Бесконечная целочисленная серия, в которой следующее число представляет собой сумму двух предыдущих.
Спираль Люка, состоящая из четвертей дуги , является хорошим приближением золотой спирали, когда ее члены большие. Однако когда ее члены становятся очень малыми, радиус дуги быстро уменьшается с 3 до 1, а затем увеличивается с 1 до 2. Последовательность Люка — это целочисленная последовательность , названная в честь математика Франсуа Эдуарда Анатоля Лукаса (1842–1891), который изучал как эту последовательность , так и близкородственную ей последовательность Фибоначчи . Отдельные числа в последовательности Люка известны как числа Люка . Числа Люка и числа Фибоначчи образуют дополнительные экземпляры последовательностей Люка .
Последовательность Лукаса имеет те же рекурсивные отношения , что и последовательность Фибоначчи, где каждый член представляет собой сумму двух предыдущих членов, но с разными начальными значениями. [1] Это создает последовательность, в которой отношения последовательных членов приближаются к золотому сечению , и фактически сами члены являются округлениями целых степеней золотого сечения. [2] Последовательность также имеет множество взаимосвязей с числами Фибоначчи, например, тот факт, что добавление любых двух чисел Фибоначчи на два члена в последовательности Фибоначчи приводит к образованию числа Люка между ними. [3]
Первые несколько чисел Лукаса
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, ... . (последовательность A000032 в OEIS ) что совпадает, например, с числом независимых наборов вершин циклических графов длины . [1] С н {\displaystyle C_{n}} н ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
Определение Как и в случае с числами Фибоначчи, каждое число Люка определяется как сумма двух непосредственно предшествующих ему членов, тем самым образуя целочисленную последовательность Фибоначчи . Первые два числа Люка — это и , что отличается от первых двух чисел Фибоначчи и . Хотя числа Лукаса и Фибоначчи тесно связаны по определению, они обладают разными свойствами. л 0 "=" 2 {\displaystyle L_{0}=2} л 1 "=" 1 {\displaystyle L_{1}=1} Ф 0 "=" 0 {\displaystyle F_{0}=0} Ф 1 "=" 1 {\displaystyle F_{1}=1}
Таким образом, числа Люка можно определить следующим образом:
л н "=" { 2 если н "=" 0 ; 1 если н "=" 1 ; л н − 1 + л н − 2 если н > 1. {\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+ L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\end{cases}}} (где n принадлежит натуральным числам )
Все целочисленные последовательности типа Фибоначчи появляются в сдвинутой форме как строка массива Витхоффа ; сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а последовательность Люка — второй строкой. Также, как и все целочисленные последовательности типа Фибоначчи, соотношение между двумя последовательными числами Люка сходится к золотому сечению .
Расширение до отрицательных целых чисел Используя , можно расширить числа Люка до отрицательных целых чисел, чтобы получить вдвойне бесконечную последовательность: л н − 2 "=" л н − л н − 1 {\displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}
..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (показаны термины ) . л н {\displaystyle L_ {n}} − 5 ≤ н ≤ 5 {\displaystyle -5\leq {}n\leq 5} Формула для членов с отрицательными индексами в этой последовательности:
л − н "=" ( − 1 ) н л н . {\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}
Связь с числами Фибоначчи Первая идентичность, выраженная визуально Числа Люка связаны с числами Фибоначчи многими тождествами . Среди них следующие:
л н "=" Ф н − 1 + Ф н + 1 "=" 2 Ф н + 1 − Ф н {\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=2F_{n+1}-F_{n}} л м + н "=" л м + 1 Ф н + л м Ф н − 1 {\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}} Ф 2 н "=" л н Ф н {\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}} Ф н + к + ( − 1 ) к Ф н − к "=" л к Ф н {\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{nk}=L_{k}F_{n}} 2 Ф 2 н + к "=" л н Ф н + к + л н + к Ф н {\displaystyle 2F_{2n+k}=L_ {n}F_ {n+k}+L_ {n+k}F_ {n}} л 2 н "=" 5 Ф н 2 + 2 ( − 1 ) н "=" л н 2 − 2 ( − 1 ) н {\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}} , так . Лим н → ∞ л н Ф н "=" 5 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}} | л н − 5 Ф н | "=" 2 φ н → 0 {\displaystyle \vert L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}\vert = {\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0} л н + к − ( − 1 ) к л н − к "=" 5 Ф н Ф к {\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{nk}=5F_{n}F_{k}} ; в частности, , так . Ф н "=" л н − 1 + л н + 1 5 {\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \более 5}} 5 Ф н + л н "=" 2 л н + 1 {\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}} Их закрытая формула имеет вид:
L n = φ n + ( 1 − φ ) n = φ n + ( − φ ) − n = ( 1 + 5 2 ) n + ( 1 − 5 2 ) n , {\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,} где золотое сечение . Альтернативно, поскольку величина члена меньше 1/2, это ближайшее целое число или, что эквивалентно, целая часть , также записываемая как . φ {\displaystyle \varphi } n > 1 {\displaystyle n>1} ( − φ ) − n {\displaystyle (-\varphi )^{-n}} L n {\displaystyle L_{n}} φ n {\displaystyle \varphi ^{n}} φ n + 1 / 2 {\displaystyle \varphi ^{n}+1/2} ⌊ φ n + 1 / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }
Объединив вышеизложенное с формулой Бине ,
F n = φ n − ( 1 − φ ) n 5 , {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,} получается формула для : φ n {\displaystyle \varphi ^{n}}
φ n = L n + F n 5 2 . {\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.} Для целых чисел n ≥ 2 мы также получаем:
φ n = L n − ( − φ ) − n = L n − ( − 1 ) n L n − 1 − L n − 3 + R {\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R} с остатком R, удовлетворяющим
| R | < 3 L n − 5 {\displaystyle \vert R\vert <3L_{n}^{-5}} .
Личности Лукаса Многие тождества Фибоначчи имеют параллели в числах Люка. Например, тождество Кассини становится
L n 2 − L n − 1 L n + 1 = ( − 1 ) n 5 {\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5} Также
∑ k = 0 n L k = L n + 2 − 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1} ∑ k = 0 n L k 2 = L n L n + 1 + 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2} 2 L n − 1 2 + L n 2 = L 2 n + 1 + 5 F n − 2 2 {\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}} где . F n = L n − 1 + L n + 1 5 {\displaystyle \textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}
L n k = ∑ j = 0 ⌊ k 2 ⌋ ( − 1 ) n j ( k j ) L ( k − 2 j ) n ′ {\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}} где кроме . L n ′ = L n {\displaystyle L'_{n}=L_{n}} L 0 ′ = 1 {\displaystyle L'_{0}=1}
Например , если n нечетно и L n 3 = L 3 n ′ − 3 L n ′ {\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}} L n 4 = L 4 n ′ − 4 L 2 n ′ + 6 L 0 ′ {\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}
Проверка , и L 3 = 4 , 4 3 = 64 = 76 − 3 ( 4 ) {\displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)} 256 = 322 − 4 ( 18 ) + 6 {\displaystyle 256=322-4(18)+6}
Генерирующая функция Позволять
Φ ( x ) = 2 + x + 3 x 2 + 4 x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ L n x n {\displaystyle \Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}} — производящая функция чисел Люка. Путём прямого вычисления,
Φ ( x ) = L 0 + L 1 x + ∑ n = 2 ∞ L n x n = 2 + x + ∑ n = 2 ∞ ( L n − 1 + L n − 2 ) x n = 2 + x + ∑ n = 1 ∞ L n x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ L n x n + 2 = 2 + x + x ( Φ ( x ) − 2 ) + x 2 Φ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}} который можно переставить как
Φ ( x ) = 2 − x 1 − x − x 2 {\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}} Φ ( − 1 x ) {\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)} дает производящую функцию для отрицательных индексированных чисел Люка, и ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n L n x − n = ∑ n = 0 ∞ L − n x − n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}
Φ ( − 1 x ) = x + 2 x 2 1 − x − x 2 {\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}} Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)} удовлетворяет функциональному уравнению
Φ ( x ) − Φ ( − 1 x ) = 2 {\displaystyle \Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2} Поскольку производящая функция чисел Фибоначчи определяется выражением
s ( x ) = x 1 − x − x 2 {\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}} у нас есть
s ( x ) + Φ ( x ) = 2 1 − x − x 2 {\displaystyle s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}} что доказывает , что
F n + L n = 2 F n + 1 , {\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},} и
5 s ( x ) + Φ ( x ) = 2 x Φ ( − 1 x ) = 2 1 1 − x − x 2 + 4 x 1 − x − x 2 {\displaystyle 5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}} доказывает, что
5 F n + L n = 2 L n + 1 {\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}} Разложение на частичные дроби определяется выражением
Φ ( x ) = 1 1 − ϕ x + 1 1 − ψ x {\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}} где – золотое сечение и – его сопряженное . ϕ = 1 + 5 2 {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} ψ = 1 − 5 2 {\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}
Это можно использовать для доказательства производящей функции, так как
∑ n = 0 ∞ L n x n = ∑ n = 0 ∞ ( ϕ n + ψ n ) x n = ∑ n = 0 ∞ ϕ n x n + ∑ n = 0 ∞ ψ n x n = 1 1 − ϕ x + 1 1 − ψ x = Φ ( x ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}
Отношения конгруэнтности Если число Фибоначчи, то ни одно число Люка не делится на . F n ≥ 5 {\displaystyle F_{n}\geq 5} F n {\displaystyle F_{n}}
L n {\displaystyle L_{n}} конгруэнтно 1 по модулю, если является простым , но некоторые составные значения также обладают этим свойством. Это псевдопростые числа Фибоначчи . n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
L n − L n − 4 {\displaystyle L_{n}-L_{n-4}} конгруэнтно 0 по модулю 5.
Лукас простые числа Простое число Люка — это число Люка, которое является простым . Первые несколько простых чисел Лукаса равны
2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (последовательность A005479 в OEIS ). Индексы этих простых чисел (например, L 4 = 7)
0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (последовательность A001606 в OEIS ). По состоянию на сентябрь 2015 года [update] самое большое подтвержденное простое число Люка — L 148091 , которое имеет 30950 десятичных цифр. [4] По состоянию на август 2022 года [update] самое большое известное вероятное простое число Люкаса — L 5466311 с 1 142 392 десятичными цифрами. [5]
Если L n простое число, то n равно 0, простому числу или степени 2 . [6] L 2 m является простым числом для m = 1, 2, 3 и 4 и других известных значений m .
Полиномы Люка Точно так же, как полиномы Фибоначчи получаются из чисел Фибоначчи , полиномы Люка представляют собой полиномиальную последовательность , полученную из чисел Люка. L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)}
Цепные дроби для степеней золотого сечения. Близкие рациональные приближения для степеней золотого сечения можно получить из их непрерывных дробей .
Для положительных целых чисел n непрерывными дробями являются:
φ 2 n − 1 = [ L 2 n − 1 ; L 2 n − 1 , L 2 n − 1 , L 2 n − 1 , … ] {\displaystyle \varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]} φ 2 n = [ L 2 n − 1 ; 1 , L 2 n − 2 , 1 , L 2 n − 2 , 1 , L 2 n − 2 , 1 , … ] {\displaystyle \varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]} .Например:
φ 5 = [ 11 ; 11 , 11 , 11 , … ] {\displaystyle \varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]} это предел
11 1 , 122 11 , 1353 122 , 15005 1353 , … {\displaystyle {\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots } при этом ошибка в каждом члене составляет около 1% от ошибки в предыдущем члене; и
φ 6 = [ 18 − 1 ; 1 , 18 − 2 , 1 , 18 − 2 , 1 , 18 − 2 , 1 , … ] = [ 17 ; 1 , 16 , 1 , 16 , 1 , 16 , 1 , … ] {\displaystyle \varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]} это предел
17 1 , 18 1 , 305 17 , 323 18 , 5473 305 , 5796 323 , 98209 5473 , 104005 5796 , … {\displaystyle {\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots } при этом ошибка в каждом члене составляет около 0,3% от ошибки второго предыдущего члена.
Приложения Согласно анализу 657 подсолнухов, проведенному в 2016 году, числа Люка являются вторым наиболее распространенным закономерностью в подсолнухах после чисел Фибоначчи, когда подсчитываются спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки. [7]
Смотрите также
Рекомендации ^ аб Вайсштейн, Эрик В. «Число Лукаса». mathworld.wolfram.com . Проверено 11 августа 2020 г. ^ Паркер, Мэтт (2014). «13». Что нужно делать и делать в четвертом измерении . Фаррар, Штраус и Жиру. п. 284. ИСБН 978-0-374-53563-6 .^ Паркер, Мэтт (2014). «13». Что делать и делать в четвертом измерении . Фаррар, Штраус и Жиру. п. 282. ИСБН 978-0-374-53563-6 .^ "Двадцатка лучших: число Лукаса" . primes.utm.edu . Проверено 6 января 2022 г. ^ "Топ PRP Анри и Рено Лифшицев - Поиск по форме" . www.primenumbers.net . Проверено 6 января 2022 г. ^ Крис Колдуэлл, «Глоссарий Prime: Лукас Прайм» из The Prime Pages . ^ Суинтон, Джонатан; Очу, Эринма; ноль, ноль (2016). «Новая структура Фибоначчи и нефибоначчи в подсолнечнике: результаты гражданского научного эксперимента». Королевское общество открытой науки . 3 (5): 160091. Бибкод : 2016RSOS....360091S. дои : 10.1098/rsos.160091. ПМЦ 4892450 . ПМИД 27293788.
Внешние ссылки