Gδ пространство

Свойство топологического пространства

В математике, в частности в топологии , пространство G _δ — это топологическое пространство , в котором замкнутые множества в некотором роде «отделены» от своих дополнений с помощью только счетного числа открытых множеств . Таким образом, пространство AG _δ можно рассматривать как пространство, удовлетворяющее другому виду аксиомы разделения . Фактически, нормальные пространства G _δ называются совершенно нормальными пространствами и удовлетворяют самой сильной из аксиом разделения .

Пространства G _δ также называются совершенными пространствами . ^[1] Термин совершенный также используется, несовместимо, для обозначения пространства без изолированных точек ; см. Совершенное множество .

Определение

Счётное пересечение открытых множеств в топологическом пространстве называется множеством G δ . Тривиально, каждое открытое множество является множеством G _δ . Двойственно, счётное объединение замкнутых множеств называется множеством F σ . Тривиально, каждое замкнутое множество является множеством F _σ .

Топологическое пространство X называется пространством G _δ ^[2], если каждое замкнутое подмножество X является множеством G _δ . Двойственно и эквивалентно, пространство G _δ — это пространство, в котором каждое открытое множество является множеством F _σ .

Свойства и примеры

• Каждое подпространство пространства G _δ является пространством G _δ .
• Каждое метризуемое пространство является пространством G _δ . То же самое справедливо и для псевдометризуемых пространств .
• Каждое второе счетное регулярное пространство является пространством G _δ . Это следует из теоремы Урысона о метризации в случае Хаусдорфа, но может быть легко показано непосредственно. ^[3]
• Каждое счетное регулярное пространство является пространством G _δ .
• Каждое наследственно линделёфово регулярное пространство является пространством G _δ . ^[4] Такие пространства на самом деле совершенно нормальны . Это обобщает предыдущие два пункта о счетно-счетных и счетно-регулярных пространствах.
• Пространство AG _δ не обязательно должно быть нормальным, как показывает R , наделенное K-топологией . Этот пример не является регулярным пространством. Примерами тихоновских пространств G _{δ , которые не являются нормальными, являются} плоскость Зоргенфрея ^[5] и плоскость Немыцкого . ^[6]
• В пространстве T 1 с первой счетностью каждый синглтон является множеством G _δ . Этого недостаточно для того, чтобы пространство было пространством G _δ , как показано, например, топологией лексикографического порядка на единичном квадрате . ^[7]
• Прямая Зоргенфрея является примером совершенно нормального (т.е. нормального G _δ ) пространства, которое не является метризуемым.
• Топологическая сумма семейства непересекающихся топологических пространств является пространством G _δ тогда и только тогда, когда каждое из них является пространством G _δ . ${\displaystyle X={\coprod }_{i}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Примечания

1. Энгелькинг, 1.5.H(a), стр. 48
2. Стин и Зеебах, стр. 162
3. "Общая топология - Каждое регулярное и удовлетворяющее второй аксиоме счетности пространство является пространством $G_\delta$, без предположения теоремы Урысона о метризации".
4. https://arxiv.org/pdf/math/0412558.pdf, лемма 6.1
5. «Плоскость Зоргенфрея ненормальна». 8 мая 2014 г.
6. «Общая топология — плоскость Мура / плоскость Немыцкого и замкнутые подпространства $G_\delta$».
7. «Лексикографический порядок и пространство двойной стрелки». 8 октября 2009 г.

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (переиздание Dover Publications издания 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446
• Рой А. Джонсон (1970). «Компактное неметризуемое пространство, такое, что каждое замкнутое подмножество является G-Delta». The American Mathematical Monthly , том 77, № 2, стр. 172–176. на JStor