Основной элемент

В математике , в частности в абстрактной алгебре , первичный элемент коммутативного кольца — это объект, удовлетворяющий определенным свойствам, аналогичным простым числам в целых числах и неприводимым многочленам . Следует проявлять осторожность, чтобы отличать первичные элементы от неприводимых элементов , концепция, которая является одинаковой в UFD , но не одинаковой в общем случае.

Определение

Элемент $p$ коммутативного кольца $R$ называется простым, если он не является нулевым элементом или единицей , и всякий раз, когда $p$ делит $ab$ для некоторых $a$ и $b$ из $R$ , то $p$ делит $a$ или $p$ делит $b$ . С этим определением лемма Евклида является утверждением, что простые числа являются простыми элементами в кольце целых чисел . Эквивалентно, элемент $p$ является простым тогда и только тогда, когда главный идеал $(p),$ порожденный $p$ , является ненулевым простым идеалом . ^[1] (Заметим, что в области целостности идеал $(0)$ является простым идеалом , но $0$ является исключением в определении «простого элемента».)

Интерес к простым элементам исходит из фундаментальной теоремы арифметики , которая утверждает, что каждое ненулевое целое число может быть записано по существу только одним способом как 1 или −1, умноженное на произведение положительных простых чисел. Это привело к изучению уникальных областей факторизации , которые обобщают то, что было только что проиллюстрировано в целых числах.

Простота зависит от того, в каком кольце находится элемент; например, 2 является простым элементом в $Z$ , но не является таковым в $Z [i]$ , кольце гауссовых целых чисел , поскольку $2 = (1 + i)(1 - i)$ и 2 не делит ни один множитель справа.

Связь с высшими идеалами

Идеал $I$ в кольце $R$ (с единицей) является простым , если фактор-кольцо $R / I$ является областью целостности .

В области целостности ненулевой главный идеал является простым тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом.

Неприводимые элементы

Не следует путать простые элементы с неприводимыми элементами . В целостной области каждое простое число является неприводимым ^[2], но обратное в общем случае неверно. Однако в областях уникальной факторизации ^[3] или, в более общем случае, в областях НОД простые числа и неприводимые числа являются одним и тем же.

Примеры

Ниже приведены примеры простых элементов в кольцах:

Целые числа $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ , ... в кольце целых чисел $Z$
комплексные числа $(1 + i)$ , $19$ и $(2 + 3 i)$ в кольце гауссовых целых чисел $Z [i]$
многочлены $x 2 - 2$ и $x 2 + 1$ в $Z [x]$ , кольце многочленов над $Z$ .
2 в факторкольце $Z /6 Z$
$x 2 + (x 2 + x)$ является простым, но не неприводимым в кольце $Q [x]/(x 2 + x)$
В кольце $Z 2$ пар целых чисел число $(1, 0)$ является простым, но не неприводимым (имеется $(1, 0) 2 = (1, 0)$ ).
В кольце целых алгебраических чисел элемент $3$ является неприводимым, но не простым (поскольку 3 делит и не делит ни один множитель справа). $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],$ $9=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})$

Ссылки

Примечания

^ Хангерфорд 1980, Теорема III.3.4(i), как указано в примечании под теоремой и доказательством, результат справедлив в полной общности.
^ Хангерфорд 1980, Теорема III.3.4(iii)
^ Хангерфорд 1980, Замечание после определения III.3.5

Источники

Раздел III.3 Хангерфорда, Томаса У. (1980), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 73 (переиздание издания 1974 г.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90518-1, МР 0600654
Якобсон, Натан (1989), Основы алгебры. II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, МР 1009787
Капланский, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. x+180, MR 0254021