Дуал (теория категорий)

Соответствие между свойствами категории и ее противоположности

В теории категорий , разделе математики , двойственность — это соответствие между свойствами категории C и двойственными свойствами противоположной категории C ^op . Если дано утверждение относительно категории C , то путем перестановки источника и цели каждого морфизма , а также перестановки порядка составления двух морфизмов получается соответствующее двойственное утверждение относительно противоположной категории C ^op . Двойственность, как таковая, — это утверждение о том, что истинность инвариантна относительно этой операции над утверждениями. Другими словами, если утверждение истинно относительно C , то его двойственное утверждение истинно относительно C ^op . Кроме того, если утверждение ложно относительно C , то его двойственное утверждение должно быть ложным относительно C ^op .

При наличии конкретной категории C часто бывает так, что противоположная категория C ^op per se является абстрактной. C ^op не обязательно должна быть категорией, возникающей из математической практики. В этом случае другая категория D также называется находящейся в дуальности с C , если D и C ^op эквивалентны как категории .

В случае, когда C и его противоположность C ^op эквивалентны, такая категория является самодвойственной. ^[1]

Формальное определение

Мы определяем элементарный язык теории категорий как двухсортный язык первого порядка с объектами и морфизмами в качестве различных сортов, вместе с отношениями объекта, являющегося источником или целью морфизма, и символом для составления двух морфизмов.

Пусть σ — любое утверждение в этом языке. Мы формируем дуальное σ ^op следующим образом:

1. Поменяйте каждое вхождение «source» в σ на «target».
2. Поменять местами порядок составления морфизмов. То есть заменить каждое вхождение на ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$

Неформально эти условия гласят, что двойственное утверждение образуется путем перестановки стрелок и композиций .

Двойственность — это наблюдение, что σ истинно для некоторой категории C тогда и только тогда, когда σ ^op истинно для C ^op . ^{[2] [3]}

Примеры

• Морфизм является мономорфизмом, если подразумевает . Выполняя двойственную операцию, мы получаем утверждение, которое подразумевает Для морфизма именно это и означает, что f является эпиморфизмом . Короче говоря, свойство быть мономорфизмом двойственно свойству быть эпиморфизмом. ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ ${\displaystyle g=h}$ ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ ${\displaystyle g=h.}$ ${\displaystyle f\colon B\to A}$

Применяя двойственность, это означает, что морфизм в некоторой категории C является мономорфизмом тогда и только тогда, когда обратный морфизм в противоположной категории C ^op является эпиморфизмом.

• Примером может служить изменение направления неравенств в частичном порядке . Так, если X — это множество и ≤ отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤ _new с помощью

x ≤ _new y тогда и только тогда, когда y ≤ x .

Этот пример с порядками является особым случаем, поскольку частичные порядки соответствуют определенному виду категории, в которой Hom( A , B ) может иметь не более одного элемента. В приложениях к логике это выглядит как очень общее описание отрицания (то есть доказательства идут в противоположном направлении). Например, если мы возьмем противоположность решетки , мы обнаружим, что meets и joins меняются ролями. Это абстрактная форма законов Де Моргана или двойственности , примененной к решеткам.

• Пределы и копределы — это двойственные понятия.
• Расслоения и корасслоения являются примерами дуальных понятий в алгебраической топологии и теории гомотопий . В этом контексте двойственность часто называют двойственностью Экмана–Хилтона .

Смотрите также

• Присоединённый функтор
• Двойной объект
• Двойственность (математика)
• Противоположная категория
• Пуляционный квадрат

Ссылки

1. Йиржи Адамек; Дж. Росицки (1994). Локально презентабельные и доступные категории. Cambridge University Press. стр. 62. ISBN 978-0-521-42261-1.
2. Мак Лейн 1978, стр. 33.
3. Аводей 2010, стр. 53-55.

• «Двойственная категория», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Принцип двойственности», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Двойственность», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1978). Категории для работающего математика (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. стр. 33. ISBN 1441931236. OCLC  851741862.
• Аводей, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. С. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC  740446073.