Множество, на котором определяется обобщение объемов и интегралов
Пространство меры является основным объектом теории меры , раздела математики , изучающего обобщенные понятия объёмов . Он содержит базовый набор, подмножества этого набора, которые можно измерить ( σ -алгебра ), и метод, который используется для измерения ( мера ). Одним из важных примеров пространства меры является вероятностное пространство .
Измеримое пространство состоит из первых двух компонентов без конкретной меры.
Определение
Пространство с мерой — это тройка, где [1] [2]![{\displaystyle (X, {\mathcal {A}},\mu),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
это набор
является σ -алгеброй на множестве![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
это мера по![{\displaystyle (X, {\mathcal {A}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другими словами, пространство с мерой состоит из измеримого пространства и меры на нем.![{\displaystyle (X, {\mathcal {A}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пример
Набор . -алгебра на конечных множествах, таких как приведенное выше, обычно представляет собой набор степеней , который представляет собой набор всех подмножеств (данного набора) и обозначается как Придерживаясь этого соглашения, мы полагаем![{\displaystyle X=\{0,1\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \wp (\cdot).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\wp (X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В этом простом случае набор мощности можно записать явно:
![{\displaystyle \wp (X)=\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В качестве меры определим ![{\текстовый стиль \му }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \mu (X)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \mu (\varnothing)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это приводит к пространству меры. Это вероятностное пространство , поскольку мера соответствует распределению Бернулли , которое , например, используется для моделирования честного подбрасывания монеты.![{\textstyle (X,\wp (X),\mu).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \mu (X)=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль \му }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle p={\frac {1}{2}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Важные классы пространств меры
Наиболее важные классы пространств меры определяются свойствами связанных с ними мер. Сюда входят в порядке возрастания общности:
Другой класс пространств с мерой — полные пространства с мерой . [4]
Рекомендации
- ^ аб Косорок, Майкл Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод . Нью-Йорк: Спрингер. п. 83. ИСБН 978-0-387-74977-8.
- ^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности . Берлин: Шпрингер. п. 18. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ аб Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Мера пространства», Энциклопедия математики , EMS Press
- ^ Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности . Берлин: Шпрингер. п. 33. дои : 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.