Производная категория

Гомологическая конструкция

В математике производная категория D ( A ) абелевой категории A является конструкцией гомологической алгебры , введенной для уточнения и в определенном смысле упрощения теории производных функторов, определенных на A . Построение осуществляется на основе того, что объекты D ( A ) должны быть цепными комплексами в A , причем два таких цепных комплекса считаются изоморфными, когда существует цепное отображение , которое индуцирует изоморфизм на уровне гомологии цепных комплексов. Затем производные функторы могут быть определены для цепных комплексов, уточняя концепцию гиперкогомологий . Определения приводят к значительному упрощению формул, иначе описываемых (не полностью точно) сложными спектральными последовательностями .

Развитие производной категории Александром Гротендиком и его учеником Жаном-Луи Вердье вскоре после 1960 года теперь представляется как одна из конечных точек взрывного развития гомологической алгебры в 1950-х годах, десятилетие, в котором она достигла замечательных успехов. Основная теория Вердье была записана в его диссертации, опубликованной окончательно в 1996 году в Astérisque (краткое изложение ранее появилось в SGA 4½ ). Аксиоматика требовала инновации, концепции триангулированной категории , а конструкция основана на локализации категории , обобщении локализации кольца . Первоначальный импульс к разработке «производного» формализма пришел из необходимости найти подходящую формулировку когерентной теории двойственности Гротендика . С тех пор производные категории стали незаменимыми и за пределами алгебраической геометрии , например, в формулировке теории D-модулей и микролокального анализа . Недавно полученные категории также стали важными в областях, близких к физике, таких как D-браны и зеркальная симметрия .

Неограниченные производные категории были введены Шпальтенштейном в 1988 году.

Мотивации

В когерентной теории пучков, дойдя до предела того, что можно было сделать с двойственностью Серра без предположения о невырожденной схеме , стала очевидной необходимость взять целый комплекс пучков вместо одного дуализирующего пучка . Фактически, условие кольца Коэна–Маколея , ослабление невырожденности, соответствует существованию одного дуализирующего пучка; и это далеко не общий случай. С интеллектуальной позиции сверху вниз, всегда принимаемой Гротендиком, это означало необходимость переформулировать. С ней пришла идея, что «реальные» тензорные произведения и функторы Hom будут теми, которые существуют на производном уровне; относительно них Tor и Ext становятся более похожими на вычислительные устройства.

Несмотря на уровень абстракции, производные категории были приняты в последующие десятилетия, особенно как удобная среда для когомологий пучков . Возможно, самым большим достижением стала формулировка соответствия Римана–Гильберта в размерностях больше 1 в производных терминах около 1980 года. Школа Сато приняла язык производных категорий, и последующая история D-модулей представляла собой теорию, выраженную в этих терминах.

Параллельное развитие получила категория спектров в теории гомотопии . Гомотопическая категория спектров и производная категория кольца являются примерами триангулированных категорий .

Определение

Пусть будет абелевой категорией . (Примерами являются категория модулей над кольцом и категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве.) Производная категория определяется универсальным свойством относительно категории коцепных комплексов с членами в . Объекты имеют вид ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,}$

где каждый X ⁱ является объектом и каждый из композитов равен нулю. i -я группа когомологий комплекса равна . Если и являются двумя объектами в этой категории, то морфизм определяется как семейство морфизмов, таких что . Такой морфизм индуцирует морфизмы на группах когомологий и называется квазиизоморфизмом, если каждый из этих морфизмов является изоморфизмом в . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle d^{i+1}\circ d^{i}}$ ${\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}}$ ${\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}$ ${\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$ ${\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$ ${\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}}$ ${\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}}$ ${\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })}$ ${\displaystyle f^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Универсальное свойство производной категории состоит в том, что она является локализацией категории комплексов относительно квазиизоморфизмов. В частности, производная категория является категорией вместе с функтором , обладающей следующим универсальным свойством: Предположим , что — другая категория (не обязательно абелева) и — функтор такой, что всякий раз, когда — квазиизоморфизм в , его образ — изоморфизм в ; тогда пропускается через . Любые две категории, обладающие этим универсальным свойством, эквивалентны. ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle F(f^{\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$

Отношение к гомотопической категории

Если и являются двумя морфизмами в , то цепная гомотопия или просто гомотопия — это набор морфизмов, таких что для каждого i . Несложно показать, что два гомотопных морфизма индуцируют идентичные морфизмы на группах когомологий. Мы говорим, что является цепной гомотопической эквивалентностью , если существует такое, что и являются цепными гомотопами тождественным морфизмам на и , соответственно. Гомотопическая категория коцепных комплексов — это категория с теми же объектами, что и , но чьи морфизмы являются классами эквивалентности морфизмов комплексов относительно отношения цепной гомотопии. Существует естественный функтор , который является тождественным на объектах и ​​который отправляет каждый морфизм в его класс цепной гомотопической эквивалентности. Поскольку каждая цепная гомотопическая эквивалентность является квазиизоморфизмом, факторизуется этим функтором. Следовательно, может с равным успехом рассматриваться как локализация гомотопической категории. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle h\colon f\to g}$ ${\displaystyle h^{i}\colon X^{i}\to Y^{i-1}}$ ${\displaystyle f^{i}-g^{i}=d_{Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{X}^{i}}$ ${\displaystyle f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

С точки зрения модельных категорий , производная категория D ( A ) является истинной «гомотопической категорией» категории комплексов, тогда как K ( A ) можно было бы назвать «наивной гомотопической категорией».

Построение производной категории

Существует несколько возможных конструкций производной категории. Когда — малая категория, то существует прямое построение производной категории путем формального присоединения обратных квазиизоморфизмов. Это пример общей конструкции категории с помощью генераторов и отношений. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Когда — большая категория, эта конструкция не работает по причинам теории множеств. Эта конструкция строит морфизмы как классы эквивалентности путей. Если имеет надлежащий класс объектов, все из которых изоморфны, то существует надлежащий класс путей между любыми двумя из этих объектов. Таким образом, конструкция генераторов и отношений гарантирует только то, что морфизмы между двумя объектами образуют надлежащий класс. Однако морфизмы между двумя объектами в категории обычно должны быть множествами, и поэтому эта конструкция не может создать фактическую категорию. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Однако даже когда мало, построение с помощью генераторов и отношений обычно приводит к категории, структура которой непрозрачна, где морфизмы — это произвольно длинные пути, подчиненные таинственному отношению эквивалентности. По этой причине принято строить производную категорию более конкретно, даже когда теория множеств не является предметом обсуждения. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Эти другие конструкции проходят через гомотопическую категорию. Набор квазиизоморфизмов в образует мультипликативную систему . Это набор условий, которые позволяют переписывать сложные пути как более простые. Теорема Габриэля–Зисмана подразумевает, что локализация в мультипликативной системе имеет простое описание в терминах крыш . ^[2] Морфизм в может быть описан как пара , где для некоторого комплексного , является квазиизоморфизмом и является классом цепной гомотопической эквивалентности морфизмов. Концептуально это представляет . Две крыши эквивалентны, если у них есть общая крыша. ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (s,f)}$ ${\displaystyle Z^{\bullet }}$ ${\displaystyle s\colon Z^{\bullet }\to X^{\bullet }}$ ${\displaystyle f\colon Z^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle f\circ s^{-1}}$

Замена цепочек морфизмов крышами также позволяет разрешить теоретико-множественные проблемы, связанные с производными категориями больших категорий. Зафиксируем комплекс и рассмотрим категорию , объекты которой являются квазиизоморфизмами в с областью значений , а морфизмы — коммутативными диаграммами. Эквивалентно, это категория объектов, над которой отображения структур являются квазиизоморфизмами. Тогда условие мультипликативной системы подразумевает, что морфизмы в от до являются ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle Y^{\bullet }}$

${\displaystyle \varinjlim _{I_{X^{\bullet }}}\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}((X')^{\bullet },Y^{\bullet }),}$

предполагая, что этот копредел на самом деле является множеством. Хотя потенциально является большой категорией, в некоторых случаях она контролируется малой категорией. Это имеет место, например, если является абелевой категорией Гротендика (что означает, что она удовлетворяет AB5 и имеет набор генераторов), при этом существенным моментом является то, что релевантными являются только объекты ограниченной мощности. ^[3] В этих случаях предел может быть вычислен по небольшой подкатегории, и это гарантирует, что результатом является множество. Тогда может быть определено иметь эти множества в качестве своих множеств. ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

Существует другой подход, основанный на замене морфизмов в производной категории морфизмами в гомотопической категории. Морфизм в производной категории с областью значений, являющейся ограниченным снизу комплексом инъективных объектов, совпадает с морфизмом в этот комплекс в гомотопической категории; это следует из почленной инъективности. Заменяя почленную инъективность более сильным условием, можно получить похожее свойство, которое применяется даже к неограниченным комплексам. Комплекс является K -инъективным , если для каждого ациклического комплекса , мы имеем . Прямым следствием этого является то, что для каждого комплекса морфизмы в являются такими же, как такие морфизмы в . Теорема Серпе, обобщающая работу Гротендика и Шпальтенштейна, утверждает, что в абелевой категории Гротендика каждый комплекс квазиизоморфен K-инъективному комплексу с инъективными членами, и, более того, это функториально. ^[4] В частности, мы можем определить морфизмы в производной категории, перейдя к K-инъективным резолюциям и вычисляя морфизмы в гомотопической категории. Функториальность конструкции Серпе гарантирует, что композиция морфизмов хорошо определена. Как и конструкция с использованием крыш, эта конструкция также обеспечивает подходящие теоретико-множественные свойства для производной категории, на этот раз потому, что эти свойства уже удовлетворяются гомотопической категорией. ${\displaystyle I^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X^{\bullet },I^{\bullet })=0}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to I^{\bullet }}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

Производные Hom-множества

Как было отмечено ранее, в производной категории hom-множества выражаются через крыши или долины , где — квазиизоморфизм. Чтобы получить лучшее представление о том, как выглядят элементы, рассмотрим точную последовательность ${\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y}$ ${\displaystyle Y\to Y'}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}$

Мы можем использовать это для построения морфизма, усекая комплекс выше, сдвигая его и используя очевидные морфизмы выше. В частности, у нас есть изображение ${\displaystyle \phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]}$

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}$

где нижний комплекс сконцентрирован в степени , единственная нетривиальная восходящая стрелка — это морфизм равенства, а единственная нетривиальная нисходящая стрелка — это . Эта диаграмма комплексов определяет морфизм ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}$

в производной категории. Одним из применений этого наблюдения является построение класса Атьи. ^[5]

Замечания

Для определенных целей (см. ниже) вместо неограниченных используются ограниченные снизу ( для ), ограниченные сверху ( для ) или ограниченные ( для ) комплексы. Соответствующие производные категории обычно обозначаются как D ⁺ (A) , D ⁻ (A) и D ^b (A) соответственно. ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle n\ll 0}$ ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle n\gg 0}$ ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle |n|\gg 0}$

Если принять классическую точку зрения на категории, что существует множество морфизмов из одного объекта в другой (а не только класс ), то нужно привести дополнительный аргумент, чтобы доказать это. Если, например, абелева категория A мала, т. е. имеет только множество объектов, то этот вопрос не будет проблемой. Также, если A является абелевой категорией Гротендика , то производная категория D ( A ) эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории K ( A ), и, следовательно, имеет только множество морфизмов из одного объекта в другой. ^[6] Абелевы категории Гротендика включают категорию модулей над кольцом, категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве и многие другие примеры.

Композиция морфизмов, т. е. крыш, в производной категории достигается путем нахождения третьей крыши поверх двух крыш, которые должны быть составлены. Можно проверить, что это возможно и дает хорошо определенную, ассоциативную композицию.

Поскольку K(A) является триангулированной категорией , ее локализация D(A) также триангулирована. Для целого числа n и комплексного числа X определим ^[7] комплекс X [ n ] как X, сдвинутый вниз на n , так что

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}$

с дифференциалом

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

По определению, выделенный треугольник в D(A) — это треугольник, который изоморфен в D(A) треугольнику X → Y → Cone( f ) → X [1] для некоторого отображения комплексов f : X → Y . Здесь Cone( f ) обозначает конус отображения f . В частности, для короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

в A треугольник X → Y → Z → X [1] выделяется в D(A) . Вердье объяснил, что определение сдвига X [1] вынуждено, требуя, чтобы X [1] был конусом морфизма X → 0. ^[8]

Рассматривая объект A как комплекс, сосредоточенный в нулевой степени, производная категория D(A) содержит A как полную подкатегорию . Морфизмы в производной категории включают информацию обо всех группах Ext : для любых объектов X и Y в A и любого целого числа j ,

${\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}$

Проективные и инъективные резолюции

Можно легко показать, что гомотопическая эквивалентность является квазиизоморфизмом , поэтому второй шаг в приведенной выше конструкции можно опустить. Определение обычно дается таким образом, поскольку оно раскрывает существование канонического функтора

${\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}$

В конкретных ситуациях очень сложно или невозможно напрямую обращаться с морфизмами в производной категории. Поэтому ищут более управляемую категорию, эквивалентную производной категории. Классически существует два (двойственных) подхода к этому: проективные и инъективные резолюции . В обоих случаях ограничение вышеуказанного канонического функтора на соответствующую подкатегорию будет эквивалентностью категорий .

Далее мы опишем роль инъективных резолюций в контексте производной категории, которая является основой для определения правых производных функторов , которые, в свою очередь, имеют важные приложения в когомологиях пучков на топологических пространствах или более сложных теориях когомологий, таких как этальные когомологии или групповые когомологии .

Чтобы применить эту технику, нужно предположить, что рассматриваемая абелева категория имеет достаточно инъективов , что означает, что каждый объект X категории допускает мономорфизм к инъективному объекту I. (Ни отображение, ни инъективный объект не должны быть определены однозначно.) Например, каждая абелева категория Гротендика имеет достаточно инъективов. Вкладывая X в некоторый инъективный объект I ⁰ , коядро этого отображения в некоторый инъективный I ¹ и т. д., мы строим инъективное разрешение X , т. е. точную ( в общем случае бесконечную) последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}$

где I * — инъективные объекты. Эта идея обобщается, чтобы дать разрешения ограниченных снизу комплексов X , т.е. X ⁿ = 0 для достаточно малых n . Как отмечено выше, инъективные разрешения не определены однозначно, но фактом является то, что любые два разрешения гомотопически эквивалентны друг другу, т.е. изоморфны в гомотопической категории. Более того, морфизмы комплексов однозначно продолжаются до морфизма двух заданных инъективных разрешений.

Это тот момент, когда гомотопическая категория снова вступает в игру: отображение объекта X из A в (любую) инъективную резольвенту I * из A продолжается до функтора

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}$

из ограниченной снизу производной категории в ограниченную снизу гомотопическую категорию комплексов, члены которых являются инъективными объектами в A .

Нетрудно заметить, что этот функтор на самом деле обратен ограничению канонического функтора локализации, упомянутого в начале. Другими словами, морфизмы Hom( X , Y ) в производной категории могут быть вычислены путем разрешения как X , так и Y и вычисления морфизмов в гомотопической категории, что, по крайней мере, теоретически проще. Фактически, достаточно разрешить Y : для любого комплексного X и любого ограниченного снизу комплекса Y инъективов,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

Двойственно, предполагая, что A имеет достаточно проективных объектов , т.е. для каждого объекта X существует эпиморфизм из проективного объекта P в X , можно использовать проективные резолюции вместо инъективных.

В 1988 году Спальтенштейн определил неограниченную производную категорию (Spaltenstein (1988)), которая сразу же оказалась полезной при изучении сингулярных пространств; см., например, книгу Кашивары и Шапиры (Categories and Sheaves) о различных приложениях неограниченной производной категории. Спальтенштейн использовал так называемые K-инъективные и K-проективные резолюции.

Келлер (1994) и Мэй (2006) описывают производную категорию модулей над DG-алгебрами. Келлер также дает приложения к двойственности Кошуля, когомологиям алгебр Ли и гомологиям Хохшильда.

В более общем плане, тщательно адаптируя определения, можно определить производную категорию точной категории (Келлер, 1996).

Отношение к производным функторам

Производная категория является естественной основой для определения и изучения производных функторов . В дальнейшем пусть F : A → B будет функтором абелевых категорий. Существуют два дуальных понятия:

• правые производные функторы происходят от левых точных функторов и вычисляются с помощью инъективных резолюций
• левые производные функторы происходят от правых точных функторов и вычисляются с помощью проективных резолюций

Далее мы опишем правые производные функторы. Итак, предположим, что F является левым точным. Типичными примерами являются F : A → Ab, заданный как X ↦ Hom( X , A ) или X ↦ Hom( A , X ) для некоторого фиксированного объекта A , или глобальный функтор сечений на пучках или функтор прямого образа . Их правые производные функторы — это Ext ⁿ (–, A ) , Ext ⁿ ( A ,–), H ⁿ ( X , F ) или R ⁿ f _∗ ( F ) , соответственно.

Производная категория позволяет нам инкапсулировать все производные функторы R ⁿ F в один функтор, а именно так называемый полный производный функтор RF : D ⁺ ( A ) → D ⁺ ( B ). Это следующая композиция: D ⁺ ( A ) ≅ K ⁺ (Inj( A )) → K ⁺ ( B ) → D ⁺ ( B ), где первая эквивалентность категорий описана выше. Классические производные функторы связаны с полным через R ⁿ F ( X ) = H ⁿ ( RF ( X )). Можно сказать, что R ⁿ F забывают цепной комплекс и сохраняют только когомологии, тогда как RF отслеживает комплексы.

Производные категории, в некотором смысле, являются «правильным» местом для изучения этих функторов. Например, спектральная последовательность Гротендика композиции двух функторов

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}$

такой, что F отображает инъективные объекты из A в G -ациклики (т.е. R ⁱ G ( F ( I )) = 0 для всех i  > 0 и инъективный I ), является выражением следующего тождества полных производных функторов

Р ( Г ∘ Ж ) ≅ РГ ∘ РФ .

Ж.-Л. Вердье показал, как производные функторы, связанные с абелевой категорией A, можно рассматривать как расширения Кана вдоль вложений A в подходящие производные категории [Маклейн].

Производная эквивалентность

Может случиться, что две абелевы категории A и B не эквивалентны, но их производные категории D( A ) и D( B ) эквивалентны. Часто это интересное отношение между A и B . Такие эквивалентности связаны с теорией t-структур в триангулированных категориях . Вот несколько примеров. ^[9]

• Пусть — абелева категория когерентных пучков на проективной прямой над полем k . Пусть K ₂ -Rep — абелева категория представлений колчана Кронекера с двумя вершинами. Это очень разные абелевы категории, но их (ограниченные) производные категории эквивалентны. ${\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$
• Пусть Q — любой колчан , а P — колчан, полученный из Q путем перестановки некоторых стрелок. В общем случае категории представлений Q и P различны, но D ^b ( Q -Rep) всегда эквивалентно D ^b ( P -Rep).
• Пусть X — абелево многообразие , Y — его двойственное абелево многообразие . Тогда D ^b (Coh( X )) эквивалентно D ^b (Coh( Y )) по теории преобразований Фурье–Мукаи . Многообразия с эквивалентными производными категориями когерентных пучков иногда называются партнерами Фурье–Мукаи .

Смотрите также

• Гомотопическая категория цепных комплексов
• Производная некоммутативная алгебраическая геометрия
• Когерентные когомологии пучков
• Последовательная дуальность
• Производная алгебраическая геометрия

Примечания

1. Мак Лейн, Категории для практикующего математика .
2. Габриэль, Питер; Зисман, М. (6 декабря 2012 г.). "1.2 Исчисление дробей: Предложение 2.4". Исчисление дробей и теория гомотопии. Springer. стр. 14. ISBN 978-3-642-85844-4.
3. Weibel 1994, примечание 10.4.5 и исправления.
4. Проект Stacks, тег 079P.
5. Маркарян, Никита (2009). «Класс Атьи, когомологии Хохшильда и теорема Римана-Роха». Журнал Лондонского математического общества . 79 : 129–143. arXiv : math/0610553 . doi :10.1112/jlms/jdn064. S2CID  16236000.
6. Кашивара и Шапира, 2006, Теорема 14.3.1.
7. Гельфанд и Манин 2003, III.3.2
8. Вердье 1996, Приложение к гл. 1
9. Келлер, Бернхард (2003). «Производные категории и наклон» (PDF) .

Ссылки

• Doorn, MGM van (2001) [1994], "Производная категория", Энциклопедия математики , EMS Press
• Келлер, Бернхард (1996), «Производные категории и их использование», в Хазевинкель, М. (ред.), Справочник по алгебре, Амстердам: Северная Голландия, стр. 671–701, ISBN 0-444-82212-7, г-н  1421815
• Келлер, Бернхард (1994), «Вывод категорий DG», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033/asens.1689 , ISSN  0012-9593, MR  1258406
• Мэй, Дж. П. (2006), Производные категории с топологической точки зрения (PDF)дает интерпретацию производной категории модулей над DG-алгебрами.
• Шпальтенштейн, Н. (1988), «Разрешения неограниченных комплексов», Compositio Mathematica , 65 (2): 121–154, ISSN  0010-437X, MR  0932640
• Вердье, Жан-Луи (1996), «Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes», Asterisque (на французском языке), 239 , Париж: Société Mathématique de France , ISSN  0303-1179, MR  1453167

Четыре учебника, в которых обсуждаются производные категории:

• Гельфанд, Сергей И.; Манин, Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, МР  1950475
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006), Категории и пучки , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-27949-5, МР  2182076
• Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.
• Yekutieli, Amnon (2019). Derived Categories . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 183. Cambridge University Press. ISBN 978-1108419338.