Простое число Ферми – Дирака

Основная степень с показателем 2^k

В теории чисел простое число Ферми –Дирака — это степень простого числа , показатель которой равен степени двойки . Эти числа названы по аналогии со статистикой Ферми-Дирака в физике, основанной на том факте, что каждое целое число имеет уникальное представление как произведение простых чисел Ферми-Дирака без повторения. Каждый элемент последовательности простых чисел Ферми – Дирака представляет собой наименьшее число, не делящее произведение всех предыдущих элементов. Шриниваса Рамануджан использовал простые числа Ферми – Дирака, чтобы найти наименьшее число, число делителей которого равно заданной степени двойки.

Определение

Простые числа Ферми–Дирака — это последовательность чисел, полученная возведением простого числа в степень, являющуюся степенью двойки . То есть это числа вида где – простое число и – целое неотрицательное число . Эти числа образуют последовательность: ^[1] $${\displaystyle p^{2^{k}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$

2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37,...

Их можно получить из простых чисел путем повторного возведения в квадрат , и они образуют наименьший набор чисел, включающий все простые числа и замкнутый при возведении в квадрат. ^[1]

Другой способ определения этой последовательности состоит в том, что каждый элемент представляет собой наименьшее положительное целое число, которое не делит произведение всех предыдущих элементов последовательности. ^[2]

Факторизация

Аналогично тому, как каждое положительное целое число имеет уникальную факторизацию , то есть его представление в виде произведения простых чисел (с повторением некоторых из этих чисел), каждое положительное целое число также имеет уникальную факторизацию как произведение простых чисел Ферми – Дирака без повторений. допустимый. ^{[3] [4]} Например, $${\displaystyle 2400=2\cdot 3\cdot 16\cdot 25.}$$

Простые числа Ферми-Дирака названы по аналогии с физикой элементарных частиц . В физике бозоны — это частицы, подчиняющиеся статистике Бозе-Эйнштейна , в которой допускается, чтобы несколько частиц одновременно находились в одном и том же состоянии. Фермионы — это частицы, подчиняющиеся статистике Ферми–Дирака , которая допускает только одну частицу в каждом состоянии. Точно так же для обычных простых чисел несколько копий одного и того же простого числа могут появляться в одной и той же факторизации простых чисел, но факторизация в произведение простых чисел Ферми – Дирака позволяет каждому простому числу Ферми – Дирака появляться в произведении только один раз. ^{[1] [5]}

Другие объекты недвижимости

Простые числа Ферми-Дирака можно использовать для нахождения наименьшего числа, которое имеет ровно делители , ^[6] в случае, когда оно является степенью двойки . В этом случае, как доказал Шриниваса Рамануджан , ^{[1] [7]} наименьшее число с делителями является произведением наименьших простых чисел Ферми–Дирака. Его делители — это числа, полученные умножением любого подмножества этих простых чисел Ферми – Дирака. ^{[7] [8] [9]} Например, наименьшее число с 1024 делителями получается путем умножения первых десяти простых чисел Ферми – Дирака: ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2^{k}}$ ${\displaystyle n=2^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle 294053760=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 16\cdot 17.}$$

В теории бесконечных делителей Коэна ^[10] простыми числами Ферми–Дирака являются в точности те числа, единственными бесконечными делителями которых являются 1 и само число. ^[1]

Рекомендации

1. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A050376 (простые числа Ферми-Дирака: числа формы p^(2^k), где p — простое число и k ≥ 0)», Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд ОЭИС
2. См. тесно связанную последовательность Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A084400», Онлайн -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS., который отличается только тем, что включает 1 в начале последовательности. Однако 1 делит пустой продукт всех предыдущих элементов.
3. Бернштейн, Дэниел Дж. (1995), «Перечисление и подсчет гладких целых чисел» (PDF) , Обнаружение совершенных степеней в существенно линейном времени и другие исследования в области вычислительной теории чисел (докторская диссертация), Калифорнийский университет, Беркли
4. Лицын, Симон; Шевелев, Владимир (2007), «О факторизации целых чисел с ограничениями на показатели степени», Целые числа , 7 : А33, 35, MR  2342191
5. Шевелев, В. С. (1996), "Мультипликативные функции в арифметике Ферми – Дирака", Известия высших учебных заведений, Северо-Кавказский регион, Естественные науки (4): 28–43, 101–102, MR  1647060
6. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A005179 (наименьшее число ровно с n делителями)», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
7. Рамануджан, С. (1915), «Высокосоставные числа», Труды Лондонского математического общества , s2-14 (1): 347–409, doi : 10.1112/plms/s2_14.1.347; см. раздел 47, стр. 405–406, воспроизведено в Сборнике статей Шриниваса Рамануджана , Cambridge Univ. Пресс, 2015, стр. 124–125.
8. Grost, ME (1968), «Наименьшее число с заданным числом делителей», The American Mathematical Monthly , 75 (7): 725–729, doi : 10.1080/00029890.1968.11971056, JSTOR  2315183, MR  0234901
9. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A037992 (наименьшее число с делителями 2 ^ n)», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
10. Коэн, Грэм Л. (1990), «О бесконечных делителях целого числа», Mathematics of Computation , 54 (189): 395–411, doi : 10.2307/2008701, JSTOR  2008701, MR  0993927; см. особенно следствие 1, с. 401.