Производственная функция Кобба–Дугласа

Сетчатая производственная поверхность Кобба-Дугласа с изоквантам

В экономике и эконометрике производственная функция Кобба–Дугласа — это особая функциональная форма производственной функции , широко используемая для представления технологической связи между объемами двух или более ресурсов (в частности, физического капитала и труда) и объемом продукции, которая может быть произведена этими ресурсами. Форма Кобба–Дугласа была разработана и проверена на основе статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в период с 1927 по 1947 год; ^[1] по словам Дугласа, сама функциональная форма была разработана ранее Филиппом Уикстидом . ^[2]

Формулировка

В наиболее стандартной форме для производства одного товара с двумя факторами функция имеет вид:

Y(L,K)=AL^{\beta }K^{\alpha }

где:

Y = общий объем производства (реальная стоимость всех товаров, произведенных за год или 365,25 дней)
L = трудозатраты (человеко-часы, отработанные за год или 365,25 дней)
K = капитальные затраты (мера всех машин, оборудования и зданий; стоимость капитальных затрат, деленная на цену капитала) ^{[ необходимо разъяснение ]}
A = общая производительность факторов производства
$0<\альфа <1$ и являются эластичностями выпуска капитала и труда соответственно. Эти значения являются константами, определяемыми доступной технологией. $0<\бета <1$

Капитал и труд являются двумя «факторами производства» производственной функции Кобба–Дугласа.

История

Пол Дуглас объяснил, что его первая формулировка производственной функции Кобба–Дугласа была разработана в 1927 году; когда он искал функциональную форму для связи оценок, которые он вычислил для рабочих и капитала, он поговорил с математиком и коллегой Чарльзом Коббом , который предложил функцию вида $Y = AL β K 1- β$ , ранее использовавшуюся Кнутом Викселлем , Филиппом Викстидом и Леоном Вальрасом , хотя Дуглас признает только Викстида и Вальраса за их вклад. ^[3] Вскоре после смерти Кнута Викселля в 1926 году Пол Дуглас и Чарльз Кобб впервые реализовали функцию Кобба–Дугласа в своей работе, охватывающей предметный способ теории производителей. ^[4] Оценив это с помощью наименьших квадратов , он получил результат для показателя степени труда 0,75, который впоследствии был подтвержден Национальным бюро экономических исследований как 0,741. Более поздние работы в 1940-х годах побудили их допустить, что показатели степеней K и L могут меняться, что привело к оценкам, которые впоследствии оказались очень близки к улучшенной мере производительности, разработанной в то время. ^[5]

Главной критикой в то время было то, что оценки производственной функции, хотя и казались точными, основывались на таких скудных данных, что им было трудно придать большую достоверность. Дуглас заметил: «Я должен признать, что был обескуражен этой критикой и думал отказаться от усилий, но было что-то, что подсказало мне, что я должен держаться». ^[5] Прорыв произошел с использованием данных переписи населения США , которые были поперечными и предоставили большое количество наблюдений. Дуглас представил результаты этих выводов, наряду с результатами по другим странам, в своем выступлении в 1947 году в качестве президента Американской экономической ассоциации . Вскоре после этого Дуглас занялся политикой и был поражен плохим здоровьем, что привело к небольшому дальнейшему развитию с его стороны. Однако два десятилетия спустя его производственная функция широко использовалась, будучи принятой такими экономистами, как Пол Самуэльсон и Роберт Солоу . ^[5] Производственная функция Кобба-Дугласа особенно примечательна тем, что впервые была разработана, оценена и затем представлена специалистам для анализа совокупная или общеэкономическая производственная функция; она ознаменовала собой эпохальное изменение в подходе экономистов к макроэкономике с точки зрения микроэкономики. ^[6]

Положительность предельных продуктов

Предельный продукт фактора производства — это изменение объема производства при изменении этого фактора производства, при этом все остальные факторы производства, а также общая производительность факторов производства остаются неизменными.

Предельный продукт капитала соответствует первой производной производственной функции по капиталу: $МПК$

MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}=\alpha AL^{\beta }K^{\alpha -1}=\alpha {\frac {AL^{\beta }K^{\alpha }}{K}}=\alpha {\frac {Y}{K}}

Потому что (и также) мы обнаруживаем, что предельный продукт капитала всегда положителен; то есть увеличение капитала приводит к увеличению выпуска. $\альфа >0$ $Y>0,K>0$

Пример

Предположим (единица измерения опущена для краткости). $A=3,L=25,\alpha =0,5,K=36,\beta =0,5$

Производство — . $Y=3\cdot 25^{0.5}\cdot 36^{0.5}=90\$$

Увеличение капитала до приводит к производству , увеличению . $К=37$ $\приблизительно 91,24\$$ $1.24\$$

Мы также обнаружили, что увеличение совокупной производительности факторов производства увеличивает предельный продукт капитала. $А$

Аналогичное рассуждение справедливо и для труда.

Закон убывающей доходности

Взяв производную предельного продукта капитала по капиталу (т.е. взяв вторую производную производственной функции по капиталу), имеем:

{\frac {\partial MPK}{\partial K}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}={\frac {\partial }{\partial K}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=AL^{\beta }\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}=\alpha (\alpha -1)AL^{\beta }{\frac {K^{\alpha }}{K^{2}}}=\alpha (\alpha -1){\frac {Y}{K^{2}}}

Потому что , тогда и так . $\alpha <1$ $\alpha -1<0$ ${\dfrac {\partial MPK}{\partial K}}<0$

Таким образом, эта функция удовлетворяет закону «убывающей доходности»; то есть предельный продукт капитала, хотя всегда положительный, уменьшается. По мере увеличения капитала (при сохранении постоянной производительности труда и совокупной производительности факторов) выпуск увеличивается, но с убывающей скоростью.

Пример

Предположим (единица измерения опущена для краткости). $A=3,L=25,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5$

Производство — . $Y=3\cdot 25^{0.5}\cdot 36^{0.5}=90\$$

Увеличение капитала на 10 приводит к производству , увеличению более чем на случай. $K=46$ $\approx 101.73\$$ $11.73\$$ $K=36$

Дальнейшее увеличение капитала на 10 приводит к производству , увеличению более чем на случай. $K=56$ $\approx 112.25\$$ $10.52\$$ $K=46$

Аналогичные рассуждения справедливы и для труда.

Перекрестные производные

Мы можем изучить, что происходит с предельным продуктом капитала при увеличении труда, взяв частную производную предельного продукта капитала по труду, то есть перекрестную производную выпуска по капиталу и труду:

${\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}={\dfrac {\partial ^{2}Y}{\partial K\partial L}}={\dfrac {\partial }{\partial L}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=A\beta L^{\beta -1}\alpha K^{\alpha -1}=A\alpha \beta {\dfrac {L^{\beta }K^{\alpha }}{LK}}=\alpha \beta {\dfrac {Y}{LK}}$

Так как , увеличение труда увеличивает предельный продукт капитала. ${\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}>0$

Пример

Предположим (единица измерения опущена для краткости). $A=3,L=25,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5$

Производство — . $Y=3\cdot 25^{0.5}\cdot 36^{0.5}=90\$$

Увеличение капитала на 10 приводит к производству , увеличению на . $K=46$ $\approx 101.73\$$ $11.73\$$

Теперь предположим (единица измерения опущена для краткости). $A=3,L=36,\alpha =0.5,K=36,\beta =0.5$

Производство — . $108\$$

Увеличение капитала на 10 приводит к производству , увеличению $K=46$ $\approx 122.08\$$ $14.08\$$

Возврат к масштабу

Эластичность выпуска измеряет чувствительность выпуска к изменению уровня труда или капитала, используемого в производстве, при прочих равных условиях . Например, если $α = 0,45$ , то увеличение использования капитала на $1%$ приведет к увеличению выпуска примерно на $0,45% .$

Иногда этот термин имеет более узкое значение, требуя, чтобы функция демонстрировала постоянную отдачу от масштаба , что означает, что увеличение капитала K и труда L в k раз также увеличивает выпуск Y в том же размере, то есть . Это справедливо, если . $Y(kL,kK)=kY(L,K)$ $\alpha +\beta =1$

Доказательство

$Y(kL,kK)=A(kL)^{\beta }(kK)^{\alpha }=Ak^{\beta }L^{\beta }k^{\alpha }K^{\alpha }=Ak^{\alpha +\beta }L^{\beta }K^{\alpha }=k^{\alpha +\beta }Y(L,K)$

Подключение : $\alpha +\beta =1$

$Y(kL,kK)=kY(L,K)$

Если , то отдача от масштаба уменьшается, что означает, что увеличение капитала K и труда L в k раз приведет к увеличению выпуска Y, меньшему, чем в k раз , то есть . ^[7] $\alpha +\beta <1$ $Y(kL,kK)<kY(L,K)$

Если , то отдача от масштаба увеличивается, что означает, что увеличение капитала K и труда L в k раз приводит к увеличению выпуска Y больше, чем в k раз , то есть . ^[7] $\alpha +\beta >1$ $Y(kL,kK)>kY(L,K)$

Вознаграждение в условиях совершенной конкуренции

В условиях совершенной конкуренции факторы производства вознаграждаются по их совокупному предельному продукту.

Предельный продукт капитала определяется по формуле: . Это вознаграждение за каждую единицу капитала. Чтобы узнать вознаграждение за весь капитал, умножим эту величину на : $MPK=\alpha {\dfrac {Y}{K}}$ $K$

${\text{Capital earnings}}=K\cdot MPK=\alpha Y$ .

Таким образом, доля продукции будет вознаграждать капитал. $\alpha$

Рассуждая аналогичным образом, мы можем обнаружить, что доля продукции будет вознаграждать труд. $\beta$

Эти акции составляют в сумме 100% объема производства только в том случае, если . $\alpha +\beta =1$

Обобщенная форма

В обобщенном виде функция Кобба–Дугласа моделирует более двух товаров. Функция Кобба–Дугласа может быть записана как ^[8]

f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).

где

A — параметр эффективности
n — общее количество входных переменных (товаров)
$x 1, ..., x n$ — (неотрицательные) количества потребленных, произведенных и т. д. благ.
$\lambda _{i}$ является параметром эластичности для хорошего i

Критика

Функция подверглась критике за отсутствие обоснованности. На Кобба и Дугласа повлияли статистические данные, которые, по-видимому, показывали, что доли труда и капитала в общем объеме производства были постоянными с течением времени в развитых странах; они объяснили это статистической подгонкой регрессии наименьших квадратов их производственной функции. В настоящее время широко признано, что доля труда снижается в индустриальных экономиках. ^[9]^[10] Производственная функция содержит основное предположение, которое не всегда может обеспечивать наиболее точное представление производственных возможностей страны и эффективности предложения. Это предположение представляет собой «постоянную долю труда в объеме производства», что может быть неэффективным при применении к случаям стран, рынки труда которых растут значительными темпами. ^[11] Еще одной проблемой в фундаментальной композиции производственной функции Кобба–Дугласа является наличие смещения одновременного уравнения. Когда предполагается конкуренция, смещение одновременного уравнения влияет на все типы функций, включающие решения фирм, включая функцию Кобба–Дугласа. В некоторых случаях это смещение одновременного уравнения не проявляется. Однако оно очевидно при использовании асимптотических приближений наименьших квадратов. ^[12]

Производственная функция Кобба-Дугласа не была разработана на основе каких-либо знаний в области инженерии, технологий или управления производственным процессом ^{[ требуется ссылка ]} . Это обоснование может быть верным, учитывая определение термина Капитал. Рабочие часы и Капитал нуждаются в лучшем определении. Если капитал определяется как здание, труд уже включен в разработку этого здания. Здание состоит из товаров, труда, рисков и общих условий. Вместо этого оно было разработано, потому что имело привлекательные математические характеристики ^{[ требуется ссылка ]} , такие как убывающая предельная доходность любого фактора производства и свойство, что оптимальные доли расходов на любой заданный ввод фирмы, эксплуатирующей технологию Кобба-Дугласа, являются постоянными. Первоначально для этого не было никаких полезных основ. В современную эпоху некоторые экономисты пытаются строить модели на основе действий отдельных агентов, а не навязывать функциональную форму всей экономике ^{[ требуется ссылка ]} . Производственная функция Кобба-Дугласа, если она правильно определена, может применяться на микроэкономическом уровне вплоть до макроэкономического уровня.

Однако многие современные авторы ^{[ кто? ]} разработали модели, которые дают микроэкономически обоснованные производственные функции Кобба-Дугласа, включая многие новые кейнсианские модели. ^[13] Тем не менее, было бы математической ошибкой предполагать, что только потому, что функция Кобба-Дугласа применяется на микроэкономическом уровне, она также всегда применяется на макроэкономическом уровне. Аналогично, не обязательно, что макро-Кобба-Дугласа применяется на дезагрегированном уровне. Раннее микрооснование совокупной технологии Кобба-Дугласа, основанное на линейных видах деятельности, получено в Houthakker (1955). ^[14] Производственная функция Кобба-Дугласа не согласуется с современными эмпирическими оценками эластичности замещения между капиталом и трудом, которые предполагают, что капитал и труд являются валовыми дополнениями. Метаанализ 3186 оценок 2021 года приходит к выводу, что «вес доказательств, накопленных в эмпирической литературе, решительно отвергает спецификацию Кобба-Дугласа». ^[15]

Коммунальные услуги Кобб–Дуглас

Функция Кобба–Дугласа часто используется как функция полезности . ^[16]^[8] Полезность является функцией количества потребляемых товаров : ${\tilde {u}}$ $x_{i}$ $n$

{\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}

Функции полезности представляют порядковые предпочтения и не имеют натуральных единиц, в отличие от производственных функций. В результате монотонное преобразование функции полезности представляет те же предпочтения. В отличие от производственной функции Кобба–Дугласа, где сумма показателей определяет степень экономии масштаба , для функции полезности сумма может быть нормализована до единицы, поскольку нормализация является монотонным преобразованием исходной функции полезности. Таким образом, определим и , так что , и запишем функцию полезности как: $\lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$ $\alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}$ $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$

u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}

Потребитель максимизирует полезность при условии бюджетного ограничения, что стоимость товара меньше его богатства . Обозначив цены товаров, она решает: $w$ $p_{i}$

\max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ subject to the constraint }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w

Оказывается, решение для спроса Кобба–Дугласа следующее:

\forall j:\qquad x_{j}^{\star }={\frac {w\alpha _{j}}{p_{j}}}

Поскольку , потребитель тратит часть своего богатства на товар $j$ . Обратите внимание, что это решение для или , поскольку одни и те же предпочтения порождают один и тот же спрос. $\alpha _{j}={\frac {p_{j}x_{j}^{*}}{w}}$ $\alpha _{j}$ $u(x)$ ${\tilde {u}}(x),$

Косвенную функцию полезности можно рассчитать, подставив спрос в функцию полезности. Определим константу и получим: $x_{j}$ $K=\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}$

v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)

что является частным случаем полярной формы Гормана . Функция расходов является обратной функцией косвенной функции полезности: ^[17]^{: 112}

e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u

Различные представления производственной функции

Форму функции Кобба–Дугласа можно оценить как линейную зависимость, используя следующее выражение:

\ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})

где

$Y={\text{output}}$
$I_{i}={\text{inputs}}$
$a_{i}={\text{model coefficients}}$

Модель также может быть записана как

Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots

Как уже отмечалось, обычная функция Кобба–Дугласа, используемая в макроэкономическом моделировании, имеет вид

Y=K^{\alpha }L^{\beta }

где K — капитал, а L — труд. Когда показатель степени модели в сумме равен единице, производственная функция является однородной первого порядка , что подразумевает постоянную отдачу от масштаба — то есть, если все входы масштабируются общим множителем, большим нуля, выпуск будет масштабироваться тем же множителем.

Связь с производственной функцией CES

Производственная функция постоянной эластичности замещения (CES) (в двухфакторном случае) имеет вид

Y=A\left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)^{1/\gamma },

в котором предельный случай $γ = 0$ соответствует функции Кобба–Дугласа с постоянной отдачей от масштаба. ^[18] $Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha },$

Чтобы увидеть это, рассмотрим журнал функции CES:

\ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)

можно довести до предела, применив правило Лопиталя :

\lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L).

Поэтому, . $Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }$

Транслогарифмическая производственная функция

Транслогарифмическая производственная функция является аппроксимацией функции CES полиномом Тейлора второго порядка по переменной около , т.е. случай Кобба–Дугласа. ^[19]^[20] Название транслогарифмическая означает «трансцендентный логарифмический». Она часто используется в эконометрике из-за того, что она линейна по параметрам, что означает, что можно использовать обычный метод наименьших квадратов, если входные данные можно считать экзогенными . $\gamma$ $\gamma =0$

В двухфакторном случае выше транслогарифмическая производственная функция имеет вид

{\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L)+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha (1-\alpha )\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\\&=\ln(A)+a_{K}\ln(K)+a_{L}\ln(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{aligned}}

где , , , , и определены соответствующим образом. В трехфакторном случае транслогарифмическая производственная функция имеет вид: $a_{K}$ $a_{L}$ $b_{KK}$ $b_{LL}$ $b_{KL}$

{\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+a_{M}\ln(M)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{MM}\ln ^{2}(M)\\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\\&=f(L,K,M).\end{aligned}}

где = совокупная производительность факторов производства, = труд, = капитал, = материалы и принадлежности, = выпуск продукции. $A$ $L$ $K$ $M$ $Y$

Смотрите также

Ссылки

^ Cobb, CW; Douglas, PH (1928). "Теория производства" (PDF) . American Economic Review . 18 (Приложение): 139–165. JSTOR 1811556 . Получено 26 сентября 2016 г. .
^ Барро, Роберт Дж.; Сала-и-Мартин, Ксавье (2004). Экономический рост (Второе изд.). MIT Press. стр. 29, сноска 7. ISBN 0-262-02553-1.
^ Браун, Мюррей (2017). «Функции Кобба–Дугласа». Новый экономический словарь Palgrave . Palgrave Macmillan UK. стр. 1–4. doi :10.1057/978-1-349-95121-5_480-2. ISBN 978-1-349-95121-5.
^ Нечиба, Томас Дж. (2017). Микроэкономика: интуитивный подход с исчислением (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage Learning. стр. 126. ISBN 978-1-305-65046-6.
^ abc Дуглас, Пол Х. (октябрь 1976 г.). «Производственная функция Кобба-Дугласа еще раз: ее история, ее тестирование и некоторые новые эмпирические значения». Журнал политической экономии . 84 (5): 903–916. doi :10.1086/260489. S2CID 154435697.
^ Filipe, Jesus; Adams, F. Gerard (2005). «Оценка функции Кобба-Дугласа: ретроспективный взгляд». Eastern Economic Journal . 31 (3): 427–445. JSTOR 40326423.
^ ab Жак, Ян (2018). Математика для экономики и бизнеса (девятое изд.). Харлоу, Великобритания: Pearson Education. стр. 168. ISBN 9781292191713.
^ ab Brown, Murray (2016-05-18). Новый экономический словарь Palgrave. Springer. ISBN 9781349588022.
^ Элсби, Майкл; Хобейн, Барт; Сахин, Айшегюль (2013-09-01). Снижение доли труда в США (отчет). Федеральный резервный банк Сан-Франциско.
^ Аум, Санмин; Шин, Ёнсок (2020). «Почему доля труда снижается?». Обзор . 102 (4). doi :10.20955/r.102.413-28 . Получено 09.08.2023 .
^ Hájková, Dana; Hurník, Jaromír (октябрь 2006 г.). «Производственная функция Кобба-Дугласа: случай конвергентной экономики». Czech Journal of Economics and Finance (Finance a User) . 57 (9–10): 465–476 . Получено 25 апреля 2021 г.
^ Хох, Ирвинг (октябрь 1958 г.). «Смещение одновременного уравнения в контексте производственной функции Кобба-Дугласа». Econometrica . 26 (4): 566–578. doi :10.2307/1907517. JSTOR 1907517.
^ Уолш, Карл (2003). Денежная теория и политика (2-е изд.). Кембридж: MIT Press . ISBN 9780262232319.
^ Хаутаккер, Х.С. (1955), «Распределение Парето и производственная функция Кобба–Дугласа в анализе деятельности», The Review of Economic Studies , 23 (1): 27–31, doi :10.2307/2296148, JSTOR 2296148
^ Гехерт, Хавранек, Ирсова, Колчунова (2021), «Измерение замещения капитала трудом: важность выбора метода и предвзятости публикации», Обзор экономической динамики , 45 : 55–82, doi : 10.1016/j.red.2021.05.003, S2CID 236400765{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Бренес, Адриан (2011). Функция полезности Кобба-Дугласа. Архивировано из оригинала 2014-10-03 . Получено 2011-08-11 .
^ Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (третье изд.). Нью-Йорк: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
^ Силберберг, Юджин; Суен, Винг (2001). «Эластичность замещения». Структура экономики: математический анализ (третье изд.). Бостон: Irwin McGraw-Hill. С. 246–2477. ISBN 0-07-234352-4.
^ Берндт, Эрнст Р.; Кристенсен, Лауриц Р. (1973). «Транслогарифмическая функция и замещение оборудования, структур и труда в обрабатывающей промышленности США в 1929–68 годах». Журнал эконометрики . 1 (1): 81–113. doi :10.1016/0304-4076(73)90007-9.
^ Уинн, Р. Ф.; Холден, К. (1974). Введение в прикладной эконометрический анализ . Нью-Йорк: Halsted Press. С. 62–65. ISBN 0-333-16711-2.

Дальнейшее чтение

Реншоу, Джефф (2005). Математика для экономики . Нью-Йорк: Oxford University Press. С. 516–526. ISBN 0-19-926746-4.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме « Производственные функции Кобба–Дугласа» .

Анатомия производственных функций типа Кобба-Дугласа в 3D
Анализ функции Кобба-Дугласа как функции полезности. Архивировано 03.10.2014 на Wayback Machine.
Закрытое решение для фирмы с N-факторной производственной функцией