Основное однородное пространство

В математике главное однородное пространство [ ^1] или торсор для группы G — это однородное пространство X для G , в котором стабилизаторная подгруппа каждой точки тривиальна. Эквивалентно, главное однородное пространство для группы G — это непустое множество X , на котором G действует свободно и транзитивно (это означает, что для любых x , y в X существует единственный g в G такой, что x · g = y , где · обозначает (правое) действие G на X ). Аналогичное определение справедливо и в других категориях , где, например,

• G — топологическая группа , X — топологическое пространство и действие непрерывно ,
• G — группа Ли , X — гладкое многообразие и действие гладкое ,
• G — алгебраическая группа , X — алгебраическое многообразие , а действие регулярно .

Определение

Если G неабелев , то необходимо различать левые и правые торсоры в зависимости от того, находится ли действие слева или справа. В этой статье мы будем использовать правые действия.

Чтобы сформулировать определение более явно, X является G -торсором или G -главным однородным пространством, если X непусто и снабжено отображением (в соответствующей категории) X × G → X таким, что

х ·1 = х

х ·( гх ) = ( х · г )· ч

для всех x ∈ X и всех g , h ∈ G , и таких, что отображение X × G → X × X задано формулой

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,x\cdot g)}$

является изоморфизмом (множеств, или топологических пространств, или ..., в зависимости от обстоятельств, т.е. в рассматриваемой категории).

Обратите внимание, что это означает, что X и G изоморфны (в рассматриваемой категории; не как группы: см. ниже). Однако — и это существенный момент — в X нет предпочтительной точки «тождественности» . То есть, X выглядит точно так же, как G, за исключением того, какая точка является тождеством, было забыто. (Эта концепция часто используется в математике как способ перехода к более внутренней точке зрения под заголовком «отбросить начало».)

Поскольку X не является группой, мы не можем умножать элементы; однако мы можем взять их «частное». То есть, существует отображение X × X → G , которое отправляет ( x , y ) в единственный элемент g = x \ y ∈ G такой, что y = x · g .

Однако композиция последней операции с действием правой группы дает тернарную операцию X × ( X × X ) → X , которая служит аффинным обобщением группового умножения и которая достаточна как для алгебраической характеристики главного однородного пространства, так и для внутренней характеристики группы, с которой оно связано. Если мы обозначим результат этой тернарной операции, то следующие тождества ${\displaystyle x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)}$

${\displaystyle x/y\cdot y=x=y/y\cdot x}$

${\displaystyle v/w\cdot (x/y\cdot z)=(v/w\cdot x)/y\cdot z}$

будет достаточно для определения основного однородного пространства, в то время как дополнительное свойство

${\displaystyle x/y\cdot z=z/y\cdot x}$

определяет те пространства, которые связаны с абелевыми группами. Группа может быть определена как формальные факторы, подчиненные отношению эквивалентности ${\displaystyle x\backslash y}$

${\displaystyle x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y}$,

с групповым произведением, тождеством и обратным, определяемыми соответственно как

${\displaystyle (x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v}$,

${\displaystyle e=x\backslash x}$,

${\displaystyle (x\backslash y)^{-1}=y\backslash x,}$

и групповое действие

${\displaystyle x\cdot (y\backslash z)=x/y\cdot z.}$

Примеры

Каждая группа G сама по себе может рассматриваться как левый или правый G -торсор под естественным действием левого или правого умножения.

Другим примером является концепция аффинного пространства : идею аффинного пространства A, лежащего в основе векторного пространства V, можно кратко выразить, сказав, что A является главным однородным пространством для V, действующего как аддитивная группа трансляций.

Флаги любого правильного многогранника образуют торсор для его группы симметрии.

Для данного векторного пространства V мы можем взять G как общую линейную группу GL( V ), а X как множество всех (упорядоченных) базисов V . Тогда G действует на X так же, как он действует на векторы V ; и он действует транзитивно, поскольку любой базис может быть преобразован с помощью G в любой другой. Более того, линейное преобразование, фиксирующее каждый вектор базиса, зафиксирует все v в V , и, следовательно, будет нейтральным элементом общей линейной группы GL( V ) : так что X действительно является главным однородным пространством. Один из способов проследить зависимость от базиса в аргументе линейной алгебры — отслеживать переменные x в X . Аналогично, пространство ортонормированных базисов ( многообразие Штифеля n -фреймов ) является главным однородным пространством для ортогональной группы . ${\displaystyle V_{n}(\mathbf {R} ^{n})}$

В теории категорий , если два объекта X и Y изоморфны, то изоморфизмы между ними, Iso( X , Y ), образуют торсор для группы автоморфизмов X , Aut( X ), и аналогично для Aut( Y ); выбор изоморфизма между объектами приводит к изоморфизму между этими группами и отождествляет торсор с этими двумя группами, давая торсору групповую структуру ( так как теперь он имеет базовую точку ).

Приложения

Концепция главного однородного пространства является частным случаем концепции главного расслоения : она означает главное расслоение с базой в одной точке. Другими словами, локальная теория главных расслоений — это теория семейства главных однородных пространств, зависящих от некоторых параметров в базе. «Начало» может быть предоставлено сечением расслоения — такие сечения обычно предполагаются существующими локально на базе — расслоение локально тривиально , так что локальная структура является структурой декартова произведения . Но сечения часто не будут существовать глобально. Например, дифференциальное многообразие M имеет главное расслоение фреймов, связанное с его касательным расслоением . Глобальное сечение будет существовать (по определению) только тогда, когда M является параллелизуемым , что подразумевает сильные топологические ограничения.

В теории чисел есть (поверхностно иная) причина рассматривать главные однородные пространства для эллиптических кривых E, определенных над полем K (и более общие абелевы многообразия ). Как только это было понято, различные другие примеры были собраны под заголовком для других алгебраических групп : квадратичные формы для ортогональных групп и многообразия Севери–Брауэра для проективных линейных групп, являющиеся двумя.

Причина интереса к диофантовым уравнениям в случае эллиптической кривой заключается в том, что K может быть алгебраически не замкнутым . Могут существовать кривые C, не имеющие определенной точки над K , и которые становятся изоморфными над большим полем E , которое по определению имеет точку над K , служащую элементом тождества для его закона сложения. То есть, для этого случая мы должны отличать C , имеющие род 1, от эллиптических кривых E , имеющих K -точку (или, другими словами, обеспечивающих диофантово уравнение, имеющее решение в K ). Кривые C оказываются торсорами над E и образуют множество, несущее богатую структуру в случае, когда K является числовым полем (теория группы Сельмера ). Фактически, типичная плоская кубическая кривая C над Q не имеет особых причин иметь рациональную точку ; стандартная модель Вейерштрасса всегда имеет, а именно точку на бесконечности, но вам нужна точка над K , чтобы привести C к этой форме над K.

Эта теория была разработана с большим вниманием к локальному анализу , что привело к определению группы Тейта–Шафаревича . В общем подход, при котором теория торсора берется легко над алгебраически замкнутым полем , и попытка вернуться «вниз» к меньшему полю, является аспектом спуска . Это сразу приводит к вопросам когомологий Галуа , поскольку торсоры представляют классы в групповых когомологиях H ¹ .

Другое использование

Понятие главного однородного пространства также может быть глобализировано следующим образом. Пусть X будет «пространством» ( схемой / многообразием / топологическим пространством и т. д.), а G будет группой над X , т. е. групповым объектом в категории пространств над X. В этом случае (скажем, правый) G -торсор E на X — это пространство E (того же типа) над X с (правым) действием G таким, что морфизм

${\displaystyle E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E}$

предоставлено

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,xg)}$

является изоморфизмом в соответствующей категории , и таким, что E локально тривиально на X , в том смысле, что E → X приобретает сечение локально на X. Классы изоморфизма торсоров в этом смысле соответствуют классам в группе когомологий H ¹ ( X , G ).

Когда мы находимся в категории гладких многообразий , то G -торсор (для G - группы Ли ) является в точности главным G - расслоением , как определено выше.

Пример: если G — компактная группа Ли (скажем), то — G -торсор над классифицирующим пространством . ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle BG}$

Смотрите также

• Однородное пространство
• Куча (математика)

Примечания

1. Серж Лэнг и Джон Тейт (1958). «Главное однородное пространство над абелевыми многообразиями». American Journal of Mathematics . 80 (3): 659–684. doi :10.2307/2372778.

Дальнейшее чтение

• Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр ; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа . Серия университетских лекций. Том 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3287-5. Збл  1159.12311.
• Скоробогатов, А. (2001). Торсоры и рациональные точки . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 144. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-80237-7. Збл  0972.14015.

Внешние ссылки

• Легкие торсоры от Джона Баеза