Заказ продукта

Диаграмма Хассе заказа продукта на × ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

В математике , если задан частичный порядок и на множестве и , соответственно, порядок произведения ^{[1] [2] [3] [4]} (также называемый покоординатным порядком ^{[5] [3] [6]} или покомпонентным порядком ^{[2] [7]} ) является частичным упорядочением на декартовом произведении. Даны две пары и в объявить, что если и ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \sqsubseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle A\times B.}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(a_{2},b_{2}\right)}$ ${\displaystyle A\times B,}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)}$ ${\displaystyle a_{1}\preceq a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}\sqsubseteq b_{2}.}$

Другим возможным порядком является лексикографический порядок . Это полный порядок, если оба и полностью упорядочены. Однако порядок произведения двух полных порядков в общем случае не является полным; например, пары и несравнимы в порядке произведения упорядочения с самим собой. Лексикографическое сочетание двух полных порядков является линейным расширением их порядка произведения, и, таким образом, порядок произведения является подотношением лексикографического порядка. ^[3] ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 0<1}$

Декартово произведение с порядком произведения является категориальным произведением в категории частично упорядоченных множеств с монотонными функциями . ^[7]

Порядок произведения обобщается до произвольных (возможно бесконечных) декартовых произведений. Предположим, что есть множество и для каждого есть предупорядоченное множество. Тогда ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$предварительный заказ продукта определяется путем объявления для любогоивтом ${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a}}$ ${\displaystyle i_{\bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle j_{\bullet }=\left(j_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a},}$

${\displaystyle i_{\bullet }\leq j_{\bullet }}$тогда и только тогда, когда для каждого ${\displaystyle i_{a}\leq j_{a}}$ ${\displaystyle a\in A.}$

Если каждый заказ является частичным, то и предварительный заказ на продукт также является частичным. ${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$

Более того, для заданного множества порядок произведения над декартовым произведением может быть отождествлен с порядком включения подмножеств ^[4] ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \prod _{a\in A}\{0,1\}}$ ${\displaystyle A.}$

Это понятие применимо в равной степени и к предварительным порядкам . Порядок произведения также является категориальным произведением в ряде более богатых категорий, включая решетки и булевы алгебры . ^[7]

Смотрите также

• Прямое произведение бинарных отношений
• Примеры частичных заказов
• Звездный продукт , другой способ объединения частичных заказов
• Порядки декартового произведения полностью упорядоченных множеств
• Порядковая сумма частичных порядков
• Упорядоченное векторное пространство  – векторное пространство с частичным порядком

Ссылки

1. Неггерс, Дж.; Ким, Хи Сик (1998), «4.2 Порядок продукта и лексикографический порядок», Basic Posets, World Scientific, стр. 64–78, ISBN 9789810235895
2. Судхир Р. Горпаде; Балмохан В. Лимайе (2010). Курс многомерного исчисления и анализа . Springer. стр. 5. ISBN 978-1-4419-1621-1.
3. Эгберт Харцхейм (2006). Упорядоченные множества . Springer. стр. 86–88. ISBN 978-0-387-24222-4.
4. Victor W. Marek (2009). Введение в математику выполнимости . CRC Press. стр. 17. ISBN 978-1-4398-0174-1.
5. Дэви и Пристли, Введение в решетки и порядок (второе издание), 2002, стр. 18
6. Александр Шен; Николай Константинович Верещагин (2002). Основная теория множеств . Американское математическое общество. стр. 43. ISBN 978-0-8218-2731-4.
7. Пол Тейлор (1999). Практические основы математики . Cambridge University Press. стр. 144–145 и 216. ISBN 978-0-521-63107-5.