В дифференциальной геометрии кокасательное пространство — это векторное пространство , связанное с точкой на гладком (или дифференцируемом) многообразии ; можно определить кокасательное пространство для каждой точки гладкого многообразия. Обычно кокасательное пространство определяется как двойственное пространство к касательному пространству в точке , , хотя существуют и более прямые определения (см. ниже). Элементы кокасательного пространства называются кокасательными векторами или касательными ковекторами .
Все кокасательные пространства в точках связного многообразия имеют одинаковую размерность , равную размерности многообразия. Все кокасательные пространства многообразия могут быть «склеены» (т. е. объединены и наделены топологией), чтобы сформировать новое дифференцируемое многообразие удвоенной размерности, кокасательное расслоение многообразия .
Касательное пространство и кокасательное пространство в точке являются вещественными векторными пространствами одной и той же размерности и, следовательно, изоморфны друг другу посредством множества возможных изоморфизмов. Введение римановой метрики или симплектической формы приводит к естественному изоморфизму между касательным пространством и кокасательным пространством в точке, сопоставляя любому касательному ковектору канонический касательный вектор.
Пусть – гладкое многообразие и пусть – точка в . Позвольте быть касательным пространством в точке . Тогда кокасательное пространство в точке x определяется как двойственное пространство к :
Конкретно, элементы кокасательного пространства являются линейными функционалами от . То есть каждый элемент представляет собой линейную карту
где – базовое поле рассматриваемого векторного пространства, например поле действительных чисел . Элементы называются котангенс векторами.
В некоторых случаях может потребоваться прямое определение кокасательного пространства без ссылки на касательное пространство. Такое определение можно сформулировать в терминах классов эквивалентности гладких функций на . Неформально мы скажем, что две гладкие функции f и g эквивалентны в точке , если они имеют такое же поведение первого порядка вблизи , аналогично их линейным полиномам Тейлора; две функции f и g имеют одинаковое поведение первого порядка вблизи тогда и только тогда, когда производная функции f - g обращается в нуль при . Тогда котангенс-пространство будет состоять из всех возможных поведений функции первого порядка вблизи .
Пусть — гладкое многообразие и пусть x — точка в . Пусть – идеал всех функций, обращающихся в нуль при , и пусть – множество функций вида , где . Тогда и являются действительными векторными пространствами, а кокасательное пространство можно определить как факторпространство, показав , что эти два пространства изоморфны друг другу.
Эта формулировка аналогична конструкции кокасательного пространства для определения касательного пространства Зарисского в алгебраической геометрии. Конструкция также обобщается на локально окольцованные пространства .
Пусть – гладкое многообразие и пусть – гладкая функция . Дифференциал в точке - это карта
где - касательный вектор в , рассматриваемый как вывод. Это производная Ли по направлению , и она есть . Эквивалентно, мы можем думать о касательных векторах как о касательных к кривым и писать
В любом случае — линейное отображение на и, следовательно, касательный ковектор в точке .
Затем мы можем определить дифференциальную карту в точке как карту, которая отправляет в . Свойства дифференциальной карты включают в себя:
Дифференциальное отображение обеспечивает связь между двумя альтернативными определениями котангенсного пространства, данными выше. Поскольку для всех существуют такие, что , мы имеем, т.е. Все функции в имеют дифференциальный нуль, отсюда следует, что для каждых двух функций , , мы имеем . Теперь мы можем построить изоморфизм между и путем отправки линейных отображений в соответствующие смежные классы . Поскольку для данного ядра и наклона существует единственное линейное отображение, это изоморфизм, устанавливающий эквивалентность двух определений.
Точно так же, как каждое дифференцируемое отображение между многообразиями порождает линейное отображение (называемое прямым или производным ) между касательными пространствами
каждое такое отображение вызывает линейное отображение (называемое обратным ходом ) между кокасательными пространствами, только на этот раз в обратном направлении:
Откат естественным образом определяется как двойное (или транспонированное) движение вперед . Если раскрыть определение, то это означает следующее:
где и . Обратите внимание внимательно, где все живет.
Если мы определим касательные ковекторы в терминах классов эквивалентности гладких отображений, исчезающих в точке, то определение обратного образа станет еще более простым. Пусть – гладкая функция, исчезающая при . Тогда обратный путь ковектора, определяемый (обозначенный ), определяется выражением
То есть это класс эквивалентности функций при исчезновении при, определяемый .
-я внешняя степень кокасательного пространства, обозначаемая , является еще одним важным объектом дифференциальной и алгебраической геометрии. Векторы в -й внешней степени, или, точнее, сечения -й внешней степени коткасательного расслоения , называются дифференциальными -формами . Их можно рассматривать как чередующиеся многолинейные карты касательных векторов. По этой причине касательные ковекторы часто называют одноформами .
