Простая алгебра Ли

В алгебре простая алгебра Ли — это алгебра Ли , которая не является абелевой и не содержит ненулевых собственных идеалов . Классификация действительных простых алгебр Ли является одним из главных достижений Вильгельма Киллинга и Эли Картана .

Прямая сумма простых алгебр Ли называется полупростой алгеброй Ли .

Простая группа Ли — это связная группа Ли, алгебра Ли которой проста.

Комплексные простые алгебры Ли

Конечномерная простая комплексная алгебра Ли изоморфна одной из следующих: , , ( классическим алгебрам Ли ) или одной из пяти исключительных алгебр Ли . ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

Для каждой конечномерной комплексной полупростой алгебры Ли существует соответствующая диаграмма (называемая диаграммой Дынкина ), где узлы обозначают простые корни, узлы соединены (или не соединены) несколькими линиями в зависимости от углов между простыми корнями, а стрелки указывают, являются ли корни длиннее или короче. ^[2] Диаграмма Дынкина связна тогда и только тогда, когда является простой. Все возможные связные диаграммы Дынкина следующие: ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

где n — число узлов (простых корней). Соответствие диаграмм и комплексных простых алгебр Ли следующее: ^[2]

(А _н ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C} }$

(Б _н ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C} }$

(С _н ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

(Д _н ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C} }$

Остальные — исключительные алгебры Ли .

Действительные простые алгебры Ли

Если — конечномерная действительная простая алгебра Ли, то ее комплексификация либо (1) проста, либо (2) является произведением простой комплексной алгебры Ли и ее сопряженной . Например, комплексификация рассматриваемой как действительная алгебра Ли имеет вид . Таким образом, действительная простая алгебра Ли может быть классифицирована с помощью классификации комплексных простых алгебр Ли и некоторой дополнительной информации. Это можно сделать с помощью диаграмм Сатаке , которые обобщают диаграммы Дынкина . См. также Таблицу групп Ли#Реальные алгебры Ли для получения частичного списка действительных простых алгебр Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}}$

Примечания

1. Фултон и Харрис 1991, Теорема 9.26.
2. Fulton & Harris 1991, § 21.1.
3. Фултон и Харрис 1991, § 21.2.

Смотрите также

• Простая группа Ли
• самолет Фогеля

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Якобсон, Натан, Алгебры Ли , Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN 0-486-63832-4 ; ​​Глава X рассматривает классификацию простых алгебр Ли над полем нулевой характеристики. 

• «Алгебра Ли, полупростая», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Простая алгебра Ли в n Lab