве S комплексной плоскости с учетом определенных ограничений на S , тогда метод также дает аналитическое продолжение любой другой функции f ( z ) = Σ a n z n на пересечении S со звездой Миттаг-Леффлера для f . [1]
Обычное суммирование удается только для обычных отношений | г | < 1.
Ряд суммируем по Борелю для любого z с вещественной частью < 1. Любой такой ряд также суммируем обобщенным методом Эйлера (E, a ) для подходящего a .
Некоторые методы моментных констант, помимо суммирования Бореля, могут суммировать геометрические ряды по всей звезде Миттаг-Леффлера функции 1/(1 - z ), то есть для всех z , кроме луча z ≥ 1. [2]
