Продукт Хатри–Рао

Тип произведения матриц

В математике произведение Хатри–Рао или блочное произведение Кронекера двух разделенных матриц определяется как ^{[1] ​​[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij}}$

в котором ij -й блок является произведением Кронекера размером m _i p _i × n _j q _j соответствующих блоков A и B , предполагая, что число строчных и столбцовых разделов обеих матриц одинаково. Размер произведения тогда равен (Σ _i m _i p _i ) × (Σ _j n _j q _j ) .

Например, если A и B являются матрицами с разделением 2 × 2 , то:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

получаем:

${\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c c}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right].}$

Это подматрица произведения Трейси–Сингха ^[4] двух матриц (каждое разбиение в этом примере является разбиением в углу произведения Трейси–Сингха ).

Произведение Кронекера по столбцам

Столбцовое произведение Кронекера двух матриц является частным случаем произведения Хатри-Рао, как определено выше, и может также называться произведением Хатри-Рао. Это произведение предполагает, что разбиения матриц являются их столбцами. В этом случае m ₁ = m , p ₁ = p , n = q и для каждого j : n _j = q _j = 1 . Результирующее произведение представляет собой матрицу mp × n , каждый столбец которой является произведением Кронекера соответствующих столбцов A и B . Используя матрицы из предыдущих примеров с разбиением столбцов:

${\displaystyle \mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c | c | c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

так что:

${\displaystyle \mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right].}$

Эта столбцовая версия продукта Хатри–Рао полезна в подходах линейной алгебры к аналитической обработке данных ^[5] и при оптимизации решения обратных задач, имеющих дело с диагональной матрицей. ^{[6] [7]}

В 1996 году было предложено столбцовое произведение Хатри–Рао для оценки углов прихода (АОА) и задержек многолучевых сигналов ^[8] и четырех координат источников сигналов ^[9] в цифровой антенной решетке .

Продукт, разбивающий лицо

Произведение расщепления матриц

Альтернативная концепция матричного произведения, использующая построчное разбиение матриц с заданным количеством строк, была предложена В. Слюсарем ^[10] в 1996 году. ^{[9] [11] [12] [13] [14]}

Эта матричная операция была названа "face-splitting product" матриц ^{[11] [13]} или "transposed Khatri–Rao product". Этот тип операции основан на построчных произведениях Кронекера двух матриц. Используя матрицы из предыдущих примеров с разделенными строками:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{bmatrix}},\quad \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{bmatrix}},}$

результат может быть получен: ^{[9] [11] [13]}

${\displaystyle \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&63&24&48&72&27&54&81\end{bmatrix}}.}$

Основные свойства

1. Транспонирование ( В. Слюсарь , 1996 ^{[9] [11] [12]} ):

   ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$,

2. Билинейность и ассоциативность : ^{[9] [11] [12]}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aligned}}}$

   где A , B и C — матрицы, а k — скаляр ,

   ${\displaystyle a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a}$, ^[12]

   где вектор ,​ ${\displaystyle a}$
3. Свойство смешанного произведения ( В. Слюсарь , 1997 ^[12] ):

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)}$,

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {D} )}$, ^[13]

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N} \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} )\circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )}$^[15]

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T}}(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} \right)\circ \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} \right)}$, ^[16]

   где обозначает произведение Адамара , ${\displaystyle \circ }$
4. ${\displaystyle (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )}$, ^[12]
5. ${\displaystyle \ a\otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(a\otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} }$, ^[9] где — вектор- строка , ${\displaystyle a}$
6. ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf {B} \mathbf {D} )}$, ^[16]
7. ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\ast (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {P} [(\mathbf {A} \ast \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \ast \mathbf {D} )]}$, где — матрица перестановок. ^[7] ${\displaystyle \mathbf {P} }$
8.  

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} )}$, ^{[13] [15]}

   Сходным образом:

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} )}$,

9.  
   ${\displaystyle c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}}$, ^[12]
   ${\displaystyle c\ast d=c\otimes d}$,
   где и - векторы , ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$
10. ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T}}\right)d=\left(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T}}\right)c}$, ^[17] , ${\displaystyle d^{\textsf {T}}\left(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=c^{\textsf {T}}\left(d\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)}$
11.  

    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)}$, ^[18]

    где и — векторы (это комбинация свойств 3 и 8), Аналогично: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d),}$

12.  
    ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left((C^{(1)}x)\star (C^{(2)}y)\right)=\left(({\mathcal {F}}C^{(1)})\bullet ({\mathcal {F}}C^{(2)})\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}x)\circ ({\mathcal {F}}C^{(2)}y)}$,
    где - векторная свертка ; - матрицы "графического эскиза"; и - матрица преобразования Фурье (этот результат является развитием свойств графического эскиза ^[19] ). Это можно обобщить для соответствующих матриц : ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle C^{(1)},C^{(2)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
    
    ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$

    ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}$

    потому что свойство 11 выше дает нам

    ${\displaystyle \left(({\mathcal {F}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {F}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}$

    И теорема о свертке дает нам

    ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left((\mathbf {A} x)\star (\mathbf {B} y)\right)=({\mathcal {F}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {F}}\mathbf {B} y)}$

13.  
    ${\displaystyle \mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_{k}} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1_{c}} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} \right)}$, ^[20]
    где — матрица, — матрица, — вектор из единиц длины , а — вектор из единиц длины или ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle r\times c}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle r\times k}$ ${\displaystyle \mathbf {1_{c}} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {1_{k}} }$ ${\displaystyle k}$

    ${\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} \right)}$, ^[21]

    где — матрица, означает поэлементное умножение, а — вектор из единиц длиной . ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle r\times c}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle c}$

    ${\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ]\left(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)}$,

    где обозначает проникающее гранное произведение матриц. ^[13] Аналогично: ${\displaystyle [\circ ]}$

    ${\displaystyle \mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_{k}} )\circ (\mathbf {1_{c}} \otimes \mathbf {N} )}$, где — матрица, — матрица,. ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle c\times r}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle k\times r}$

14.  
    ${\displaystyle \mathbf {W_{d}} \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A} }$, ^[12]
    ${\displaystyle \operatorname {vec} ((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w} }$^[13] = = , ${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))}$ ${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} \mathbf {W_{d}} \mathbf {B} )}$
    
    ${\displaystyle \operatorname {vec} \left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} \right)^{\textsf {T}}\mathbf {w} }$, ^[21]
    где — вектор, состоящий из диагональных элементов , означает наложение столбцов матрицы друг на друга для получения вектора. ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {W_{d}} }$ ${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {A} )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$
15.  

    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {T} )}$. ^{[13] [15]}

    Сходным образом:

    ${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} d),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)&=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} d)\end{aligned}}}$,

    где и являются векторами ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

Примеры

Источник: ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]{}={}&{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Теорема

Источник: ^[18]

Если , где независимые компоненты — случайная матрица с независимыми одинаково распределенными строками , такая, что ${\displaystyle M=T^{(1)}\bullet \dots \bullet T^{(c)}}$ ${\displaystyle T^{(1)},\dots ,T^{(c)}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{1},\dots ,T_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle E\left[(T_{1}x)^{2}\right]=\left\|x\right\|_{2}^{2}}$и , ${\displaystyle E\left[(T_{1}x)^{p}\right]^{\frac {1}{p}}\leq {\sqrt {ap}}\|x\|_{2}}$

тогда для любого вектора ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left|\left\|Mx\right\|_{2}-\left\|x\right\|_{2}\right|<\varepsilon \left\|x\right\|_{2}}$

с вероятностью , если количество строк ${\displaystyle 1-\delta }$

${\displaystyle m=(4a)^{2c}\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +(2ae)\varepsilon ^{-1}(\log 1/\delta )^{c}.}$

В частности, если записи могут быть получены ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta +\varepsilon ^{-1}\left({\frac {1}{c}}\log 1/\delta \right)^{c}\right)}$

что соответствует лемме Джонсона–Линденштрауса о случае, когда является малым. ${\displaystyle m=O\left(\varepsilon ^{-2}\log 1/\delta \right)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Блокирующий продукт для расщепления лица

Транспонированный блок гранеразделительного продукта в контексте многогранной модели радара ^[15]

Согласно определению В. Слюсаря ^{[9] [13]} блочное гранеразделительное произведение двух секционированных матриц с заданным количеством строк в блоках

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right],}$

можно записать как:

${\displaystyle \mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].}$

Транспонированное блочное произведение граней (или блочно-столбцовая версия произведения Хатри–Рао) двух секционированных матриц с заданным количеством столбцов в блоках имеет вид: ^{[9] [13]}

${\displaystyle \mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right].}$

Основные свойства

1. Транспонировать :

   ${\displaystyle \left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$^[15]

Приложения

Продукт Face-splitting и продукт Block Face-splitting, используемые в тензорно -матричной теории цифровых антенных решеток . Эти операции также используются в:

• Системы искусственного интеллекта и машинного обучения для минимизации операций свертки и тензорного эскиза , ^[18]
• Популярные модели обработки естественного языка и гиперграфовые модели сходства, ^[22]
• Обобщенная линейная модель массива в статистике ^[21]
• Двумерная и многомерная аппроксимация данных P-сплайном , ^[20]
• Исследования взаимодействия генотипа и окружающей среды. ^[23]

Смотрите также

• продукт Кронекера
• продукт Адамара

Примечания

1. Khatri CG, CR Rao (1968). «Решения некоторых функциональных уравнений и их применение к характеристике распределений вероятностей». Sankhya . 30 : 167–180. Архивировано из оригинала (PDF) 2010-10-23 . Получено 2008-08-21 .
2. Лю, Шуанчжэ (1999). «Матричные результаты о произведениях Кхатри–Рао и Трейси–Сингха». Линейная алгебра и ее приложения . 289 (1–3): 267–277. doi : 10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .
3. Чжан X; Ян Z; Цао C. (2002), «Неравенства, включающие произведения Хатри–Рао положительных полуопределенных матриц», Applied Mathematics E-notes , 2 : 117–124
4. Лю, Шуанчжэ; Тренклер, Гётц (2008). «Адамард, Хатри-Рао, Кронекер и другие матричные продукты». Международный журнал информации и системных наук . 4 (1): 160–177.
5. См., например, HD Macedo и JN Oliveira. Линейно-алгебраический подход к OLAP. Formal Aspects of Computing, 27(2):283–307, 2015.
6. Лев-Ари, Ханох (2005-01-01). "Эффективное решение линейных матричных уравнений с применением к обработке многостатических антенных решеток" (PDF) . Communications in Information & Systems . 05 (1): 123–130. doi : 10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5 . ISSN  1526-7555.
7. Masiero, B.; Nascimento, VH (2017-05-01). «Возвращаясь к преобразованию массива Кронекера». IEEE Signal Processing Letters . 24 (5): 525–529. Bibcode : 2017ISPL...24..525M. doi : 10.1109/LSP.2017.2674969. ISSN  1070-9908. S2CID  14166014.
8. Вандервин, MC, Нг, BC, Пападиас, CB, и Полрадж, A. (nd). Оценка угла соединения и задержки (JADE) для сигналов в многолучевых средах. Протокол конференции Тридцатой Асиломарской конференции по сигналам, системам и компьютерам. – DOI:10.1109/acssc.1996.599145
9. Слюсар, VI (27 декабря 1996 г.). «Конечные матричные продукты для радиолокации» (PDF) . Известия ВУЗ: Радиоэлектроника . 41 (3): 71–75.
10. Анна Эстеве, Ева Бой и Хосеп Фортиана (2009): «Условия взаимодействия в регрессии на основе расстояний», Communications in Statistics – Theory and Methods , 38:19, стр. 3501 [1]
11. Слюсарь, В.И. (1997-05-20). "Аналитическая модель цифровой антенной решетки на основе произведений матриц гранеразделения" (PDF) . Труды ИКАТТ-97, Киев : 108–109.
12. Слюсар, ВИ (1997-09-15). "Новые операции произведения матриц для приложений радаров" (PDF) . Труды. Прямые и обратные задачи теории электромагнитных и акустических волн (ДИПЭД-97), Львов. : 73–74.
13. Слюсар, VI (13 марта 1998 г.). «Семейство лицевых продуктов матриц и его свойства» (PDF) . Кибернетика и системный анализ ПК Кибернетика и Системный анализ. 1999 . 35 (3): 379–384. дои : 10.1007/BF02733426. S2CID  119661450.
14. Слюсарь, В.И. (2003). «Обобщенные фейс-произведения матриц в моделях цифровых антенных решеток с неидентичными каналами» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 46 (10): 9–17.
15. Вадим Слюсарь. Новые матричные операции для ЦОС (лекция). Апрель 1999. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
16. C. Radhakrishna Rao . Оценка гетероскедастических дисперсий в линейных моделях.//Журнал Американской статистической ассоциации, т. 65, № 329 (март 1970 г.), стр. 161–172
17. Касивисванатан, Шива Прасад и др. «Цена частного выпуска таблиц сопряженности и спектры случайных матриц с коррелированными строками». Труды сорок второго симпозиума ACM по теории вычислений. 2010.
18. Томас Д. Але, Якоб Бэк Тейс Кнудсен. Почти оптимальный тензорный эскиз. Опубликовано в 2019 г. Математика, информатика, ArXiv.
19. Нинь, Фам; Паг, Расмус (2013). Быстрые и масштабируемые полиномиальные ядра с помощью явных карт признаков . Международная конференция SIGKDD по обнаружению знаний и добыче данных. Ассоциация вычислительной техники. doi :10.1145/2487575.2487591.
20. Eilers, Paul HC; Marx, Brian D. (2003). «Многомерная калибровка с температурным взаимодействием с использованием двумерной регрессии штрафного сигнала». Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems . 66 (2): 159–174. doi :10.1016/S0169-7439(03)00029-7.
21. Currie, ID; Durban, M.; Eilers, PHC (2006). «Обобщенные линейные модели массивов с приложениями к многомерному сглаживанию». Журнал Королевского статистического общества . 68 (2): 259–280. doi :10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x. S2CID  10261944.
22. Брайан Бишоф. Тензоры совместного появления высшего порядка для гиперграфов с помощью расщепления граней. Опубликовано 15 февраля 2020 г., Математика, Компьютерные науки, ArXiv
23. Иоганнес В. Р. Мартини, Хосе Кросса, Фернандо Х. Толедо, Хайме Куевас. О произведениях Адамара и Кронекера в ковариационных структурах для взаимодействия генотипа и среды.//Геном растений. 2020;13:e20033. Страница 5. [2]

Ссылки

• Khatri CG, CR Rao (1968). «Решения некоторых функциональных уравнений и их применение к характеристике распределений вероятностей». Sankhya . 30 : 167–180. Архивировано из оригинала 2010-10-23 . Получено 2008-08-21 .
• Рао ЧР; Рао М. Бхаскара (1998), Матричная алгебра и ее применение в статистике и эконометрике , World Scientific, стр. 216
• Чжан X; Ян Z; Цао C. (2002), «Неравенства, включающие произведения Хатри–Рао положительных полуопределенных матриц», Прикладная математика, электронные заметки , 2 : 117–124
• Лю Шуанчжэ; Тренклер Гётц (2008), «Адамард, Кхатри-Рао, Кронекер и другие матричные продукты», Международный журнал информации и системных наук , 4 : 160–177