пространство Бесова

Обобщение пространств Соболева

В математике пространство Бесова (названное в честь Олега Владимировича Бесова ) — это полное квазинормированное пространство, которое является банаховым пространством при 1 ≤ p , q ≤ ∞ . Эти пространства, а также аналогично определяемые пространства Трибеля–Лизоркина , служат для обобщения более элементарных функциональных пространств, таких как пространства Соболева , и эффективны для измерения свойств регулярности функций. ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}$

Определение

Существует несколько эквивалентных определений. Одно из них приведено ниже.

Позволять

${\displaystyle \Delta _{h}f(x)=f(x-h)-f(x)}$

и определим модуль непрерывности как

${\displaystyle \omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}}$

Пусть n — неотрицательное целое число и определим: s = n + α , где 0 < α ≤ 1. Пространство Бесова содержит все функции f , такие что ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle f\in W^{n,p}(\mathbf {R} ),\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty .}$

Норма

Пространство Бесова оборудовано по норме ${\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}$

Пространства Бесова совпадают с более классическими пространствами Соболева . ${\displaystyle B_{2,2}^{s}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle H^{s}(\mathbf {R} )}$

Если и не является целым числом, то , где обозначает пространство Соболева–Слободецкого . ${\displaystyle p=q}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B_{p,p}^{s}(\mathbf {R} )={\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle {\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}$

Ссылки

• Трибель, Ганс (1992). Теория функциональных пространств II . дои : 10.1007/978-3-0346-0419-2. ISBN 978-3-0346-0418-5.
• Бесов, О.В. (1959). «О некоторых семействах функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения». Докл. АН СССР . 126 : 1163–1165. МР  0107165.
• Деворе, Р. и Лоренц, Г. «Конструктивное приближение», 1993.
• ДеВоре, Р., Кириазис, Г. и Ванг, П. «Многомасштабные характеристики пространств Бесова на ограниченных областях», Журнал теории приближений 93, 273-292 (1998).
• Леони, Джованни (2017). Первый курс по пространствам Соболева: Второе издание . Аспирантура по математике . 181. Американское математическое общество. стр. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8