Уилсон Прайм

Тип простого числа

В теории чисел простое число Вильсона — это такое простое число , которое делится , где « » обозначает факториал ; сравните это с теоремой Вильсона , которая утверждает, что каждое простое число делится . Оба названы в честь английского математика XVIII века Джона Уилсона ; в 1770 году Эдвард Уоринг приписал эту теорему Вильсону ^[1] , хотя столетиями ранее она была сформулирована Ибн аль-Хайсамом . ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle (p-1)!+1}$ ${\displaystyle !}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p-1)!+1}$

Единственные известные простые числа Вильсона — 5 , 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS ). Коста и др. напишите, что «случай тривиален», и приписывайте Мэтьюзу (1892) наблюдение о том, что 13 является простым числом Вильсона. ^{[3] [4]} Ранние работы над этими числами включали поиски, проведенные NGWH Beeger и Эммой Лемер , ^{[5] [3] [6],} но число 563 не было обнаружено до начала 1950-х годов, когда к этой проблеме можно было применить компьютерный поиск. ^{[3] [7] [8]} Если существуют другие, они должны быть больше 2 × 10 ¹³ . ^[3] Было высказано предположение , что существует бесконечно много простых чисел Вильсона и что число простых чисел Вильсона в интервале составляет около . ^[9] ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle \log \log _{x}y}$

Было проведено несколько компьютерных поисков в надежде найти новые простые числа Вильсона. ^{[10] [11] [12]} Проект распределенных вычислений Ibercivis включает поиск простых чисел Вильсона. ^[13] Еще один поиск был организован на форуме Great Internet Mersenne Prime Search . ^[14]

Обобщения

Простые числа порядка Вильсонан

Теорему Вильсона можно выразить в общем виде как для любого целого и простого числа . Обобщенные простые числа Вильсона порядка n — это простые числа p , делящие . ${\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle p\geq n}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle (n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}}$

Было высказано предположение, что для каждого натурального числа n существует бесконечно много простых чисел Вильсона порядка n .

Наименьшие обобщенные простые числа Вильсона порядка : ${\displaystyle n}$

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (Следующий член > 1,4×10 ⁷ ) (последовательность A128666 в OEIS )

Почти простые числа Вильсона

Простое число , удовлетворяющее сравнению с малым, можно назвать почти простым числом Вильсона . Простые числа, близкие к Вильсону, являются настоящими простыми числами Вильсона. В таблице справа перечислены все такие простые числа с числом от 10. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1+Bp\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle |B|\leq 100}$^{от 6} до 4 × 10¹¹ . ^[3]

Числа Вильсона

Число Вильсона — это натуральное число такое, что , где и где этот член положителен тогда и только тогда, когда имеет примитивный корень , и отрицателен в противном случае. ^[15] Для каждого натурального числа делится на , а коэффициенты (называемые обобщенными факторами Вильсона ) перечислены в OEIS : A157249 . Числа Вильсона ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W(n)\equiv 0\ (\operatorname {mod} {n^{2}})}$ $${\displaystyle W(n)=\pm 1+\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k},}$$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W(n)}$ ${\displaystyle n}$

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... (последовательность A157250 в OEIS )

Если число Вильсона простое, то оно является простым числом Вильсона. Существует 13 чисел Вильсона до 5 × 10. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$⁸ . ^[16]

Смотрите также

• ПраймГрид
• Таблица сравнений
• Стена–Солнце–Солнце премьер
• Виферих простое
• Уолстенхолм прайм

Рекомендации

1. Эдвард Уоринг, Meditationes Algebraicae (Кембридж, Англия: 1770), стр. 218 (на латыни). В третьем (1782 г.) издании « Meditationes Algebraicae » Уоринга теорема Вильсона появляется как задача 5 на странице 380. На этой странице Уоринг утверждает: «Hanc maxime Elegantem primorum numerorum proprietatem invenit vir clarissimus, rerumque mathematicarum peritissimus Джоаннес Уилсон Армигер». (Человек, самый выдающийся и самый опытный в математике, сквайр Джон Уилсон, обнаружил это самое изящное свойство простых чисел.)
2. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайсам». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
3. Коста, Эдгар; Гербич, Роберт; Харви, Дэвид (2014). «Поиск простых чисел Вильсона». Математика вычислений . 83 (290): 3071–3091. arXiv : 1209.3436 . doi : 10.1090/S0025-5718-2014-02800-7. MR  3246824. S2CID  6738476.
4. Мэтьюз, Джордж Баллард (1892). «Пример 15». Теория чисел, Часть 1. Дейтон и Белл. п. 318.
5. Лемер, Эмма (апрель 1938 г.). «О сравнениях с числами Бернулли и частными Ферма и Вильсона» (PDF) . Анналы математики . 39 (2): 350–360. дои : 10.2307/1968791. JSTOR  1968791 . Проверено 8 марта 2011 г.
6. Бигер, NGWH (1913–1914). «Quelques remarques sur les congruences et ». Вестник математики . 43 : 72–84. ${\displaystyle r^{p-1}\equiv 1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$ ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1\ (\operatorname {mod} {p^{2}})}$
7. Уолл, Д.Д. (октябрь 1952 г.). «Неопубликованные математические таблицы» (PDF) . Математические таблицы и другие средства вычислений . 6 (40): 238. дои : 10.2307/2002270. JSTOR  2002270.
8. Гольдберг, Карл (1953). «Таблица частных Вильсона и третьего простого числа Вильсона». Дж. Лондон Математика. Соц. 28 (2): 252–256. doi : 10.1112/jlms/s1-28.2.252.
9. Главный глоссарий: простое число Вильсона
10. Макинтош, Р. (9 марта 2004 г.). «СТАТУС УИЛСОНА (февраль 1999 г.)». Электронное письмо Полу Циммерману . Проверено 6 июня 2011 г.
11. Крэндалл, Ричард Э.; Дилчер, Карл; Померанс, Карл (1997). «Поиск простых чисел Вифериха и Вильсона». Математика. Вычислить . 66 (217): 433–449. Бибкод : 1997MaCom..66..433C. дои : 10.1090/S0025-5718-97-00791-6 .См. стр. 443.
12. Рибенбойм, П .; Келлер, В. (2006). Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (на немецком языке). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer. п. 241. ИСБН 978-3-540-34283-0.
13. "Сайт Иберцивис" . Архивировано из оригинала 20 июня 2012 г. Проверено 10 марта 2011 г.
14. Распределенный поиск простых чисел Вильсона (на mersenneforum.org)
15. см. обобщение Гаусса теоремы Вильсона.
16. Ага, Такаши; Дилчер, Карл; Скула, Ладислав (1998). «Факторы Вильсона для составных модулей» (PDF) . Математика. Вычислить . 67 (222): 843–861. Бибкод : 1998MaCom..67..843A. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00951-X .

дальнейшее чтение

• Крэндалл, Ричард Э.; Померанс, Карл (2001). Простые числа: вычислительная перспектива . Спрингер-Верлаг. п. 29. ISBN 978-0-387-94777-8.
• Пирсон, Эрна Х. (1963). «О сравнениях (p − 1)! ≡ −1 и 2p−1 ≡ 1 (mod p2)» (PDF) . Математика. Вычислить . 17 : 194–195.

Внешние ссылки

• Основной глоссарий: простое число Вильсона
• Вайсштейн, Эрик В. «Прайм Уилсона». Математический мир .
• Статус поиска простых чисел Вильсона