Аналитическое пространство — это обобщение аналитического многообразия , допускающее сингулярности . Аналитическое пространство — это пространство, локально совпадающее с аналитическим многообразием . Они играют важную роль в изучении нескольких комплексных переменных , но также появляются и в других контекстах.
Зафиксируем поле k с оценкой. Предположим, что поле является полным и недискретным относительно этой оценки. Например, сюда входят R и C относительно их обычных абсолютных значений, а также поля рядов Пюизё относительно их натуральных оценок.
Пусть U — открытое подмножество k n , и пусть f 1 , ..., f k — набор аналитических функций на U . Обозначим через Z общее множество точек схода f 1 , ..., f k , то есть пусть Z = { x | f 1 ( x ) = ... = f k ( x ) = 0 }. Z — аналитическое многообразие.
Предположим, что структурный пучок U — это . Тогда Z имеет структурный пучок , где — идеал, порожденный f 1 , ..., f k . Другими словами, структурный пучок Z состоит из всех функций на U по модулю возможных способов, которыми они могут отличаться вне Z .
Аналитическое пространство — это локально окольцованное пространство, такое что вокруг каждой точки x из X существует открытая окрестность U, которая изоморфна (как локально окольцованные пространства) аналитическому многообразию с его структурным пучком. Такой изоморфизм называется локальной моделью для X в точке x .
Аналитическое отображение или морфизм аналитических пространств является морфизмом локально окольцованных пространств.
Это определение похоже на определение схемы . Единственное отличие состоит в том, что для схемы локальные модели являются спектрами колец , тогда как для аналитического пространства локальные модели являются аналитическими многообразиями. Из-за этого основные теории аналитических пространств и схем очень похожи. Более того, аналитические многообразия ведут себя гораздо проще, чем произвольные коммутативные кольца (например, аналитические многообразия определяются над полями и всегда конечномерны), поэтому аналитические пространства ведут себя очень похоже на схемы конечного типа над полем.
Каждая точка аналитического пространства имеет локальную размерность. Размерность в точке x находится путем выбора локальной модели в точке x и определения локальной размерности аналитического многообразия в точке, соответствующей x .
Каждая точка аналитического пространства имеет касательное пространство . Если x — точка X , а m x — идеальный пучок всех функций, обращающихся в нуль в точке x , то кокасательное пространство в точке x равно m x / m x 2. Касательное пространство равно ( m x / m x 2 ) * , двойственному векторному пространству к кокасательному пространству. Аналитические отображения индуцируют отображения прямого проталкивания на касательных пространствах и отображения обратного проталкивания на кокасательных пространствах.
Размерность касательного пространства в точке x называется размерностью вложения в точке x . Рассматривая локальную модель, легко увидеть, что размерность всегда меньше или равна размерности вложения.
Аналитическое пространство называется гладким в точке x, если оно имеет локальную модель в точке x , которая является открытым подмножеством k n для некоторого n . Аналитическое пространство называется гладким, если оно гладко в каждой точке, и в этом случае оно является аналитическим многообразием . Подмножество точек, в которых аналитическое пространство не является гладким, является замкнутым аналитическим подмножеством.
Аналитическое пространство является редуцированным, если каждая локальная модель для этого пространства определяется радикальным пучком идеалов. Аналитическое пространство X , которое не является редуцированным, имеет редукцию X red , редуцированное аналитическое пространство с тем же самым базовым топологическим пространством. Существует канонический морфизм r : X red → X . Каждый морфизм из X в редуцированное аналитическое пространство факторизуется через r .
Аналитическое пространство нормально , если каждый стебель структурного пучка является нормальным кольцом (то есть целозамкнутой областью целостности). В нормальном аналитическом пространстве сингулярное локус имеет коразмерность не менее двух. Когда X является локальным полным пересечением в точке x , то X нормально в точке x .
Ненормальные аналитические пространства могут быть сглажены до нормальных пространств каноническим способом. Эта конструкция называется нормализацией . Нормализация N ( X ) аналитического пространства X поставляется с каноническим отображением ν : N ( X ) → X . Каждый доминантный морфизм из нормального аналитического пространства в X факторизуется через ν.
Аналитическое пространство когерентно, если его структурный пучок является когерентным пучком . Когерентный пучок -модулей называется когерентным аналитическим пучком . Например, на когерентном пространстве локально свободные пучки и пучки идеалов являются когерентными аналитическими пучками.
Аналитические пространства над алгебраически замкнутыми полями когерентны. В комплексном случае это известно как теорема когерентности Ока . Это неверно для неалгебраически замкнутых полей; существуют примеры реальных аналитических пространств, которые не когерентны.
В некоторых ситуациях концепция аналитического пространства слишком ограничительна. Часто это происходит из-за того, что основное поле имеет дополнительную структуру, которая не охватывается аналитическими множествами. В таких ситуациях существуют обобщения аналитических пространств, которые допускают большую гибкость в локальных модельных пространствах.
Например, над действительными числами рассмотрим окружность x 2 + y 2 = 1 . Окружность является аналитическим подмножеством аналитического пространства R 2 . Но ее проекция на ось x представляет собой замкнутый интервал [−1, 1] , который не является аналитическим множеством. Поэтому изображение аналитического множества при аналитическом отображении не обязательно является аналитическим множеством. Этого можно избежать, работая с субаналитическими множествами , которые гораздо менее жесткие, чем аналитические множества, но которые не определены над произвольными полями. Соответствующее обобщение аналитического пространства является субаналитическим пространством. (Однако при мягких гипотезах топологии точечных множеств оказывается, что субаналитические пространства по сути эквивалентны субаналитическим множествам.)
