В математике , и в частности в теории моделей , [1] простая модель — это модель , которая является настолько простой, насколько это возможно. В частности, модель является простой, если она допускает элементарное вложение в любую модель , которой она элементарно эквивалентна (то есть в любую модель, удовлетворяющую той же полной теории, что и ).
В отличие от понятия насыщенной модели , простые модели ограничены весьма конкретными мощностями теоремой Лёвенгейма–Сколема . Если — язык первого порядка с мощностью и — полная теория над , то эта теорема гарантирует модель для мощности Поэтому никакая простая модель не может иметь большую мощность, поскольку она, по крайней мере, должна быть элементарно вложена в такую модель. Это все еще оставляет много двусмысленности в фактической мощности. В случае счетных языков все простые модели не более счетно бесконечны.
Существует двойственность между определениями простых и насыщенных моделей. Половина этой двойственности обсуждается в статье о насыщенных моделях , а другая половина заключается в следующем. В то время как насыщенная модель реализует как можно больше типов , простая модель реализует как можно меньше: это атомарная модель , реализующая только те типы, которые нельзя исключить , и исключающая остальные. Это можно интерпретировать в том смысле, что простая модель допускает «никаких излишеств»: любая характеристика модели, которая является необязательной, в ней игнорируется.
Например, модель является простой моделью теории натуральных чисел N с последующей операцией S ; непростая модель может означать , что есть копия полных целых чисел, которая лежит непересекающейся с исходной копией натуральных чисел в этой модели; в этом дополнении арифметика работает как обычно. Эти модели элементарно эквивалентны; их теория допускает следующую аксиоматизацию (словесно):
Это, по сути, две аксиомы Пеано , а третья следует из первой по индукции (еще одна аксиома Пеано). Любая модель этой теории состоит из непересекающихся копий полных целых чисел в дополнение к натуральным числам, поскольку как только мы генерируем подмодель из 0, все оставшиеся точки допускают как предшественников, так и последователей до бесконечности. Это схема доказательства, которое является простой моделью.
