Проективная связь

В дифференциальной геометрии проективная связность — это тип связности Картана на дифференцируемом многообразии .

Структура проективной связности моделируется на основе геометрии проективного пространства , а не аффинного пространства, соответствующего аффинной связности . Подобно аффинным связностям, проективные связности также определяют геодезические . Однако эти геодезические не являются аффинно параметризованными . Вместо этого они проективно параметризованы, что означает, что их предпочтительный класс параметризаций подвергается воздействию группы дробно-линейных преобразований .

Как и аффинная связность, проективная связность имеет связанные с ней кручение и кривизну.

Проективное пространство как модельная геометрия

Первым шагом в определении любой связности Картана является рассмотрение плоского случая, в котором связность соответствует форме Маурера-Картана на однородном пространстве .

В проективной постановке базовым многообразием однородного пространства является проективное пространство RP n ^, которое мы будем представлять однородными координатами . Группа симметрии G = PSL( n +1, R ). ^[1] Пусть H — группа изотропии точки . Таким образом, M = G / H представляется как однородное пространство. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [x_{0},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [1,0,0,\ldots ,0]}$ ${\displaystyle M}$

Пусть — алгебра Ли группы G , а — алгебра Ли группы H. Заметим, что . Как матрицы относительно однородного базиса , состоит из матриц без следов : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}{\mathfrak {l}}(n+1,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda &v^{i}\\w_{j}&a_{j}^{i}\end{matrix}}\right),\quad (v^{i})\in {\mathbb {R} }^{1\times n},(w_{j})\in {\mathbb {R} }^{n\times 1},(a_{j}^{i})\in {\mathbb {R} }^{n\times n},\lambda =-\sum _{i}a_{i}^{i}}$.

И состоит из всех этих матриц с . Относительно представленной выше матрицы форма Маурера-Картана G представляет собой систему 1-форм, удовлетворяющих структурным уравнениям (записанным с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании ): ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle (w_{j})=0}$ ${\displaystyle (\xi ,\alpha _{j},\alpha _{j}^{i},\alpha ^{i})}$

${\displaystyle d\xi +\alpha ^{i}\wedge \alpha _{i}=0}$

${\displaystyle da_{j}+a_{j}\wedge \zeta +a_{j}^{k}\wedge a_{k}=0}$

${\displaystyle da_{j}^{i}+a^{i}\wedge a_{j}+a_{k}^{i}\wedge a_{j}^{k}=0}$

${\displaystyle da^{i}+\zeta \wedge a^{i}+a^{k}\wedge a_{k}^{i}=0}$^[3]

Проективные структуры на многообразиях

Проективная структура — это линейная геометрия на многообразии, в которой две соседние точки соединены линией (т. е. непараметризованной геодезической ) уникальным образом. Более того, бесконечно малая окрестность каждой точки снабжена классом проективных фреймов . Согласно Картану (1924),

Вариант (ou espace) в проективном соединении - это числовой вариант, который, при непосредственном движении к точке, представляет собой все особенности проекта espace и двойную долю плюса, позволяющего удерживать автомобильный рекордер в одном espace Projectif les Deux Petits. morceaux qui entourent deux point infiniment voisins. ...

Аналитика по выбору, произвольным маневрам в пространстве проекта, прикрепленному к каждой точке разнообразия , повторению определенной системы координатных проективов. ... Le raccord entre les espaces projectifs Attachés à deux point infiniment voisins a et a ' se traduira analytiquement par une homographique преобразование. ... ^[4]

Это аналогично понятию Картана об аффинной связи , в котором соседние точки таким образом связаны и имеют аффинную систему отсчета , которая переносится из одной в другую (Картан, 1923):

Разнообразие является «близким соединением» с определенной аурой, с произвольными маневрами, позволяющими сохранить связь с другими пространствами, связанными между собой, с двумя бесконечными точками, которые можно найти в других местах . мое разнообразие; это дает право на то, чтобы точка космического пространства, близкая к точке m, соответствовала точке космического пространства, связанной с точкой m , что вектор первого космического пространства параллелен или эквивалентен вектору второго космического пространства. ^[5]

На современном языке проективная структура на n -многообразии M - это геометрия Картана , смоделированная на проективном пространстве, где последнее рассматривается как однородное пространство для PSL( n +1, R ). Другими словами, это PSL( n +1, R )-расслоение, снабженное

• PSL( n +1, R )-связь ( связь Картана )
• редукция структурной группы к стабилизатору точки в проективном пространстве

таким образом, что форма припоя, индуцированная этими данными, является изоморфизмом.

Примечания

1. Также можно использовать PGL( n +1, R ), но PSL( n +1, R ) удобнее, поскольку он связен.
2. Подход Картана заключался в выводе структурных уравнений из условия сохранения объема на SL ( n +1), так что явная ссылка на алгебру Ли не требовалась.
3. Интересно, что это последнее уравнение полностью интегрируемо , что означает, что слои можно определить, используя только форму Маурера-Картана, по теореме Фробениуса об интегрировании . ${\displaystyle G\rightarrow G/H}$
4. Многообразие (или пространство) с проективной связностью — это числовое многообразие, которое в непосредственной близости от каждой точки обладает всеми свойствами проективного пространства и, кроме того, наделено законом, позволяющим соединить в одном проективном пространстве две малые области, которые окружают две бесконечно близкие точки. Аналитически мы выбираем, в противном случае произвольным образом, фрейм, определяющий проективную систему отсчета в проективном пространстве, прикрепленном к каждой точке многообразия. .. Связь между проективными пространствами, прикрепленными к двум бесконечно близким точкам a и a', аналитически приведет к гомографическому (проективному) преобразованию. ..
5. Многообразие будет называться «аффинно связным», если определить, в противном случае произвольным образом, закон, позволяющий поставить в соответствие друг другу аффинные пространства, присоединенные к двум произвольным бесконечно близким точкам m и m' многообразия; этот закон позволит сказать, что конкретная точка аффинного пространства, присоединенная к точке m', соответствует конкретной точке аффинного пространства, присоединенной к точке m , таким образом, что вектор первого пространства параллелен или равнозначен соответствующему вектору второго пространства.

Ссылки

• Картан, Эли (1923). «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (première party)». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 40 : 325–412. дои : 10.24033/asens.751 .
• Картан, Эли (1924). «Sur les varietes a connexion projective». Бюллетень математического общества Франции . 52 : 205–241. дои : 10.24033/bsmf.1053 .
• Германн, Р., Приложение 1-3 в книге Картана, Э. Геометрия римановых пространств , Math Sci Press, Массачусетс, 1983.
• Картан, Эли (1926), «Les groupes d'holonomie des espaces généralisés», Acta Mathematica , 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007/BF02629755
• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-94732-9.

Внешние ссылки

• Ю. Лумисте (2001) [1994], "Проективная связь", Энциклопедия математики , EMS Press