Склон

Математический термин

Склон: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$

В математике наклон или градиент линии — это число, которое описывает как направление , так и крутизну линии . ^[1] Уклон часто обозначается буквой m ; нет четкого ответа на вопрос, почему буква m используется для обозначения уклона, но самое раннее ее использование в английском языке встречается у О'Брайена (1844) ^[2] , который записал уравнение прямой линии как « y = mx + b ». и его также можно найти у Тодхантера (1888) ^[3] , который написал его как « y = mx + c ». ^[4]

Наклон рассчитывается путем нахождения отношения «вертикального изменения» к «горизонтальному изменению» между (любыми) двумя различными точками на линии. Иногда соотношение выражается как частное («рост к разбегу»), что дает одно и то же число для каждых двух различных точек на одной линии. Убывающая линия имеет отрицательный «подъем». Линия может быть практичной — заданной геодезистом или на диаграмме , моделирующей дорогу или крышу, либо в виде описания, либо в виде плана.

Крутизна , уклон или уклон линии измеряется абсолютным значением уклона. Наклон с большим абсолютным значением указывает на более крутую линию. Направление линии может быть возрастающим, убывающим, горизонтальным или вертикальным .

• Линия увеличивается , если она идет вверх слева направо. Наклон положителен , т.е. ${\displaystyle m>0}$
• Линия убывает , если она идет вниз слева направо. Наклон отрицательный , т.е. ${\displaystyle m<0}$
• Если линия горизонтальна, наклон равен нулю . Это постоянная функция .
• Если линия вертикальна, наклон не определен (см. ниже).

Подъем дороги между двумя точками — это разница между высотой дороги в этих двух точках, скажем, y ₁ и y ₂ , или, другими словами, подъем равен ( y ₂ − y ₁ ) = Δ y . Для относительно небольших расстояний, где кривизной Земли можно пренебречь, пробегом называется разница расстояний от фиксированной точки, измеренная по уровню, горизонтальной линии, или, другими словами, пробег равен ( x ₂ − x ₁ ) = Δ x . Здесь наклон дороги между двумя точками просто описывается как отношение изменения высоты к горизонтальному расстоянию между любыми двумя точками на линии.

На математическом языке наклон m линии равен

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Понятие уклона применимо непосредственно к уклонам или уклонам в географии и гражданском строительстве . С помощью тригонометрии наклон m линии связан с ее углом наклона θ с помощью касательной функции.

${\displaystyle m=\tan(\theta )}$

Таким образом, восходящая линия под углом 45° имеет наклон +1, а нисходящая линия под углом 45° имеет наклон -1.

В качестве обобщения этого практического описания математика дифференциального исчисления определяет наклон кривой в точке как наклон касательной в этой точке. Когда кривая задана серией точек на диаграмме или в списке координат точек, наклон может быть рассчитан не в точке, а между любыми двумя заданными точками. Когда кривая задана как непрерывная функция , например, как алгебраическое выражение , тогда дифференциальное исчисление предоставляет правила, дающие формулу для наклона кривой в любой точке в середине кривой.

Такое обобщение концепции уклона позволяет планировать и строить очень сложные конструкции, которые выходят далеко за рамки статических структур, которые являются либо горизонтальными, либо вертикальными, но могут изменяться во времени, двигаться по кривым и меняться в зависимости от скорости изменения других факторов. . Таким образом, простая идея наклона становится одной из основных основ современного мира как с точки зрения технологий, так и с точки зрения искусственной среды.

Определение

Наклон показан для y = (3/2) x - 1 . Нажмите, чтобы увеличить

Наклон линии в системе координат от f ( x ) = −12 x + 2 до f ( x ) = 12 x + 2

Наклон линии в плоскости, содержащей оси x и y , обычно обозначается буквой m ^[5] и определяется как изменение координаты y , деленное на соответствующее изменение координаты x , между двумя различными точками на линия. Это описывается следующим уравнением:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertical}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.}$

(Греческая буква дельта , Δ, обычно используется в математике для обозначения «разницы» или «изменения».)

Учитывая две точки и , изменение от одной к другой равно ( бежать ), а изменение равно ( подъему ). Подстановка обеих величин в приведенное выше уравнение дает формулу: ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Формула не работает для вертикальной линии, параллельной оси (см. Деление на ноль ), где наклон можно принять бесконечным , поэтому наклон вертикальной линии считается неопределенным. ${\displaystyle y}$

Примеры

Предположим, линия проходит через две точки: P  = (1, 2) и Q  = (13, 8). Разделив разницу в -координатах на разность -координат, можно получить наклон линии: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}.}$

Поскольку наклон положительный, направление линии увеличивается. Поскольку | м | < 1, уклон не очень крутой (уклон < 45°).

В качестве другого примера рассмотрим линию, проходящую через точки (4, 15) и (3, 21). Тогда наклон линии равен

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

Поскольку наклон отрицательный, направление линии уменьшается. Поскольку | м | > 1, это снижение довольно крутое (падение > 45°).

Алгебра и геометрия

Наклоны параллельных и перпендикулярных линий

• Если - линейная функция от , то коэффициент - это наклон линии, созданной путем построения графика функции. Следовательно, если уравнение линии задано в виде ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

  ${\displaystyle y=mx+b}$

  тогда это наклон. Эта форма уравнения линии называется формой пересечения наклона , поскольку ее можно интерпретировать как точку пересечения оси Y , то есть -координату, в которой линия пересекает ось -. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$
• Если известны наклон линии и точки на линии, то уравнение линии можно найти с помощью формулы наклона точки : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

  ${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}).}$

• Наклон линии, определяемый линейным уравнением
  ${\displaystyle ax+by+c=0}$
  является

  ${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$.

• Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не являются одной и той же линией (совпадают) и либо их наклоны равны, либо они обе вертикальны и, следовательно, обе имеют неопределенный наклон. Две линии перпендикулярны, если произведение их наклонов равно -1 или одна имеет наклон 0 (горизонтальная линия), а другая имеет неопределенный наклон (вертикальная линия).
• Угол θ между −90 ° и 90 °, который линия образует с осью x , связан с наклоном m следующим образом:
  ${\displaystyle m=\tan(\theta )}$
  и

  ${\displaystyle \theta =\arctan(m)}$   (это обратная функция тангенса; см. обратные тригонометрические функции ).

Примеры

Например, рассмотрим линию, проходящую через точки (2,8) и (3,20). Эта линия имеет наклон m , равный

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}=12.}$

Затем можно написать уравнение линии в форме наклона точки:

${\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24.}$

или:

${\displaystyle y=12x-16.}$

Угол θ между −90 ° и 90 °, который эта линия образует с осью x , равен

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.}$

Рассмотрим две строки: y = −3 x + 1 и y = −3 x − 2 . Обе линии имеют наклон m = −3 . Это не одна и та же линия. Итак, это параллельные прямые.

Рассмотрим две линии y = −3 x + 1 и y =Икс/3− 2 . Наклон первой линии равен m ₁ = −3 . Уклон второй линии составляет м ₂ =1/3. Произведение этих двух наклонов равно -1. Итак, эти две прямые перпендикулярны.

Статистика

В статистике градиент наиболее подходящей линии регрессии наименьших квадратов для данной выборки данных может быть записан как:

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$,

Эта величина m называется наклоном регрессии для линии . Величина представляет собой коэффициент корреляции Пирсона , стандартное отклонение значений y и стандартное отклонение значений x. Это также можно записать как отношение ковариаций : [ ^6] ${\displaystyle y=mx+c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s_{y}}$ ${\displaystyle s_{x}}$

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}$

Уклон дороги или железной дороги

Есть два распространенных способа описания крутизны автомобильной или железной дороги . Один — это угол от 0° до 90° (в градусах), а другой — наклон в процентах. См. также железную дорогу с крутым уклоном и зубчатую железную дорогу .

Формулы для преобразования уклона, заданного в процентах, в угол в градусах и наоборот:

${\displaystyle {\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)}$(это обратная функция тангенса; см. тригонометрия )

и

${\displaystyle {\mbox{slope}}=100\%\times \tan({\mbox{angle}}),}$

где угол измеряется в градусах, а тригонометрические функции действуют в градусах. Например, уклон 100 % или 1000 ‰ соответствует углу 45°.

Третий способ — придать одной единице подъема, скажем, 10, 20, 50 или 100 горизонтальных единиц, например 1:10. 1:20, 1:50 или 1:100 (или «1 из 10», «1 из 20» и т. д.) 1:10 круче, чем 1:20. Например, крутизна 20% означает 1:5 или уклон с углом 11,3°.

Автомобильные и железные дороги имеют как продольные, так и поперечные уклоны.

• 
  Предупреждающий знак уклона в Нидерландах
• 
  Предупреждающий знак уклона в Польше
• 
  Участок железной дороги длиной 1371 метр с уклоном 20 ‰ . Чешская Республика
• 
  Градиентный столб железной дороги эпохи пара, указывающий уклон в обоих направлениях на железнодорожной станции Меолс , Соединенное Королевство.

Исчисление

В каждой точке производная представляет собой наклон линии , касательной к кривой в этой точке. Примечание. Производная в точке A положительна , если она зеленая и штрихпунктирная, отрицательна , если красная и пунктирная, и равна нулю, если черная и сплошная.

Понятие наклона является центральным в дифференциальном исчислении . Для нелинейных функций скорость изменения варьируется вдоль кривой. Производная функции в точке представляет собой наклон линии , касательной к кривой в этой точке, и, таким образом, равна скорости изменения функции в этой точке.

Если мы позволим Δ x и Δ y быть расстояниями (вдоль осей x и y соответственно) между двумя точками на кривой, то наклон, заданный приведенным выше определением,

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$,

- наклон секущей линии к кривой. Для линии секущей между любыми двумя точками является сама линия, но это не относится к любому другому типу кривой.

Например, наклон секущей, пересекающей y = x ² в (0,0) и (3,9), равен 3. (Наклон касательной в точке x = 3 ⁄ 2 также равен 3 —  следствие среднего значения теорема .)

При перемещении двух точек ближе друг к другу так, чтобы Δy и Δx уменьшались , секущая линия более точно приближается к касательной к кривой, и, таким образом, наклон секущей приближается к наклону касательной. Используя дифференциальное исчисление , мы можем определить предел или значение, к которому приближается Δy / Δx , когда Δy и Δx приближаются к нулю ; отсюда следует, что этот предел представляет собой точный наклон касательной. Если y зависит от x , то достаточно взять предел, при котором только Δ x стремится к нулю. Следовательно, наклон касательной является пределом Δ y /Δ x , когда Δ x приближается к нулю, или d y /d x . Мы называем этот предел производной .

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Значение производной в определенной точке функции дает нам наклон касательной в этом точном месте. Например, пусть y = x ² . Точка этой функции равна (−2,4). Производная этой функции равна d y ⁄ d x знак равно 2 x . Таким образом, наклон линии, касательной к y в точке (−2,4), равен 2 ⋅ (−2) = −4 . Уравнение этой касательной линии: y − 4 = (−4)( x − (−2)) или y = −4 x − 4 .

Разница склонов

Иллюзия парадокса площади развеивается сравнением склонов, где встречаются синие и красные треугольники.

Расширение идеи угла следует из разницы наклонов. Рассмотрим отображение сдвига

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Затем отображается в . Наклон равен нулю, а наклон равен . Картирование сдвига добавило наклон . Для двух точек с наклонами и изображение ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (1,v)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (1,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \{(1,y):y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

имеет наклон, увеличенный на , но разница наклонов одинакова до и после сдвига. Эта инвариантность разностей наклонов делает наклон угловой инвариантной мерой наравне с круговым углом (инвариантным относительно вращения) и гиперболическим углом с группой инвариантности отображений сжатия . ^{[7] [8]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n-m}$

Другое использование

Понятие наклона или градиента также используется как основа для разработки других приложений в математике:

• Градиентный спуск — алгоритм итеративной оптимизации первого порядка для поиска минимума функции.
• Теорема о градиенте , теорема о том, что линейный интеграл через поле градиента можно вычислить путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой.
• Градиентный метод — алгоритм решения задач с направлениями поиска, определяемыми градиентом функции в текущей точке.
• Метод сопряженных градиентов — алгоритм численного решения частных систем линейных уравнений.
• Нелинейный метод сопряженных градиентов , обобщает метод сопряженных градиентов для нелинейной оптимизации.
• Стохастический градиентный спуск , итерационный метод оптимизации дифференцируемой целевой функции

Смотрите также

• Евклидово расстояние
• Оценка
• Наклонная плоскость
• Линейная функция
• Линия наибольшего уклона
• Медиантный
• Определения уклона
• Оценщик Тейла – Сена , линия со средним наклоном среди набора точек выборки.

Рекомендации

1. Клэпхэм, К.; Николсон, Дж. (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, градиент» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 348. Архивировано из оригинала (PDF) 29 октября 2013 года . Проверено 1 сентября 2013 г.
2. О'Брайен, М. (1844), Трактат о плоской координатной геометрии или применении метода координат при решении задач плоской геометрии , Кембридж, Англия: Дейтонс
3. Тодхантер, И. (1888), Трактат о плоской координатной геометрии применительно к прямым и коническим сечениям , Лондон: Macmillan
4. Вайсштейн, Эрик В. «Склон». MathWorld — веб-ресурс Wolfram. Архивировано из оригинала 6 декабря 2016 года . Проверено 30 октября 2016 г.
5. Ранний пример этого соглашения можно найти у Салмона, Джорджа (1850 г.). Трактат о конических сечениях (2-е изд.). Дублин: Ходжес и Смит. стр. 14–15.
6. Дополнительные разделы математики 3 и 4 VCE (пересмотренный) . Кембриджская старшая математика. 2016. ISBN 9781316616222– через Физическую копию.
7. Болт, Майкл; Фердинандс, Тимоти; Кавли, Лэндон (2009). «Наиболее общие плоские преобразования, отображающие параболы в параболы». Включите: Математический журнал . 2 (1): 79–88. дои : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN  1944-4176.
8. Абстрактная алгебра/Сдвиг и наклон в Wikibooks

Внешние ссылки

• «Наклон линии (координатная геометрия)». Открытый справочник по математике. 2009 . Проверено 30 октября 2016 г.интерактивный