Точечный процесс

Случайный набор точек на пространстве со случайным числом и случайным положением.

В статистике и теории вероятностей точечный процесс или точечное поле — это набор случайного числа математических точек, случайно расположенных на математическом пространстве, таком как вещественная прямая или евклидово пространство . ^{[1] [2]}

Точечные процессы на действительной прямой образуют важный особый случай, который особенно поддается изучению, ^[3] , поскольку точки упорядочены естественным образом, и весь точечный процесс может быть полностью описан (случайными) интервалами между точками. Эти точечные процессы часто используются в качестве моделей для случайных событий во времени, таких как прибытие клиентов в очередь ( теория очередей ), импульсов в нейроне ( вычислительная нейронаука ), частиц в счетчике Гейгера , местоположение радиостанций в телекоммуникационной сети ^[4] или поисков во всемирной паутине .

Общие точечные процессы в евклидовом пространстве могут быть использованы для анализа пространственных данных , ^{[5] [6],} который представляет интерес для таких разнообразных дисциплин, как лесное хозяйство, экология растений, эпидемиология, география, сейсмология, материаловедение, астрономия, телекоммуникации, вычислительная нейронаука, ^[7] экономика ^[8] и другие.

Конвенции

Поскольку точечные процессы исторически разрабатывались разными сообществами, существуют разные математические интерпретации точечного процесса, такие как случайная счетная мера или случайное множество, ^{[9] [10]} и разные обозначения. Подробное описание обозначений приведено на странице обозначений точечных процессов .

Некоторые авторы рассматривают точечный процесс и стохастический процесс как два разных объекта, так что точечный процесс является случайным объектом, который возникает из стохастического процесса или связан с ним, ^{[11] [12]} хотя было отмечено, что разница между точечными процессами и стохастическими процессами не ясна. ^[12] Другие рассматривают точечный процесс как стохастический процесс, где процесс индексируется множествами базового пространства ^[a], на котором он определен, например, действительной линией или -мерным евклидовым пространством. ^{[15] [16]} Другие стохастические процессы, такие как процессы обновления и подсчета, изучаются в теории точечных процессов. ^{[17] [12]} Иногда термин «точечный процесс» не является предпочтительным, так как исторически слово «процесс» обозначало эволюцию некоторой системы во времени, поэтому точечный процесс также называется случайным точечным полем. ^[18] ${\displaystyle n}$

Математика

В математике точечный процесс — это случайный элемент , значения которого являются «точечными шаблонами» на множестве S. В то время как в точном математическом определении точечный шаблон определяется как локально конечная счетная мера , для более прикладных целей достаточно рассматривать точечный шаблон как счетное подмножество S , не имеющее предельных точек . ^{[ необходимо разъяснение ]}

Определение

Чтобы определить общие точечные процессы, мы начнем с вероятностного пространства и измеримого пространства, где — локально компактное второе счетное хаусдорфово пространство , а — его борелевская σ-алгебра . Рассмотрим теперь целочисленное локально конечное ядро ​​из в , то есть отображение такое, что: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$

1. Для каждого , является (целочисленной) локально конечной мерой на . ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$ ${\displaystyle S}$
2. Для каждого , является случайной величиной над . ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \to \mathbb {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$

Это ядро ​​определяет случайную меру следующим образом. Мы хотели бы думать о как об определении отображения, которое отображается в меру (а именно, ), где — множество всех локально конечных мер на . Теперь, чтобы сделать это отображение измеримым, нам нужно определить -поле над . Это -поле строится как минимальная алгебра, так что все оценочные отображения вида , где относительно компактно , измеримы. Оснащенный этим -полем, тогда — случайный элемент, где для каждого , — локально конечная мера над . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \xi _{\omega }}$ ${\displaystyle S}$

Теперь под точечным процессом на мы просто подразумеваем целочисленную случайную меру (или, что эквивалентно, целочисленное ядро), построенную, как указано выше. Наиболее распространенным примером для пространства состояний S является евклидово пространство R ⁿ или его подмножество, где особенно интересный частный случай задается вещественной полупрямой [0,∞). Однако точечные процессы не ограничиваются этими примерами и могут, помимо прочего, использоваться также, если точки сами являются компактными подмножествами R ⁿ , в этом случае ξ обычно называют процессом частиц . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \xi }$

Несмотря на название, точечный процесс , поскольку S , возможно, не является подмножеством действительной линии, так как это может означать, что ξ является стохастическим процессом .

Представление

Каждый экземпляр (или событие) точечного процесса ξ можно представить как

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

где обозначает меру Дирака , n — целочисленная случайная величина, а — случайные элементы S. Если ' почти наверняка различны (или, что эквивалентно, почти наверняка для всех ), то точечный процесс называется простым . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Другим отличным, но полезным представлением события (события в пространстве событий, т.е. серии точек) является счетная нотация, в которой каждый экземпляр представлен как функция , непрерывная функция, принимающая целые значения : ${\displaystyle N(t)}$ ${\displaystyle N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} _{0}^{+}}}$

${\displaystyle N(t_{1},t_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)\,dt}$

что является числом событий в интервале наблюдения . Иногда обозначается как , и или среднее . ${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$ ${\displaystyle N_{T}}$ ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle N_{0,T}}$

Мера ожидания

Мера ожидания Eξ (также известная как средняя мера ) точечного процесса ξ — это мера на S , которая присваивает каждому борелевскому подмножеству B множества S ожидаемое число точек ξ в B. То есть,

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{for every }}B\in {\mathcal {B}}.}$

функционал Лапласа

Функционал Лапласа точечного процесса N представляет собой отображение множества всех положительно значных функций f на пространстве состояний N , определяемое следующим образом: ${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

Они играют аналогичную роль, что и характеристические функции для случайной величины . Одна важная теорема гласит: два точечных процесса имеют один и тот же закон, если их функционалы Лапласа равны.

Измерение момента

Степень точечного процесса определяется на пространстве произведений следующим образом: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \xi ^{n},}$ ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

По теореме о монотонном классе это однозначно определяет меру произведения на Ожидание называется моментной мерой th . Первая моментная мера — это средняя мера. ${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$ ${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$ ${\displaystyle n}$

Пусть . Совместные интенсивности точечного процесса относительно меры Лебега являются функциями такими, что для любых непересекающихся ограниченных борелевских подмножеств ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

Совместные интенсивности не всегда существуют для точечных процессов. Учитывая, что моменты случайной величины определяют случайную величину во многих случаях, следует ожидать аналогичного результата для совместных интенсивностей. Действительно, это было показано во многих случаях. ^[2]

Стационарность

Точечный процесс называется стационарным , если имеет то же распределение, что и для всех Для стационарного точечного процесса средняя мера для некоторой константы и где обозначает меру Лебега. Это называется интенсивностью точечного процесса. Стационарный точечный процесс на имеет почти наверняка либо 0, либо бесконечное число точек в общей сложности. Более подробную информацию о стационарных точечных процессах и случайной мере см. в главе 12 книги Дейли и Вере-Джонса. ^[2] Стационарность была определена и изучена для точечных процессов в более общих пространствах, чем . ${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$ ${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Трансформации

Преобразование точечного процесса — это функция, которая отображает точечный процесс в другой точечный процесс.

Примеры

Мы увидим несколько примеров точечных процессов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Процесс точки Пуассона

Простейшим и наиболее распространенным примером точечного процесса является точечный процесс Пуассона , который является пространственным обобщением процесса Пуассона . Пуассоновский (счетный) процесс на прямой можно охарактеризовать двумя свойствами: число точек (или событий) в непересекающихся интервалах независимо и имеет распределение Пуассона . Точечный процесс Пуассона также можно определить с помощью этих двух свойств. А именно, мы говорим, что точечный процесс является точечным процессом Пуассона, если выполняются следующие два условия ${\displaystyle \xi }$

1) независимы для непересекающихся подмножеств ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) Для любого ограниченного подмножества имеет распределение Пуассона с параметром, где обозначает меру Лебега . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \xi (B)}$ ${\displaystyle \lambda \|B\|,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Эти два условия можно объединить и записать следующим образом: для любых непересекающихся ограниченных подмножеств и неотрицательных целых чисел имеем, что ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

Константа называется интенсивностью точечного процесса Пуассона. Обратите внимание, что точечный процесс Пуассона характеризуется одним параметром . Это простой стационарный точечный процесс. Чтобы быть более конкретным, можно назвать указанный выше точечный процесс однородным точечным процессом Пуассона. Неоднородный процесс Пуассона определяется так же, как и выше, но путем замены на , где — неотрицательная функция на ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda \|B\|}$ ${\displaystyle \int _{B}\lambda (x)\,dx}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Процесс точки Кокса

Процесс Кокса (названный в честь сэра Дэвида Кокса ) является обобщением точечного процесса Пуассона, в котором мы используем случайные меры вместо . Более формально, пусть будет случайной мерой . Точечный процесс Кокса, управляемый случайной мерой, является точечным процессом со следующими двумя свойствами: ${\displaystyle \lambda \|B\|}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \xi }$

1. При условии , что распределено ли распределение Пуассона с параметром для любого ограниченного подмножества ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \xi (B)}$ ${\displaystyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle B.}$
2. Для любого конечного набора непересекающихся подмножеств и при условии мы имеем , которые являются независимыми. ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$ ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$

Легко видеть, что точечный процесс Пуассона (однородный и неоднородный) следует как частные случаи точечных процессов Кокса. Средняя мера точечного процесса Кокса равна и, таким образом, в частном случае точечного процесса Пуассона она равна ${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

Для процесса точки Кокса называется мерой интенсивности . Далее, если имеет (случайную) плотность ( производная Радона–Никодима ) , то есть, ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

${\displaystyle \Lambda (B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\,\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

тогда называется полем интенсивности точечного процесса Кокса. Стационарность мер интенсивности или полей интенсивности подразумевает стационарность соответствующих точечных процессов Кокса. ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

Было подробно изучено множество конкретных классов процессов точки Кокса, таких как:

• Логарифмически-гауссовские точечные процессы Кокса: ^[19] для гауссовского случайного поля ${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$ ${\displaystyle X(\cdot )}$
• Дробь шума Точка Кокса процессы:, ^[20] для точки Пуассона процесса и ядра ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Обобщенный дробовой шум точечных процессов Кокса: ^[21] для точечного процесса и ядра ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Процессы точек Кокса на основе Леви: ^[22] для базиса Леви и ядра , и ${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$ ${\displaystyle L(\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Постоянные процессы точек Кокса: ^[23] для k независимых гауссовских случайных полей ${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$ ${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$
• Сигмоидальные гауссовские точечные процессы Кокса: ^[24] для гауссовского случайного поля и случайного ${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$ ${\displaystyle X(\cdot )}$ ${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

Используя неравенство Йенсена, можно проверить, что точечные процессы Кокса удовлетворяют следующему неравенству: для всех ограниченных борелевских подмножеств , ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

где обозначает точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности Таким образом, точки распределены с большей изменчивостью в точечном процессе Кокса по сравнению с точечным процессом Пуассона. Это иногда называют кластеризацией или привлекательным свойством точечного процесса Кокса. ${\displaystyle \xi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$

Детерминантные точечные процессы

Важным классом точечных процессов, имеющих приложения к физике , теории случайных матриц и комбинаторике , являются детерминантные точечные процессы . ^[25]

Процессы Хоукса (самовозбуждающиеся)

Процесс Хоукса , также известный как самовозбуждающийся процесс подсчета, представляет собой простой точечный процесс, условная интенсивность которого может быть выражена как ${\displaystyle N_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{aligned}}}$

где - функция ядра, которая выражает положительное влияние прошлых событий на текущее значение интенсивности процесса , - возможно нестационарная функция, представляющая ожидаемую, предсказуемую или детерминированную часть интенсивности, и - время наступления i -го события процесса. ^[26] ${\displaystyle \nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle \lambda (t)}$ ${\displaystyle \mu (t)}$ ${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$

Геометрические процессы

Дана последовательность неотрицательных случайных величин , если они независимы и функция распределения распределения определяется выражением для , где — положительная константа, то называется геометрическим процессом (ГП). ^[27] ${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$

Геометрический процесс имеет несколько расширений, включая процесс α-серии ^[28] и двойной геометрический процесс . ^[29]

Точечные процессы на действительной полупрямой

Исторически первые точечные процессы, которые были изучены, имели действительную полупрямую R ₊ = [0,∞) в качестве своего пространства состояний, которое в этом контексте обычно интерпретируется как время. Эти исследования были мотивированы желанием смоделировать телекоммуникационные системы, ^[30] в которых точки представляли события во времени, такие как звонки на телефонную станцию.

Точечные процессы на R ₊ обычно описываются путем задания последовательности их (случайных) времен между событиями ( T ₁ ,  T ₂ , ...), из которой фактическая последовательность ( X ₁ ,  X ₂ , ...) времен событий может быть получена как

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.}$

Если межсобытийные времена независимы и распределены одинаково, то полученный точечный процесс называется процессом восстановления .

Интенсивность точечного процесса

Интенсивность λ ( t  |  H _t ) точечного процесса на действительной полупрямой относительно фильтрации H _t определяется как

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

H _t может обозначать историю моментов времени событий, предшествующих моменту t, но может также соответствовать другим фильтрациям (например, в случае процесса Кокса).

В -нотации это можно записать в более компактной форме: ${\displaystyle N(t)}$

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).}$

Компенсатор точечного процесса, также известный как двойственно-предсказуемая проекция , представляет собой интегрированную условную функцию интенсивности, определяемую как

${\displaystyle \Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t}$

Связанные функции

Функция интенсивности Папангелу

Функция интенсивности Папангелу точечного процесса в -мерном евклидовом пространстве определяется как ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

где — шар с центром в точке радиуса , а обозначает информацию о точечном процессе снаружи . ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$

Функция правдоподобия

Логарифмическое правдоподобие параметризованного простого точечного процесса, обусловленное некоторыми наблюдаемыми данными, записывается как

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))\,ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)\,dN_{s}}$^[31]

Точечные процессы в пространственной статистике

Анализ данных точечных паттернов в компактном подмножестве S из R ⁿ является основным объектом изучения в рамках пространственной статистики . Такие данные появляются в широком спектре дисциплин, ^[32] среди которых

• лесное хозяйство и экология растений (расположение деревьев или растений в целом)
• эпидемиология (места проживания инфицированных пациентов)
• зоология (норки или гнезда животных)
• география (расположение населенных пунктов, городов)
• сейсмология (эпицентры землетрясений)
• материаловедение (расположение дефектов в промышленных материалах)
• астрономия (расположение звезд или галактик)
• вычислительная нейронаука (спайки нейронов).

Необходимость использования точечных процессов для моделирования этих типов данных заключается в их внутренней пространственной структуре. Соответственно, первым вопросом, представляющим интерес, часто является то, демонстрируют ли данные полную пространственную случайность (т. е. являются ли они реализацией пространственного процесса Пуассона ) в противоположность демонстрации либо пространственной агрегации, либо пространственного торможения.

Напротив, многие наборы данных, рассматриваемые в классической многомерной статистике, состоят из независимо сгенерированных точек данных, которые могут регулироваться одним или несколькими ковариатами (обычно непространственными).

Помимо приложений в пространственной статистике, точечные процессы являются одним из фундаментальных объектов в стохастической геометрии . Исследования также широко фокусировались на различных моделях, построенных на точечных процессах, таких как мозаики Вороного , случайные геометрические графы и булевы модели .

Смотрите также

• Эмпирическая мера
• Случайная мера
• Обозначение точечного процесса
• Точечная операция процесса
• процесс Пуассона
• Теория обновления
• Инвариантная мера
• Оператор трансфера
• оператор Купмана
• Оператор смены

Примечания

1. В контексте точечных процессов термин «пространство состояний» может означать пространство, на котором определен точечный процесс, например, действительную прямую, ^{[13] [14]} , которая соответствует набору индексов в терминологии стохастических процессов.

Ссылки

1. Калленберг, О. (1986). Случайные меры , 4-е издание. Academic Press, Нью-Йорк, Лондон; Akademie-Verlag, Берлин. ISBN  0-12-394960-2 , MR 854102.
2. Дейли, DJ, Вере-Джонс, D. (1988). Введение в теорию точечных процессов . Springer, Нью-Йорк. ISBN 0-387-96666-8 , MR 950166. 
3. Ласт, Г., Брандт, А. (1995). Отмеченные точечные процессы на действительной прямой: динамический подход. Вероятность и ее применение. Springer, Нью-Йорк. ISBN 0-387-94547-4 , MR 1353912 
4. Гилберт EN (1961). «Случайные плоские сети». Журнал Общества промышленной и прикладной математики . 9 (4): 533–543. doi :10.1137/0109045.
5. Диггл, П. (2003). Статистический анализ пространственных точечных паттернов , 2-е издание. Арнольд, Лондон. ISBN 0-340-74070-1 . 
6. Baddeley, A. (2006). Пространственные точечные процессы и их приложения. В A. Baddeley, I. Bárány, R. Schneider, и W. Weil, редакторы, Стохастическая геометрия: Лекции, прочитанные в летней школе CIME, состоявшейся в Мартина-Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г. , Lecture Notes in Mathematics 1892, Springer. ISBN 3-540-38174-0 , стр. 1–75 
7. Brown EN, Kass RE, Mitra PP (2004). «Анализ данных множественных нейронных импульсов: современное состояние и будущие проблемы». Nature Neuroscience . 7 (5): 456–461. doi :10.1038/nn1228. PMID  15114358. S2CID  562815.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Энгл Роберт Ф., Лунде Асгер (2003). «Сделки и котировки: двумерный точечный процесс» (PDF) . Журнал финансовой эконометрики . 1 (2): 159–188. doi : 10.1093/jjfinec/nbg011 .
9. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Вилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. John Wiley & Sons. стр. 108. ISBN 978-1-118-65825-3.
10. Мартин Хенгги (2013). Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Cambridge University Press. стр. 10. ISBN 978-1-107-01469-5.
11. DJ Daley; D. Vere-Jones (10 апреля 2006 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. стр. 194. ISBN 978-0-387-21564-8.
12. Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Точечные процессы . CRC Press. стр. 3. ISBN 978-0-412-21910-8.
13. JFC Kingman (17 декабря 1992 г.). Пуассоновские процессы. Clarendon Press. стр. 8. ISBN 978-0-19-159124-2.
14. Джеспер Моллер; Расмус Пленге Ваагепетерсен (25 сентября 2003 г.). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. ЦРК Пресс. п. 7. ISBN 978-0-203-49693-0.
15. Сэмюэл Карлин; Говард Э. Тейлор (2 декабря 2012 г.). Первый курс по стохастическим процессам. Academic Press. стр. 31. ISBN 978-0-08-057041-9.
16. Фолькер Шмидт (24 октября 2014 г.). Стохастическая геометрия, пространственная статистика и случайные поля: модели и алгоритмы. Springer. стр. 99. ISBN 978-3-319-10064-7.
17. DJ Daley; D. Vere-Jones (10 апреля 2006 г.). Введение в теорию точечных процессов: Том I: Элементарная теория и методы. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21564-8.
18. Сунг Нок Чиу; Дитрих Стоян; Вилфрид С. Кендалл; Джозеф Мекке (27 июня 2013 г.). Стохастическая геометрия и ее приложения. John Wiley & Sons. стр. 109. ISBN 978-1-118-65825-3.
19. Moller, J.; Syversveen, AR; Waagepetersen, RP (1998). "Лог-гауссовские процессы Кокса". Scandinavian Journal of Statistics . 25 (3): 451. CiteSeerX 10.1.1.71.6732 . doi :10.1111/1467-9469.00115. S2CID  120543073. 
20. Моллер, Дж. (2003) Дробовой шум. Процессы Кокса, Adv . Appl. Prob. , 35. ^{[ нужна страница ]}
21. Моллер, Дж. и Торриси, Г.Л. (2005) «Обобщенные процессы дробового шума Кокса», Adv. Appl. Prob. , 37 .
22. Хеллмунд, Г., Прокесова, М. и Ведель Йенсен, Э.Б. (2008) «Процессы точки Кокса на основе Леви», Adv. Appl. Prob. , 40. ^{[ нужная страница ]}
23. Маккаллах, П. и Моллер, Дж. (2006) «Постоянные процессы», Adv . Appl. Prob. , 38. ^{[ нужна страница ]}
24. Адамс, RP, Мюррей, I. Маккей, DJC (2009) «Удобный вывод в пуассоновских процессах с гауссовыми интенсивностями процессов», Труды 26-й Международной конференции по машинному обучению doi :10.1145/1553374.1553376
25. Хаф, Дж. Б., Кришнапур, М., Перес, Й. и Вираг, Б., Нули гауссовых аналитических функций и детерминантные точечные процессы. University Lecture Series, 51. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2009.
26. Патрик Дж. Лауб, Янг Ли, Томас Теймре, Элементы процессов Хоукса , Springer, 2022.
27. Лин, Йе (Лам Йе) (1988). «Геометрические процессы и проблема замены». Acta Mathematicae Applicatae Sinica . 4 (4): 366–377. дои : 10.1007/BF02007241. S2CID  123338120.
28. Браун, В. Джон; Ли, Вэй; Чжао, Ицян Ц. (2005). «Свойства геометрических и связанных с ними процессов». Naval Research Logistics . 52 (7): 607–616. CiteSeerX 10.1.1.113.9550 . doi :10.1002/nav.20099. S2CID  7745023. 
29. Wu, Shaomin (2018). «Двойные геометрические процессы и приложения» (PDF) . Журнал Общества операционных исследований . 69 : 66–77. doi :10.1057/s41274-017-0217-4. S2CID  51889022.
30. Палм, К. (1943). Intensitätsschwankungen im Fernsprechverkehr (немецкий). Эрикссон Техникс нет. 44 (1943). МР 11402
31. Рубин, И. (сентябрь 1972 г.). «Регулярные точечные процессы и их обнаружение». Труды IEEE по теории информации . 18 (5): 547–557. doi :10.1109/tit.1972.1054897.
32. Baddeley, A., Gregori, P., Mateu, J., Stoica, R. и Stoyan, D., редакторы (2006). Практические примеры моделирования пространственных точечных паттернов , Lecture Notes in Statistics № 185. Springer, Нью-Йорк. ISBN 0-387-28311-0 .