Антитетические вариации

Метод Монте-Карло

В статистике метод антитетических переменных представляет собой метод снижения дисперсии , используемый в методах Монте-Карло . Учитывая, что ошибка в моделируемом сигнале (с использованием методов Монте-Карло ) имеет сходимость с квадратным корнем один над другим , для получения точного результата требуется очень большое количество путей выборки . Метод антитетических переменных уменьшает дисперсию результатов моделирования. ^{[1] [2]}

Основной принцип

Метод антитетических вариаций заключается в том, что для каждого полученного пути выборки берется его антитетический путь — то есть дается путь, который также можно взять . Преимущество этого метода двоякое: он уменьшает количество нормальных выборок, которые необходимо взять для генерации N путей, и уменьшает дисперсию путей выборки, повышая точность. ${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$ ${\displaystyle \{-\varepsilon _{1},\dots ,-\varepsilon _{M}\}}$

Предположим, что мы хотели бы оценить

${\displaystyle \theta =\mathrm {E} (h(X))=\mathrm {E} (Y)\,}$

Для этого мы сгенерировали два образца

${\displaystyle Y_{1}{\text{ and }}Y_{2}\,}$

Непредвзятая оценка дается формулой ${\displaystyle {\theta }}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {Y_{1}+Y_{2}}{2}}.}$

И

${\displaystyle {\text{Var}}({\hat {\theta }})={\frac {{\text{Var}}(Y_{1})+{\text{Var}}(Y_{2})+2{\text{Cov}}(Y_{1},Y_{2})}{4}}}$

поэтому дисперсия уменьшается, если она отрицательна. ${\displaystyle {\text{Cov}}(Y_{1},Y_{2})}$

Пример 1

Если закон переменной X следует равномерному распределению вдоль [0, 1], то первая выборка будет , где для любого заданного i получается из U (0, 1). Вторая выборка строится из , где для любого заданного i : . Если набор равномерен вдоль [0, 1], то и . Более того, ковариация отрицательна, что позволяет уменьшить начальную дисперсию. ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle u'_{1},\ldots ,u'_{n}}$ ${\displaystyle u'_{i}=1-u_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle u'_{i}}$

Пример 2: интегральный расчет

Мы хотели бы оценить

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x.}$

Точный результат: . Этот интеграл можно рассматривать как ожидаемое значение , где ${\displaystyle I=\ln 2\approx 0.69314718}$ ${\displaystyle f(U)}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x}}}$

и U следует равномерному распределению  [0, 1].

В следующей таблице сравнивается классическая оценка Монте-Карло (размер выборки: 2 n , где n  = 1500) с оценкой антитетических переменных (размер выборки: n , дополненной преобразованной выборкой 1 −  u _i ):

Использование метода антитетических переменных для оценки результата показывает существенное снижение дисперсии.

Смотрите также

• Контрольные переменные

Ссылки

1. Ботев, З.; Риддер, А. (2017). «Снижение дисперсии». Wiley StatsRef: Справочник по статистике онлайн : 1–6. doi : 10.1002/9781118445112.stat07975. ISBN 9781118445112.
2. Kroese, DP ; Taimre, T.; Botev, ZI (2011). Справочник по методам Монте-Карло . John Wiley & Sons.(Глава 9.3)