Основная власть

Мощность простого числа

В математике степень простого числа – это целое положительное число , которое представляет собой положительную целую степень одного простого числа . Например: 7 = 7 ¹ , 9 = 3 ² и 64 = 2 ⁶ являются простыми степенями, а 6 = 2 × 3 , 12 = 2 ² × 3 и 36 = 6 ² = 2 ² × 3 ² — нет.

Последовательность основных полномочий начинается:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, …

(последовательность A246655 в OEIS ).

Степени простых чисел — это такие положительные целые числа, которые делятся ровно на одно простое число; в частности, число 1 не является простой степенью. Степени простых чисел также называются первичными числами , как и при первичном разложении .

Характеристики

Алгебраические свойства

Степени простых чисел – это степени простых чисел. Каждая степень простого числа (кроме степени двойки) имеет примитивный корень ; таким образом, мультипликативная группа целых чисел по модулю p ⁿ (т. е. группа единиц кольца Z / p ⁿ Z ) является циклической . ^{[1] [ нужен лучший источник ]}

Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа, и наоборот, каждая степень простого числа встречается как количество элементов в некотором конечном поле (которое уникально с точностью до изоморфизма ). ^{[2] [ нужен лучший источник ]}

Комбинаторные свойства

Свойство степеней простых чисел, часто используемое в аналитической теории чисел, заключается в том, что набор степеней простых чисел, которые не являются простыми, представляет собой небольшой набор в том смысле, что бесконечная сумма обратных им чисел сходится , хотя простые числа представляют собой большой набор. ^[3]

Свойства делимости

Тотент -функция ( φ ) и сигма-функции ( σ ₀ ) и ( σ ₁ ) простой степени вычисляются по формулам

${\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Все простые степени являются неполными числами . Степень простого числа ^pn является n - почти простым числом . Неизвестно, может ли степень простого числа p ⁿ быть членом дружественной пары . Если такое число существует, то p ⁿ должно быть больше 10 ¹⁵⁰⁰ , а n должно быть больше 1400.

Смотрите также

• Почти премьер
• Простое число Ферми – Дирака
• Идеальная мощность
• Полупервоклассный

Рекомендации

1. Дайледа, Райан К. (6 апреля 2018 г.). «Структура (Z/nZ)×» (PDF) . Математический факультет Тринити-университета . Проверено 25 декабря 2022 г.
2. Конрад, Кейт. «Конечные поля» (PDF) . Kconrad.math.uconn.edu . Проверено 25 декабря 2022 г.
3. Бэйлесс, Джонатан; Клив, Доминик (ноябрь 2013 г.). «Взаимные суммы как показатель знаний: теория, вычисления и совершенные числа». Американский математический ежемесячник . 120 (9): 822–831 – через JSTOR.

дальнейшее чтение

• Элементарная теория чисел . Джонс, Гарет А. и Джонс, Дж. Мэри. Спрингер-Верлаг Лондон Лимитед. 1998.