Двойственность (проективная геометрия)

В проективной геометрии двойственность или плоскостная двойственность является формализацией поразительной симметрии ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах проективных плоскостей . Существует два подхода к предмету двойственности, один через язык (§ Принцип двойственности), а другой - более функциональный подход через специальные отображения . Они полностью эквивалентны, и любая трактовка имеет в качестве своей отправной точки аксиоматическую версию рассматриваемых геометрий. В функциональном подходе существует отображение между связанными геометриями, которое называется двойственностью . Такое отображение может быть построено многими способами. Понятие плоскостной двойственности легко распространяется на пространственную двойственность и далее на двойственность в любой конечномерной проективной геометрии.

Принцип двойственности

Проективная плоскость $C$ может быть аксиоматически определена как структура инцидентности , в терминах множества $P$ точек , множества $L$ прямых и отношения инцидентности $I$ , которое определяет, какие точки лежат на каких прямых. Эти множества могут быть использованы для определения двойственной структуры плоскости .

Поменяйте роли «точек» и «линий» в

С = (П, Л, И)

для получения двойной структуры

С * = (Л, П, Я *)

где $I *$ — обратное отношение I. $C$ $*$ — также проективная плоскость , $называемая$ $двойственной$ плоскостью C.

Если $C$ и $C *$ изоморфны, то $C$ называется самодвойственным . Проективные плоскости $PG(2, K)$ для любого поля (или, более общо, для каждого тела (тела), изоморфного своему двойственному) $K$ являются самодвойственными. В частности, дезарговы плоскости конечного порядка всегда самодвойственны. Однако существуют недезарговы плоскости, которые не являются самодвойственными, такие как плоскости Холла, и некоторые, которые являются таковыми, такие как плоскости Хьюза .

В проективной плоскости утверждение, включающее точки, прямые и инцидентность между ними, которое получается из другого такого утверждения путем замены слов «точка» и «прямая» и внесения любых необходимых грамматических корректировок, называется плоскостным двойственным утверждением первого. Плоскостное двойственное утверждение «Две точки находятся на единственной прямой» — это «Две прямые встречаются в единственной точке». Формирование плоскостного двойственного утверждения известно как дуализация утверждения.

Если утверждение истинно в проективной плоскости $C$ , то плоскость, двойственная этому утверждению, должна быть истинна в двойственной плоскости $C *$ . Это следует из того, что дуализация каждого утверждения в доказательстве «в $C$ » дает соответствующее утверждение доказательства «в $C *$ ».

Принцип двойственности плоскости гласит, что дуализация любой теоремы в самодвойственной проективной плоскости $C$ порождает другую теорему, верную в C. $[$ ^1]

Вышеуказанные концепции можно обобщить, чтобы говорить о двойственности пространства, где термины «точки» и «плоскости» меняются местами (и линии остаются линиями). Это приводит к принципу двойственности пространства . ^[1]

Эти принципы дают вескую причину для предпочтения использовать «симметричный» термин для отношения инцидентности. Таким образом, вместо того, чтобы говорить «точка лежит на прямой», следует говорить «точка инцидентна прямой», поскольку дуализация последней подразумевает только перестановку точки и прямой («прямая инцидентна точке»). ^[2]

Обоснованность принципа двойственности плоскости следует из аксиоматического определения проективной плоскости. Три аксиомы этого определения можно записать так, чтобы они были самодвойственными утверждениями, подразумевающими, что двойственное проективной плоскости также является проективной плоскостью. Двойственное истинному утверждению в проективной плоскости, следовательно, является истинным утверждением в двойственной проективной плоскости, и следствием этого является то, что для самодвойственных плоскостей двойственное истинному утверждению в этой плоскости также является истинным утверждением в этой плоскости. ^[3]

Двойственные теоремы

Так как действительная проективная плоскость PG $(2, R)$ является самодвойственной, то существует ряд пар хорошо известных результатов, которые являются двойственными друг другу. Вот некоторые из них:

Двойные конфигурации

Дуализировать можно не только высказывания, но и системы точек и линий.

Набор из $m$ точек и $n$ прямых называется конфигурацией $(m c, n d)$ , если $c$ из $n$ прямых проходят через каждую точку и $d$ из $m$ точек лежат на каждой прямой. Двойственная конфигурация $($ $m$ $c$ $,$ $n$ $d$ $)$ является конфигурацией $($ $n$ $d$ $,$ $m$ $c$ $)$ . Таким образом, двойственная конфигурация четырехугольника, конфигурация (4 ₃ , 6 ₂ ) из четырех точек и шести прямых, является четырехугольником, конфигурацией (6 ₂ , 4 ₃ ) из шести точек и четырех прямых. ^[4]

Множество всех точек на прямой, называемое проективным диапазоном , имеет в качестве своего двойственного пучок прямых , множество всех прямых на точке, в двух измерениях, или пучок гиперплоскостей в более высоких измерениях. Отрезок прямой на проективной прямой имеет в качестве своего двойственного форму, выметаемую этими прямыми или гиперплоскостями, двойной клин . ^[5]

Двойственность как отображение

Дуальности плоскости

Двойственность плоскости — это отображение из проективной плоскости $C = (P, L, I)$ в ее двойственную плоскость $C * = (L, P, I *)$ (см. § Принцип двойственности выше), которое сохраняет инцидентность . То есть, двойственность плоскости $σ$ будет отображать точки в прямые, а прямые в точки ( $P σ = L$ и $L σ = P$ ) таким образом, что если точка $Q$ находится на прямой $m$ (обозначаемой $Q I m$ ), то $Q I m \Leftrightarrow m σ I * Q σ$ . Двойственность плоскости, которая является изоморфизмом, называется корреляцией . ^[6] Существование корреляции означает, что проективная плоскость $C$ является самодвойственной .

Проективная плоскость $C$ в этом определении не обязательно должна быть дезарговой плоскостью . Однако, если это так, то есть $C = PG(2, K)$ с $K$ — телом ( телом), то двойственность, как определено ниже для общих проективных пространств , дает двойственность плоскости на $C$ , которая удовлетворяет приведенному выше определению.

В общих проективных пространствах

Двойственность $δ$ проективного пространства — это перестановка подпространств $PG(n, K)$ (также обозначаемая $K P n)$ с $K$ — полем ( или, в более общем смысле, телом ( телом )), которое обращает включение, ^[7], то есть:

S \subseteq T

влечет

S δ \supseteq T δ

для всех подпространств

S, T

из

PG(n, K)

.^[8]

Следовательно, двойственность меняет местами объекты размерности $r$ с объектами размерности $n - 1 - r$ ( = коразмерность $r + 1$ ). То есть в проективном пространстве размерности $n$ точки (размерность 0) соответствуют гиперплоскостям (коразмерность 1), линии, соединяющие две точки (размерность 1), соответствуют пересечению двух гиперплоскостей (коразмерность 2) и т. д.

Классификация дуальностей

Дуальное $V$ $*$ конечномерного (правого) векторного пространства $V$ над телом $K$ можно рассматривать как (правое) векторное пространство той же размерности над противоположным телом $K$ $o$ . Таким образом, существует обращающая включение биекция между проективными пространствами $PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ и $PG($ $n$ $,$ $K$ $o$ $)$ . Если $K$ и $K$ $o$ изоморфны, то существует двойственность на $PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ . Обратно, если $PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ допускает двойственность для $n$ $> 1$ , то $K$ и $K$ $o$ изоморфны.

Пусть $π$ — двойственность $PG(n, K)$ для $n > 1$ . Если $π$ составлено с естественным изоморфизмом между $PG(n, K)$ и $PG(n, K o)$ , композиция $θ$ является сохраняющей инцидентность биекцией между $PG(n, K)$ и $PG(n, K o)$ . По Основной теореме проективной геометрии $θ$ индуцируется полулинейным отображением $T : V \to V *$ с ассоциированным изоморфизмом $σ : K \to K o$ , который можно рассматривать как антиавтоморфизм K . В классической литературе $π$ в общем случае называли бы взаимностью , а если $σ$ $= id,$ то называли бы корреляцией (и $K$ обязательно было бы полем ) $.$ Некоторые авторы преуменьшают роль естественного изоморфизма и называют $θ$ двойственностью. ^[9] Когда это сделано, дуальность может рассматриваться как коллинеация между парой специально связанных проективных пространств и называться взаимностью. Если эта коллинеация является проективностью , то она называется корреляцией.

Пусть $T w = T (w)$ обозначает линейный функционал V $*,$ $связанный$ с вектором $w$ в $V.$ Определим форму $φ : V \times V \to K$ следующим образом:

\varphi (v,w)=T_ {w}(v).

$φ$ — невырожденная полуторалинейная форма с сопутствующим антиавтоморфизмом $σ$ .

Любая двойственность $PG(n, K)$ при $n > 1$ индуцируется невырожденной полуторалинейной формой на базовом векторном пространстве (с сопутствующим антиавтоморфизмом) и наоборот.

Однородная координатная формулировка

Однородные координаты могут быть использованы для алгебраического описания дуальностей. Для упрощения этого обсуждения мы предположим, что $K$ — это поле , но все может быть сделано таким же образом, когда $K$ — это тело, пока уделяется внимание тому факту, что умножение не обязательно должно быть коммутативной операцией.

Точки $PG(n, K)$ можно считать ненулевыми векторами в ( $n + 1$ )-мерном векторном пространстве над $K$ , где мы отождествляем два вектора, которые отличаются скалярным множителем. Другой способ выразить это так: точки $n$ -мерного проективного пространства являются 1-мерными векторными подпространствами , которые можно визуализировать как прямые, проходящие через начало координат в $K n +1$ . ^[10] Также $n$ - (векторные) подпространства $K n +1$ представляют собой ( $n - 1$ )- (геометрические) размерные гиперплоскости проективного $n$ -пространства над $K$ , т. е. $PG(n, K)$ .

Ненулевой вектор $u = (u 0, u 1, ..., u n)$ в $K n +1$ также определяет $(n - 1)$ - геометрически размерное подпространство (гиперплоскость) $H u$ , по формуле

H u = {(x 0, x 1, ..., x n) : u 0 x 0 + ... + u n x n = 0}

Когда вектор $u$ используется для определения гиперплоскости таким образом, он должен обозначаться как $u H$ , в то время как если он обозначает точку, мы будем использовать $u P$ . Они называются координатами точки или координатами гиперплоскости соответственно (в важном двумерном случае координаты гиперплоскости называются координатами линии ). Некоторые авторы различают, как вектор должен интерпретироваться, записывая координаты гиперплоскости как горизонтальные (строковые) векторы, в то время как координаты точки записываются как вертикальные (столбцовые) векторы. Таким образом, если $u$ является вектором-столбцом, мы будем иметь $u P = u ,$ в то время как $u H = u T$ . В терминах обычного скалярного произведения , $H u = {x P : u H \cdot x P = 0}$ . Поскольку $K$ — поле, скалярное произведение симметрично, то есть $u H \cdot x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + u n x n = x 0 u 0 + x 1 u 1 + ... + x n u n = x H \cdot u P$ .

Фундаментальный пример

Простая взаимность (фактически корреляция) может быть задана как $u P \leftrightarrow u H$ между точками и гиперплоскостями. Это распространяется на взаимность между линией, образованной двумя точками, и пересечением двух таких гиперплоскостей и т. д.

В частности, в проективной плоскости PG $(2, K)$ с полем $K$ мы имеем корреляцию, заданную следующим образом: точки в однородных координатах $(a, b, c) \leftrightarrow$ прямые с уравнениями $ax + by + cz = 0.$ В проективном пространстве $PG(3, K)$ корреляция задается следующим образом: точки в однородных координатах $(a, b, c, d) \leftrightarrow$ плоскости с уравнениями $ax + by + cz + dw = 0$ . Эта корреляция также сопоставила бы линию, определяемую двумя точками $(a 1, b 1, c 1, d 1)$ и $(a 2, b 2, c 2, d 2)$ , с линией, которая является пересечением двух плоскостей с уравнениями $a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 w = 0$ и $a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 w = 0$ .

Соответствующая полуторалинейная форма для этой корреляции:

φ (u, x) = u H \cdot x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + un x n

где сопутствующий антиавтоморфизм $σ = id$ . Следовательно, это билинейная форма (обратите внимание, что $K$ должно быть полем). Это можно записать в матричной форме (относительно стандартного базиса) как:

φ (u, x) = u H G x P

где $G$ — единичная матрица $(n + 1) \times (n + 1)$ , при этом предполагается, что $u$ $H$ — вектор-строка, а $x$ $P$ — вектор-столбец.

Корреляция определяется следующим образом:

\пи (\mathbf {x} _{P})=(G\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=(\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=\mathbf {x} _{H}.

Геометрическая интерпретация в действительной проективной плоскости

Эту корреляцию в случае $PG(2, R)$ можно геометрически описать с помощью модели действительной проективной плоскости , которая является «единичной сферой с идентифицированными антиподами ^[11] », или, что эквивалентно, моделью прямых и плоскостей, проходящих через начало координат векторного пространства $R 3$ . Свяжите с любой прямой, проходящей через начало координат, единственную плоскость, проходящую через начало координат, которая перпендикулярна (ортогональна) прямой. Когда в модели эти прямые считаются точками, а плоскости — прямыми проективной плоскости $PG(2, R)$ , эта ассоциация становится корреляцией (фактически полярностью) проективной плоскости. Модель сферы получается путем пересечения прямых и плоскостей, проходящих через начало координат, с единичной сферой с центром в начале координат. Прямые пересекают сферу в антиподальных точках, которые затем должны быть идентифицированы для получения точки проективной плоскости, а плоскости пересекают сферу по большим окружностям, которые, таким образом, являются прямыми проективной плоскости.

То, что эта ассоциация «сохраняет» инцидентность, проще всего увидеть из модели прямых и плоскостей. Точка, инцидентная прямой в проективной плоскости, соответствует прямой, проходящей через начало координат, лежащей в плоскости, проходящей через начало координат в модели. Применяя ассоциацию, плоскость становится прямой, проходящей через начало координат, перпендикулярной плоскости, с которой она связана. Эта линия изображения перпендикулярна каждой линии плоскости, проходящей через начало координат, в частности исходной линии (точке проективной плоскости). Все линии, перпендикулярные исходной линии в начале координат, лежат в единственной плоскости, которая ортогональна исходной линии, то есть плоскости изображения под ассоциацией. Таким образом, линия изображения лежит в плоскости изображения, и ассоциация сохраняет инцидентность.

Матричная форма

Как и в приведенном выше примере, матрицы могут использоваться для представления дуальностей. Пусть $π$ будет дуальностью $PG(n, K)$ для $n > 1$ , а $φ$ будет ассоциированной полуторалинейной формой (с сопутствующим антиавтоморфизмом $σ$ ) на базовом ( $n$ $+$ $1$ )-мерном векторном пространстве $V$ . Учитывая базис ${e i}$ V , мы можем представить эту форму следующим образом:

\varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}G(\mathbf {x} ^{\sigma }),

где $G$ — невырожденная $(n + 1) \times (n + 1)$ матрица над $K$ , а векторы записаны как векторы-столбцы. Обозначение $x σ$ означает, что антиавтоморфизм $σ$ применяется к каждой координате вектора $x$ .

Теперь определим двойственность в терминах координат точек:

\пи (\mathbf {x} )=(G(\mathbf {x} ^{\sigma }))^{\mathsf {T}}.

Полярность

Двойственность, которая является инволюцией (имеет порядок два), называется полярностью . Необходимо различать полярности общих проективных пространств и те, которые возникают из немного более общего определения плоской двойственности. Также возможно дать более точные утверждения в случае конечной геометрии , поэтому мы подчеркнем результаты в конечных проективных плоскостях.

Полярности общих проективных пространств

Если $π$ — дуальность $PG(n, K)$ , где $K$ — тело, то общепринятая запись определяется как $π (S) = S ⊥$ для подпространства $S$ PG $(n, K)$ . Следовательно, полярность — это дуальность, для которой $S ⊥⊥ = S$ для каждого подпространства $S$ PG $(n, K)$ . Также принято обходить упоминание дуального пространства и записывать в терминах связанной полуторалинейной формы:

S^{\bot }=\{\mathbf {u} {\text{ in }}V\colon \varphi (\mathbf {u},\mathbf {x})=0{\text{ for all }}\mathbf {x} {\text{ in }}S\}.

Полуторалинейная форма $φ$ является рефлексивной , если $φ (u, x) = 0$ влечет $φ (x, u) = 0$ .

Двойственность является полярностью тогда и только тогда, когда (невырожденная) полуторалинейная форма, ее определяющая, является рефлексивной. ^[12]

Полярности были классифицированы, результат Биркгофа и фон Неймана (1936), который был передоказан несколько раз. ^[12]^[13]^[14] Пусть $V$ будет (левым) векторным пространством над телом $K$ , а $φ$ будет рефлексивной невырожденной полуторалинейной формой на $V$ с сопутствующим антиавтоморфизмом $σ$ . Если $φ$ является полуторалинейной формой, связанной с полярностью, то либо:

$σ = id$ (следовательно, $K$ — поле) и $φ (u, x) = φ (x, u)$ для всех $u, x$ в $V$ , то есть $φ$ — билинейная форма. В этом случае полярность называется ортогональной (или обычной ). Если характеристика поля $K$ равна двум, то для того, чтобы быть в этом случае должен существовать вектор $z$ с $φ (z, z) \neq 0$ , и полярность называется псевдополярностью . [^15]
$σ = id$ (следовательно, $K$ — поле) и $φ (u, u) = 0$ для всех $u$ в $V$ . Полярность называется нулевой полярностью (или симплектической полярностью ) и может существовать только тогда, когда проективная размерность $n$ нечетна.
$σ 2 = id \neq σ$ (здесь $K$ не обязательно должно быть полем) и $φ (u, x) = φ (x, u) σ$ для всех $u, x$ в $V$ . Такая полярность называется унитарной полярностью (или эрмитовой полярностью ).

Точка $P$ из $PG(n, K)$ является абсолютной точкой (самосопряженной точкой) относительно полярности $⊥ ,$ если $P I P ⊥$ . Аналогично, гиперплоскость $H$ является абсолютной гиперплоскостью (самосопряженной гиперплоскостью), если $H ⊥ I H$ . Выражаясь другими словами, точка $x$ является абсолютной точкой полярности $π$ с ассоциированной полуторалинейной формой $φ ,$ если $φ (x, x) = 0$ и если $φ$ записана в терминах матрицы $G$ , $x T G x σ = 0$ .

Множество абсолютных точек каждого типа полярности может быть описано. Мы снова ограничиваем обсуждение случаем, когда $K$ является полем. ^[16]

Если $K$ — поле, характеристика которого не равна двум, множество абсолютных точек ортогональной полярности образует невырожденную квадрику (если $K$ бесконечно, она может быть пустой). Если характеристика равна двум, абсолютные точки псевдополярности образуют гиперплоскость.
Все точки пространства $PG(2 s + 1, K)$ являются абсолютными точками нулевой полярности.
Абсолютные точки эрмитовой полярности образуют эрмитово многообразие , которое может быть пустым, если $K$ бесконечно.

При составлении с самим собой корреляция $φ (x P) = x H$ (в любом измерении) производит функцию тождества , поэтому она является полярностью. Набор абсолютных точек этой полярности будет точками, чьи однородные координаты удовлетворяют уравнению:

х Н \cdot х П = х 0 х 0 + х 1 х 1 + ... + х n х n = х 02 + х 12 + ... + х n 2 = 0

То, какие точки находятся в этом множестве точек, зависит от поля $K.$ Если $K = R$ , то множество пусто, абсолютных точек нет (и абсолютных гиперплоскостей). С другой стороны, если $K = C,$ то множество абсолютных точек образует невырожденную квадрику ( конику в двумерном пространстве). Если $K$ — конечное поле нечетной характеристики, то абсолютные точки также образуют квадрику, но если характеристика четная, то абсолютные точки образуют гиперплоскость (это пример псевдополярности).

При любой двойственности точка $P$ называется полюсом гиперплоскости $P ⊥$ , а эта гиперплоскость называется полярой точки $P$ . Используя эту терминологию, абсолютные точки полярности — это точки, инцидентные своим полярам, а абсолютные гиперплоскости — это гиперплоскости, инцидентные своим полюсам.

Полярности в конечных проективных плоскостях

По теореме Веддерберна каждое конечное тело является полем, а автоморфизм второго порядка (отличный от тождественного) может существовать только в конечном поле, порядок которого является квадратом. Эти факты помогают упростить общую ситуацию для конечных дезарговых плоскостей . Имеем: ^[17]

Если $π$ — полярность конечной дезарговой проективной плоскости $PG(2, q)$ , где $q = p e$ для некоторого простого числа $p$ , то число абсолютных точек $π$ равно $q + 1$ , если $π$ ортогональна, или $q 3/2 + 1,$ если $π$ унитарна. В ортогональном случае абсолютные точки лежат на конике , если $p$ нечетно, или образуют прямую, если $p = 2$ . Унитарный случай возможен только в том случае, если $q$ — квадрат; абсолютные точки и абсолютные прямые образуют унитальную .

В случае общей проективной плоскости, где двойственность означает двойственность плоскости , определения полярности, абсолютных элементов, полюса и поляры остаются прежними.

Пусть $P$ обозначает проективную плоскость порядка $n$ . Подсчет аргументов может установить, что для полярности $π$ плоскости $P$ : ^[17]

Число неабсолютных точек (прямых), инцидентных неабсолютной прямой (точке), четно.

Кроме того, ^[18]

Полярность $π$ имеет по крайней мере $n + 1$ абсолютных точек, а если $n$ не является квадратом, то ровно $n + 1$ абсолютных точек. Если $π$ имеет ровно $n + 1$ абсолютных точек, то;

если $n$ нечетно, абсолютные точки образуют овал , касательные которого являются абсолютными линиями; или
если $n$ четное, то абсолютные точки лежат на неабсолютной прямой.

Верхняя граница числа абсолютных точек в случае, когда $n$ является квадратом, была дана Сейбом ^[19] , и чисто комбинаторным рассуждением можно установить: ^[20]

Полярность $π$ в проективной плоскости квадратного порядка $n = s 2$ имеет не более $s 3 + 1$ абсолютных точек. Более того, если число абсолютных точек равно $s 3 + 1$ , то абсолютные точки и абсолютные прямые образуют унитальный ( т. е. каждая прямая плоскости пересекает этот набор абсолютных точек либо в $1$ , либо в $s + 1$ точках). ^[21]

Полюса и поляры

Полюс и поляра относительно окружности C. P и Q — обратные точки, p — поляра P , P — полюс p .

Взаимное поступательное движение в евклидовой плоскости

Метод, который можно использовать для построения полярности действительной проективной плоскости, имеет в качестве отправной точки построение частичной двойственности в евклидовой плоскости .

На евклидовой плоскости зафиксируем окружность $C$ с центром $O$ и радиусом $r$ . Для каждой точки $P,$ отличной от $O,$ определим точку изображения $Q$ так, что $OP \cdot OQ = r 2$ . Отображение, определяемое соотношением $P \to Q$ , называется инверсией относительно окружности $C$ . Прямая $p,$ проходящая через $Q$ и перпендикулярная прямой $OP,$ называется полярой ^[22] точки $P$ относительно окружности $C$ .

Пусть $q$ — прямая, не проходящая через $O.$ Опустите перпендикуляр из $O$ на $q$ , пересекающий $q$ в точке $P$ (это точка $q$ , ближайшая к $O$ ). Изображение $Q$ точки $P$ при инверсии относительно $C$ называется полюсом ^[22] q . Если точка $M$ находится на прямой $q$ (не проходящей через $O$ $)$ , то полюс $q$ лежит на поляре $M$ и наоборот. Процесс сохранения инцидентности, в котором точки и линии преобразуются в свои поляры и полюса относительно $C,$ называется возвратно-поступательным движением ^[23] .

Чтобы превратить этот процесс в корреляцию, евклидову плоскость (которая не является проективной плоскостью) необходимо расширить до расширенной евклидовой плоскости , добавив прямую на бесконечности и точки на бесконечности, которые лежат на этой прямой. В этой расширенной плоскости мы определяем поляру точки $O$ как прямую на бесконечности (и $O$ является полюсом прямой на бесконечности), а полюса прямых, проходящих через $O,$ являются точками бесконечности, где, если прямая имеет наклон $s (\neq 0),$ ее полюс является бесконечной точкой, связанной с параллельным классом прямых с наклоном $-1/ s$ . Полюс оси $x$ является точкой бесконечности вертикальных прямых, а полюс оси $y$ является точкой бесконечности горизонтальных прямых.

Построение корреляции, основанной на инверсии в круге, приведенное выше, можно обобщить, используя инверсию в коническом сечении (в расширенной действительной плоскости). Построенные таким образом корреляции имеют второй порядок, то есть являются полярностями.

Алгебраическая формулировка

Три пары двойных точек и линий: одна красная пара, одна желтая пара и одна синяя пара.

Мы опишем эту полярность алгебраически, следуя приведенной выше конструкции в случае, когда $C$ — единичная окружность (т.е. $r = 1$ ) с центром в начале координат.

Аффинная точка $P$ , отличная от начала координат, с декартовыми координатами $(a, b)$ имеет в качестве своей обратной точки на единичной окружности точку $Q$ с координатами

\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right).

Прямая, проходящая через $Q$ и перпендикулярная прямой $OP,$ имеет уравнение $ax + by = 1$ .

Переходя к однородным координатам с использованием вложения $(a, b) \mapsto (a, b, 1)$ , расширение на действительную проективную плоскость получается путем разрешения последней координате быть равной 0. Вспоминая, что координаты точек записываются как векторы-столбцы, а координаты линий — как векторы-строки, мы можем выразить эту полярность следующим образом:

\пи :\mathbb {R} P^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{2}

такой что

\пи \left((x,y,z)^{\mathsf {T}}\right)=(x,y,-z).

Или, используя альтернативную запись, $π ((x, y, z) P) = (x, y, - z) L$ . Матрица соответствующей полуторалинейной формы (относительно стандартного базиса) имеет вид:

G=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}}\right).

Абсолютные точки этой полярности определяются решениями:

0=P^{\mathsf {T}}GP=x^{2}+y^{2}-z^{2},

где $P$ ^T $= (x, y, z)$ . Обратите внимание, что при ограничении евклидовой плоскостью (то есть при $z = 1$ ) это просто единичная окружность, окружность инверсии.

Синтетический подход

Диагональный треугольник $P, Q, R$ четырехугольника $A, B, J, K$ на конике. Поляры диагональных точек окрашены так же, как и сами точки.

Теорию полюсов и поляр коники в проективной плоскости можно развить без использования координат и других метрических понятий.

Пусть $C$ будет коникой в $PG(2, F)$ , где $F$ — поле не характеристики два, и пусть $P$ будет точкой этой плоскости, не лежащей на $C$ . Две различные секущие линии к конике, скажем $AB$ и $JK,$ определяют четыре точки на конике ( $A, B, J, K$ ), которые образуют четырехугольник . Точка $P$ является вершиной диагонального треугольника этого четырехугольника. Поляра P относительно $C$ является стороной диагонального треугольника, противоположной $P$ $.$ [ ^24]

Теория проективных гармонических сопряжений точек на прямой также может быть использована для определения этой связи. Используя те же обозначения, что и выше;

Если переменная прямая, проходящая через точку $P$ $,$ является секущей коники $C$ , то гармонические сопряжения $P$ относительно двух точек $C$ на секущей все лежат на поляре P. ^[25]

Характеристики

Полярности в проективной плоскости обладают несколькими свойствами. ^[26]

При заданной полярности $π$ точка $P$ лежит на прямой $q$ , поляре точки $Q,$ тогда и только тогда, когда $Q$ лежит на $p$ , поляре $P.$

Точки $P$ и $Q,$ находящиеся в этом отношении, называются сопряженными точками относительно $π$ . Абсолютные точки называются самосопряженными в соответствии с этим определением, поскольку они инцидентны своим собственным полярным линиям. Сопряженные прямые определяются двойственно.

Линия, соединяющая две самосопряженные точки, не может быть самосопряженной линией.

Линия не может содержать более двух самосопряженных точек.

Полярность вызывает инволюцию сопряженных точек на любой прямой, которая не является самосопряженной.

Треугольник, в котором каждая вершина является полюсом противоположной стороны, называется самополярным треугольником.

Корреляция, которая отображает три вершины треугольника в их противоположные стороны соответственно, является полярностью, и этот треугольник является самополярным относительно этой полярности.

История

Принцип двойственности принадлежит Жозефу Диасу Жергонну (1771−1859), стороннику тогдашней зарождающейся области аналитической геометрии , основателю и редактору первого журнала, полностью посвященного математике, Annales de mathématiques pures et appliquées . Жергонн и Шарль Жюльен Брианшон (1785−1864) разработали концепцию плоской двойственности. Жергонн ввел термины «двойственность» и «полярный» (но «полюс» принадлежит Ф.-Ж. Сервуа ) и принял стиль записи двойственных утверждений бок о бок в своем журнале.

Жан-Виктор Понселе (1788−1867), автор первого текста по проективной геометрии , Traité des propriétés projectives des figures , был синтетическим геометром , который систематически развивал теорию полюсов и поляр относительно конического сечения. Понселе утверждал, что принцип двойственности является следствием теории полюсов и поляр.

Юлиусу Плюккеру (1801−1868) приписывают распространение концепции двойственности на трехмерные и более многомерные проективные пространства.

Понселе и Жергонн начинали как серьезные, но дружелюбные соперники, представляющие свои различные точки зрения и методы в статьях, опубликованных в Annales de Gergonne . Антагонизм рос по вопросу приоритета в утверждении принципа дуальности как своего собственного. Молодой Плюккер был втянут в эту вражду, когда статья, которую он представил Жергонну, была так сильно отредактирована к моменту публикации, что Понселе был введен в заблуждение, полагая, что Плюккер совершил плагиат. Язвительная атака Понселе была парирована Плюккером при поддержке Жергонна, и в конечном итоге бремя было возложено на Жергонна. ^[27] Об этой вражде Пьер Самюэль ^[28] язвительно заметил, что, поскольку оба мужчины были во французской армии, и Понселе был генералом, а Жергонн простым капитаном, точка зрения Понселе возобладала, по крайней мере, среди их французских современников.

Смотрите также

Двойная кривая

Примечания

^ ab Coxeter 1964, стр. 25
↑ Ивс 1963, стр. 312
↑ Ивс 1963, стр. 419
^ Коксетер 1964, стр. 26
^ де Берг, Марк; Чонг, Отфрид; ван Кревельд, Марк; Овермарс, Марк (2008), Вычислительная геометрия: алгоритмы и приложения (3-е изд.), Springer, стр. 178, ISBN 9783540779735.
^ Дембовски 1968, стр. 151
^ Некоторые авторы используют термин «корреляция» для обозначения двойственности, в то время как другие, как и мы, используют корреляцию для обозначения определенного типа двойственности.
↑ Дембовски 1968, стр. 41 Дембовски использует термин «корреляция» для обозначения двойственности.
^ например, Хиршфельд 1979, стр. 33
^ Измерение здесь используется в двух разных смыслах. Когда речь идет о проективном пространстве, этот термин используется в общепринятом геометрическом смысле, где линии являются одномерными, а плоскости — двумерными объектами. Однако применительно к векторному пространству измерение означает количество векторов в базисе, а базис для векторного подпространства, рассматриваемый как линия, имеет в себе два вектора, в то время как базис для векторного пространства, рассматриваемый как плоскость, имеет в себе три вектора. Если значение не ясно из контекста, термины проективный или геометрический применяются к концепции проективного пространства, в то время как алгебраический или векторный применяются к концепции векторного пространства. Связь между ними проста: алгебраическая размерность = геометрическая размерность + 1.
^ точки сферы на противоположных концах диаметра называются антиподными точками .
^ ab Дембовски 1968, стр. 42
^ Бэр 2005, стр. 111
↑ Артин 1957, стр. 112–114.
^ Хиршфельд 1979, стр. 35
^ Барвик и Эберт 2008, стр. 17–19.
^ ab Дембовски 1968, стр. 153
^ Бэр, Р. (1946), «Полярности в конечных проективных плоскостях», Бюллетень Американского математического общества , 52 (2): 77–93, doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08506-7
^ Сейб, М. (1970), "Unitäre Polaritäten endlicher projectiver Ebenen", Archiv der Mathematik , 21 : 103–112, doi : 10.1007/bf01220887
↑ Хьюз и Пайпер 1973, стр. 245–246.
^ Барвик и Эберт 2008, стр. 20
^ ab Хотя двойственность пока не определена, эти термины используются в ожидании ее существования.
^ Коксетер и Грейтцер 1967, стр. 133
^ Коксетер 1964, стр. 75
↑ Ивс 1963, стр. 296
↑ Коксетер 1964, стр. 60–62.
^ Бойер 2004, стр. 245
^ Сэмюэл 1988, стр. 36

Ссылки

Артин, Э. (1957). "1.4 "Двойственность и спаривание"". Геометрическая алгебра . Нью-Йорк и Лондон: Interscience.
Бэр, Рейнхольд (2005) [1952]. Линейная алгебра и проективная геометрия . Mineola NY: Dover. ISBN 0-486-44565-8.
Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Униталы в проективных плоскостях , Springer, doi :10.1007/978-0-387-76366-8, ISBN 978-0-387-76364-4
Биркгоф, Г.; фон Нейман, Дж. (1936), «Логика квантовой механики», Annals of Mathematics , 37 (4): 823–843, doi :10.2307/1968621, JSTOR 1968621
Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN 978-0-486-43832-0
Коксетер, HSM (1964), Проективная геометрия , Блейсделл
Коксетер, Х. С. М .; Грейтцер, С. Л. (1967), Возвращение к геометрии , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-600-X
Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, МР 0233275
Ивс, Говард (1963), Обзор геометрии, том I , Аллин и Бэкон
Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850295-1
Хьюз, Дэниел Р.; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
Сэмюэл, Пьер (1988). Проективная геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96752-4.

Дальнейшее чтение

Альберт, А. Адриан; Сандлер, Рубен (1968), Введение в конечные проективные плоскости , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон
Ф. Бахманн, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Springer, Берлин.
Беннетт, МК (1995). Аффинная и проективная геометрия . Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0-471-11315-8.
Бойтельспахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998). Проективная геометрия: от основ к приложениям . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48277-1.
Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: Введение , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98972-2.
Коксетер, HSM , 1995. Действительная проективная плоскость , 3-е изд. Springer Verlag.
Коксетер, HSM, 2003. Проективная геометрия , 2-е изд. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7 .
Коксетер, Х. С. М. (1969). Введение в геометрию . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50458-0.
Гарнер, Линн Э. (1981). Очерк проективной геометрии . Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 0-444-00423-8.
Гринберг, М. Дж., 2007. Евклидова и неевклидова геометрии , 4-е изд. Freeman.
Хартшорн, Робин (2009), Основы проективной геометрии (2-е изд.), Ishi Press, ISBN 978-4-87187-837-1
Хартшорн, Робин, 2000. Геометрия: Евклид и далее . Springer.
Гильберт, Д. и Кон-Фоссен, С., 1999. Геометрия и воображение , 2-е изд. Челси.
Картеси, Ф. (1976), Введение в конечные геометрии , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
Михалек, Р. Дж. (1972). Проективная геометрия и алгебраические структуры . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-495550-9.
Раманан, С. (август 1997 г.). «Проективная геометрия». Resonance . 2 (8). Springer India: 87–94. doi :10.1007/BF02835009. ISSN 0971-8044.
Стивенсон, Фредерик В. (1972), Projective Planes , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
Веблен, Освальд; Янг, JWA (1938). Проективная геометрия. Бостон: ISBN Джинн и Ко. 978-1-4181-8285-4.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Принцип двойственности». MathWorld .