Фок-пространство

Многочастичное пространство состояний

Пространство Фока — алгебраическая конструкция, используемая в квантовой механике для построения пространства квантовых состояний переменного или неизвестного числа идентичных частиц из одночастичного гильбертова пространства H. Оно названо в честь В. А. Фока , который впервые ввел его в своей статье 1932 года «Konfigurationsraum und zweite Quantelung» (« Конфигурационное пространство и вторичное квантование »). ^{[1] [2]}

Неформально, пространство Фока является суммой набора гильбертовых пространств, представляющих состояния нулевой частицы, состояния одной частицы, состояния двух частиц и т. д. Если идентичные частицы являются бозонами , состояния n частиц являются векторами в симметризованном тензорном произведении n одночастичных гильбертовых пространств H. Если идентичные частицы являются фермионами , состояния n частиц являются векторами в антисимметризованном тензорном произведении n одночастичных гильбертовых пространств H (см. симметричную алгебру и внешнюю алгебру соответственно). Общее состояние в пространстве Фока является линейной комбинацией состояний n частиц, по одному для каждого n .

Технически, пространство Фока ( дополнение пространства Гильберта ) представляет собой прямую сумму симметричных или антисимметричных тензоров в тензорных степенях одночастичного пространства Гильберта H , $${\displaystyle F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.}$$

Здесь оператор , который симметризует или антисимметризует тензор , в зависимости от того, описывает ли гильбертово пространство частицы, подчиняющиеся бозонной или фермионной статистике, а верхняя черта представляет собой пополнение пространства. Бозонное (соответственно фермионное) пространство Фока может быть альтернативно построено как (пополнение гильбертова пространства) симметричных тензоров (соответственно чередующихся тензоров ). Для каждого базиса для H существует естественный базис пространства Фока, состояния Фока . ${\displaystyle S_{\nu }}$ ${\displaystyle (\nu =+)}$ ${\displaystyle (\nu =-)}$ ${\displaystyle F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}}$ ${\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$

Определение

Пространство Фока представляет собой (гильбертову) прямую сумму тензорных произведений копий одночастичного гильбертова пространства ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots }$$

Здесь комплексные скаляры состоят из состояний, не соответствующих ни одной частице, состояний одной частицы, состояний двух одинаковых частиц и т. д. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S_{\nu }(H\otimes H)}$

Общее состояние в задается выражением ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$где

• ${\displaystyle |0\rangle }$— вектор длины 1, называемый вакуумным состоянием, и представляет собой комплексный коэффициент, ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \in H}$— это состояние в одночастичном гильбертовом пространстве и является комплексным коэффициентом, ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$
• ${\textstyle |\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }=a_{ij}|\psi _{i}\rangle \otimes |\psi _{j}\rangle +a_{ji}|\psi _{j}\rangle \otimes |\psi _{i}\rangle \in S_{\nu }(H\otimes H)}$, а — комплексный коэффициент и т. д. ${\displaystyle a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C} }$

Сходимость этой бесконечной суммы важна, если должно быть гильбертовым пространством. Технически мы требуем, чтобы было гильбертовым пополнением алгебраической прямой суммы. Оно состоит из всех бесконечных кортежей, таких, что норма , определяемая скалярным произведением, конечна , где норма частицы определяется т . е. ограничением нормы на тензорное произведение ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )}$ $${\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty }$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n},j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle }$$ ${\displaystyle H^{\otimes n}}$

Для двух общих состояний и скалярное произведение на тогда определяется как где мы используем скалярные произведения на каждом из -частичных гильбертовых пространств. Обратите внимание, что, в частности, подпространства частиц ортогональны для разных . $${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots ,}$$ $${\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =b|0\rangle \oplus \sum _{i}b_{i}|\phi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{i},\phi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$ ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ $${\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a^{*}b+\sum _{ij}a_{i}^{*}b_{j}\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle \langle \psi _{j}|\phi _{l}\rangle _{\nu }+\cdots }$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Состояния продуктов, неразличимые частицы и полезная основа для пространства Фока

Состояние продукта пространства Фока — это состояние вида

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle \otimes |\phi _{2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi _{n}\rangle }$$

которая описывает набор частиц, одна из которых имеет квантовое состояние , другая и так далее до th частицы, где каждая является любым состоянием из одночастичного гильбертова пространства . Здесь сопоставление (запись одночастичных кетов бок о бок, без ) является симметричным (соответственно, антисимметричным) умножением в симметричной (антисимметричной) тензорной алгебре . Общее состояние в пространстве Фока является линейной комбинацией состояний-произведений. Состояние, которое не может быть записано как выпуклая сумма состояний-произведений, называется запутанным состоянием . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \otimes }$

Когда мы говорим об одной частице в состоянии ${\displaystyle \phi _{i}}$ , мы должны иметь в виду, что в квантовой механике идентичные частицы неразличимы . В одном и том же пространстве Фока все частицы идентичны. (Чтобы описать множество видов частиц, мы берем тензорное произведение стольких различных пространств Фока, сколько видов рассматриваемых частиц). Одной из самых мощных особенностей этого формализма является то, что состояния неявно правильно симметризованы. Например, если указанное выше состояние является фермионным, оно будет равно 0, если два (или более) из равны, поскольку антисимметричное (внешнее) произведение . Это математическая формулировка принципа исключения Паули , согласно которому никакие два (или более) фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Фактически, всякий раз, когда члены в формальном произведении линейно зависимы; произведение будет равно нулю для антисимметричных тензоров. Кроме того, произведение ортонормированных состояний является правильно ортонормированным по построению (хотя, возможно, 0 в случае Ферми, когда два состояния равны). ${\displaystyle |\Psi \rangle _{-}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0}$

Полезным и удобным базисом для пространства Фока является базис числа занятости . При наличии базиса мы можем обозначить состояние с частицами в состоянии , частицами в состоянии , ..., частицами в состоянии и без частиц в остальных состояниях, определив ${\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$

$${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},}$$

где каждый принимает значение 0 или 1 для фермионных частиц и 0, 1, 2, ... для бозонных частиц. Обратите внимание, что конечные нули могут быть опущены без изменения состояния. Такое состояние называется состоянием Фока . Когда понимаются как стационарные состояния свободного поля, состояния Фока описывают совокупность невзаимодействующих частиц в определенных количествах. Наиболее общее состояние Фока представляет собой линейную суперпозицию чистых состояний. ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Два оператора большой важности — это операторы создания и уничтожения , которые при воздействии на фоковское состояние добавляют или соответственно удаляют частицу в приписанном квантовом состоянии. Они обозначаются для создания и для уничтожения соответственно. Чтобы создать («добавить») частицу, квантовое состояние симметрично или внешне умножается на ; и соответственно, чтобы уничтожить («удалить») частицу, берется (четное или нечетное) внутреннее произведение с , которое является сопряженным к . Часто удобно работать с состояниями базиса , так что эти операторы удаляют и добавляют ровно одну частицу в заданном базисном состоянии. Эти операторы также служат генераторами для более общих операторов, действующих на фоковском пространстве, например, оператор числа, дающий число частиц в определенном состоянии, равен . ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$ ${\displaystyle a(\phi )}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$

Интерпретация волновой функции

Часто одночастичное пространство задается как , пространство квадратично-интегрируемых функций на пространстве с мерой (строго говоря, классы эквивалентности квадратично-интегрируемых функций, где функции эквивалентны, если они различаются на множестве меры нуль ). Типичным примером является свободная частица с пространством квадратично-интегрируемых функций на трехмерном пространстве. Пространства Фока тогда имеют естественную интерпретацию как симметричные или антисимметричные квадратично-интегрируемые функции следующим образом. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)}$

Пусть и , , , и т.д. Рассмотрим пространство кортежей точек, которое является дизъюнктным объединением ${\displaystyle X^{0}=\{*\}}$ ${\displaystyle X^{1}=X}$ ${\displaystyle X^{2}=X\times X}$ ${\displaystyle X^{3}=X\times X\times X}$

$${\displaystyle X^{*}=X^{0}\bigsqcup X^{1}\bigsqcup X^{2}\bigsqcup X^{3}\bigsqcup \cdots .}$$

Он имеет естественную меру такую, что и ограничение на равно . Четное пространство Фока тогда можно отождествить с пространством симметричных функций в , тогда как нечетное пространство Фока можно отождествить с пространством антисимметричных функций. Отождествление следует непосредственно из изометрического отображения . ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}(X^{0})=1}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle \mu ^{n}}$ ${\displaystyle F_{+}(L_{2}(X,\mu ))}$ ${\displaystyle L_{2}(X^{*},\mu ^{*})}$ ${\displaystyle F_{-}(L_{2}(X,\mu ))}$ $${\displaystyle L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})}$$ $${\displaystyle \psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})}$$

При заданных волновых функциях определитель Слейтера ${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)}$

$${\displaystyle \Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(x_{1})&\cdots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\cdots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{vmatrix}}}$$является антисимметричной функцией на . Таким образом, ее можно естественным образом интерпретировать как элемент -частичного сектора нечетного пространства Фока. Нормализация выбирается таким образом, что если функции ортонормальны. Существует аналогичный "перманент Слейтера" с заменой детерминанта на перманент , который дает элементы -сектора четного пространства Фока. ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \|\Psi \|=1}$ ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}$ ${\displaystyle n}$

Связь с пространством Сигала–Баргмана

Определим пространство Сигала–Баргмана ^[3] комплексных голоморфных функций, квадратично интегрируемых относительно гауссовой меры : ${\displaystyle B_{N}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}\left(\mathbb {C} ^{N}\right)=\left\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \right\},}$$где Затем, определяя пространство как вложенное объединение пространств над целыми числами , Сигал ^[4] и Баргманн показали ^{[5] [6],} что оно изоморфно бозонному фоковскому пространству. Моном соответствует фоковскому состоянию $${\displaystyle \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{N}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} .}$$ ${\displaystyle B_{\infty }}$ ${\displaystyle B_{N}}$ ${\displaystyle N\geq 0}$ ${\displaystyle B_{\infty }}$ $${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}}$$ $${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.}$$

Смотрите также

• Состояние Фока
• Тензорная алгебра
• Голоморфное пространство Фока
• Операторы создания и уничтожения
• определитель Слейтера
• Теорема Вика
• Некоммутативная геометрия
• Большой канонический ансамбль , распределение тепла по пространству Фока
• функционал Шредингера

Ссылки

1. Фок, В. (1932). «Konfigurationsraum und zweite Quantelung». Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 75 (9–10). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 622–647. Бибкод : 1932ZPhy...75..622F. дои : 10.1007/bf01344458. ISSN  1434-6001. S2CID  186238995.
2. М. К. Рид , Б. Саймон , «Методы современной математической физики, том II», Academic Press, 1975. Страница 328.
3. Баргманн, В. (1961). «О гильбертовом пространстве аналитических функций и связанном интегральном преобразовании I». Сообщения по чистой и прикладной математике . 14 : 187–214. doi :10.1002/cpa.3160140303. hdl : 10338.dmlcz/143587 .
4. Segal, IE (1963). "Математические проблемы релятивистской физики". Труды летнего семинара, Боулдер, Колорадо, 1960, т. II . Гл. VI.
5. Bargmann, V (1962). «Замечания о гильбертовом пространстве аналитических функций». Proc. Natl. Acad. Sci . 48 (2): 199–204. Bibcode :1962PNAS...48..199B. doi : 10.1073/pnas.48.2.199 . PMC 220756 . PMID  16590920. 
6. Стохель, Ежи Б. (1997). «Представление обобщенных операторов уничтожения и рождения в пространстве Фока» (PDF) . Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica . 34 : 135–148 . Получено 13 декабря 2012 г. .

Внешние ссылки

• Диаграммы Фейнмана и произведения Вика, связанные с пространством q-Фока — некоммутативный анализ, Эдвард Г. Эффрос и Михай Попа, математический факультет Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе
• Р. Герох, Математическая физика, Издательство Чикагского университета, Глава 21.