В математике процент (от латинского per centum «на сто») — число или отношение, выраженное в виде дроби от 100. Часто обозначается знаком процента (%), [1] хотя также используются сокращения pct. , pct и иногда pc . [2] Процент — это безразмерное число (чистое число), в основном используемое для выражения пропорций, но процент, тем не менее, является единицей измерения в своей орфографии и использовании. [3]
Например, 45% (читается как «сорок пять процентов») равно дроби 45/100 , соотношение 45:55 (или 45:100 при сравнении с общей суммой, а не с другой частью), или 0,45. Проценты часто используются для выражения пропорциональной части общей суммы.
(Аналогичным образом можно выразить число как дробь от 1000, используя термин « промилле » или символ « ‰ ».)
Если 50% от общего числа учеников в классе — мужчины, это означает, что 50 из каждых 100 учеников — мужчины. Если учеников 500, то 250 из них — мужчины.
Увеличение цены на 0,15 долл. США при цене 2,50 долл. США составляет увеличение на долю 0,15/2.50 = 0,06. В процентном выражении это увеличение составляет 6%.
Хотя многие процентные значения находятся в диапазоне от 0 до 100, математических ограничений нет, и проценты могут принимать другие значения. [4] Например, обычно ссылаются на 111% или -35%, особенно для процентных изменений и сравнений.
В Древнем Риме , задолго до появления десятичной системы, вычисления часто производились в дробях, кратных 1/100 . Например, Август взимал налог в размере 1/100 на товары, проданные на аукционе, известном как centesima rerum venalium . Вычисление с этими дробями было эквивалентно вычислению процентов.
По мере того, как номиналы денег росли в Средние века , вычисления со знаменателем 100 становились все более стандартными, так что с конца 15-го века до начала 16-го века стало обычным для арифметических текстов включать такие вычисления. Многие из этих текстов применяли эти методы к прибылям и убыткам, процентным ставкам и правилу трех . К 17-му веку стало стандартом указывать процентные ставки в сотых долях. [5]
Термин «процент» происходит от латинского per centum , что означает «сто» или «по сотне». [6] [7] Знак для «процента» развился путем постепенного сокращения итальянского термина per cento , что означает «за сто». «per» часто сокращалось до «p.» — в конечном итоге полностью исчезло. «cento» сократилось до двух кругов, разделенных горизонтальной линией, от которой произошел современный символ «%». [8]
Процентное значение вычисляется путем умножения числового значения отношения на 100. Например, чтобы найти 50 яблок как процент от 1250 яблок, сначала вычисляется отношение 50/1250 = 0,04, а затем умножается на 100, чтобы получить 4%. Процентное значение также можно найти, умножив сначала, а не потом, так что в этом примере 50 будет умножено на 100, чтобы получить 5000, и этот результат будет разделен на 1250, чтобы получить 4%.
Чтобы вычислить процент от процента, преобразуйте оба процента в дроби 100 или в десятичные дроби и умножьте их. Например, 50% от 40% равно:
Неправильно делить на 100 и одновременно использовать знак процента; это буквально означало бы деление на 10 000. Например, 25% = 25/100 = 0,25 , а не 25%/100 , что на самом деле 25⁄100/100 = 0,0025 . Такой термин, как 100/100 % также будет неверным, поскольку это будет прочитано как 1 процент, даже если имелось в виду 100%.
Всякий раз, когда речь идет о проценте, важно указать, к чему он относится (т. е. какая сумма соответствует 100%). Следующая задача иллюстрирует этот момент.
В определенном колледже 60% всех студентов — девушки, а 10% всех студентов — специалисты по компьютерным наукам. Если 5% студентов-девушек — специалисты по компьютерным наукам, какой процент студентов-компьютерщиков — девушки?
Нас просят вычислить соотношение женщин-специалистов по компьютерным наукам ко всем специальностям по компьютерным наукам. Мы знаем, что 60% всех студентов — женщины, и среди них 5% — специалисты по компьютерным наукам, поэтому мы приходим к выводу, что 60/100 × 5/100 = 3/100 или 3% всех студентов — девушки, изучающие компьютерные науки. Разделив это на 10% всех студентов, изучающих компьютерные науки, мы получаем ответ: 3%/10% = 30/100 или 30% всех студентов, изучающих компьютерные науки, составляют женщины.
Этот пример тесно связан с концепцией условной вероятности .
Из-за коммутативного свойства умножения перестановка знаков выражений не меняет результат; например, 50% от 20 равно 10, а 20% от 50 равно 10.
Расчет процентов осуществляется и преподается разными способами в зависимости от предпосылок и требований. Таким образом, обычные формулы могут быть получены с помощью пропорций, что избавляет их от необходимости их запоминать. В так называемой ментальной арифметике обычно задается промежуточный вопрос о том, чему соответствует 100% или 1%.
Пример:
42 кг составляет 7%. Сколько составляет (соответствует) 100%?
Даны W (процент) и p % (процент).
Ищем G (базисное значение).
Из-за непоследовательного использования не всегда ясно из контекста, к чему относится процент. Когда говорят о «росте на 10%» или «падении на 10%» количества, обычно трактуют это как относительное к первоначальному значению этого количества. Например, если изначально цена товара составляла 200 долларов, а затем цена выросла на 10% (увеличение на 20 долларов), новая цена составит 220 долларов. Обратите внимание, что эта окончательная цена составляет 110% от первоначальной цены (100% + 10% = 110%).
Еще несколько примеров процентных изменений :
В общем случае изменение количества на x процентов приводит к получению конечной суммы, составляющей 100 + x процентов от первоначальной суммы (что эквивалентно (1 + 0,01 x ) раз больше первоначальной суммы).
Процентные изменения, применяемые последовательно, не складываются обычным образом. Например, если за 10%-ным ростом цены, рассмотренным ранее (для товара стоимостью 200 долларов, что повышает его цену до 220 долларов), следует 10%-ное снижение цены (снижение на 22 доллара), то окончательная цена составит 198 долларов, а не первоначальная цена в 200 долларов. Причина этого очевидного расхождения в том, что два процентных изменения (+10% и −10%) измеряются относительно разных начальных значений (соответственно 200 и 220 долларов) и, таким образом, не «отменяют друг друга».
В общем случае, если за увеличением на x процентов следует уменьшение на x процентов, а начальная сумма была p , то конечная сумма равна p (1 + 0,01 x )(1 − 0,01 x ) = p (1 − (0,01 x ) 2 ) ; следовательно, чистое изменение представляет собой общее уменьшение на x процентов от x процентов (квадрат исходного процентного изменения, выраженного в виде десятичного числа). Таким образом, в приведенном выше примере после увеличения и уменьшения на x = 10 процентов конечная сумма, $198, была на 10% от 10%, или на 1%, меньше начальной суммы в $200. Чистое изменение будет таким же для уменьшения на x процентов, за которым следует увеличение на x процентов; конечная сумма равна p (1 - 0,01 x )(1 + 0,01 x ) = p (1 − (0,01 x ) 2 ) .
Это можно расширить для случая, когда процентное изменение не одинаково. Если начальная сумма p приводит к процентному изменению x , а второе процентное изменение равно y , то конечная сумма равна p (1 + 0,01 x )(1 + 0,01 y ) . Чтобы изменить приведенный выше пример, после увеличения x = 10 процентов и уменьшения y = −5 процентов конечная сумма, $209, на 4,5% больше начальной суммы $200.
Как показано выше, процентные изменения можно применять в любом порядке и они будут иметь тот же эффект.
В случае процентных ставок очень распространенный, но неоднозначный способ сказать, что процентная ставка выросла с 10% годовых до 15% годовых, например, состоит в том, чтобы сказать, что процентная ставка выросла на 5%, что теоретически может означать, что она выросла с 10% годовых до 10,5% годовых. Яснее сказать, что процентная ставка выросла на 5 процентных пунктов (п. п.). Та же путаница между различными концепциями процента (возраста) и процентных пунктов может потенциально вызвать серьезное недоразумение, когда журналисты сообщают о результатах выборов, например, выражая как новые результаты, так и различия с более ранними результатами в процентах. Например, если партия получает 41% голосов, и говорят, что это увеличение на 2,5%, означает ли это, что более ранний результат был 40% (поскольку 41 = 40 × (1 + 2.5/100 ) ) или 38,5% (так как 41 =38,5 + 2,5)?
На финансовых рынках принято называть увеличение на один процентный пункт (например, с 3% годовых до 4% годовых) увеличением на «100 базисных пунктов».
В большинстве форм английского языка процент обычно пишется двумя словами ( percent ), хотя процент и процентиль пишутся одним словом. [9] В американском английском процент является наиболее распространённым вариантом [10] (но промилле пишется двумя словами).
В начале 20 века существовала точечная форма сокращения « percent. », в отличие от « percent ». Форма « percent. » все еще используется в высокоформальном языке, встречающемся в определенных документах, таких как коммерческие кредитные соглашения (особенно те, которые подчиняются общему праву или вдохновлены им), а также в стенограммах заседаний британского парламента в Гансарде . Термин был приписан латинскому per centum . [11] Символ процента (%) произошел от символа, сокращающего итальянское per cento . В некоторых других языках вместо него используется форма procent или prosent . Некоторые языки используют как слово, производное от percent , так и выражение на этом языке, означающее то же самое, например, румынские procent и la sută (таким образом, 10% можно читать или иногда писать ten for [each] stock , аналогично английскому one out of ten ). Другие сокращения встречаются реже, но иногда встречаются.
Руководства по грамматике и стилю часто расходятся во мнениях о том, как следует писать проценты. Например, обычно предлагается, чтобы слово процент (или процент) писалось во всех текстах, как "1 процент", а не "1%". Другие руководства предпочитают, чтобы слово было написано в гуманистических текстах, но символ использовался в научных текстах. Большинство руководств сходятся во мнении, что они всегда пишутся с цифрой, как "5 процентов", а не "пять процентов", единственным исключением является начало предложения: "Десять процентов всех писателей любят руководства по стилю". Десятичные дроби также следует использовать вместо дробей, как "3,5 процента прироста", а не " 3+1 ⁄ 2 процента от прироста». Однако названия облигаций, выпущенных правительствами и другими эмитентами, используют дробную форму, например « 3+1 ⁄ 2 % Необеспеченный заем 2032 Серия 2". (Когда процентные ставки очень низкие, число 0 включается, если процентная ставка составляет менее 1%, например " 0+(3 ⁄ 4 % казначейских акций", а не " 3 ⁄ 4 % казначейских акций".) Также широко принято использовать символ процента (%) в табличных и графических материалах.
В соответствии с общепринятой практикой английского языка, руководства по стилю, такие как The Chicago Manual of Style , обычно утверждают, что число и знак процента пишутся без пробела между ними. [12] Однако Международная система единиц и стандарт ISO 31-0 требуют пробела. [13] [14]
Слово «процент» часто употребляется неправильно в контексте спортивной статистики, когда указанное число выражается в виде десятичной пропорции, а не процента: « Шакил О'Нил из Phoenix Suns лидировал в НБА с процентом попаданий с игры (FG%) .609 в сезоне 2008–09». (О'Нил реализовал 60,9% своих бросков, а не 0,609%.) Аналогичным образом, процент побед команды, доля матчей, которые выиграл клуб, также обычно выражается в виде десятичной пропорции; команда с процентом побед .500 выиграла 50% своих матчей. Такая практика, вероятно, связана с аналогичным способом указания средних показателей отбивания .
В качестве «процента» он используется для описания уклона или крутизны дороги или железной дороги , формула для которой — 100 × рост/бегать что также можно выразить как тангенс угла наклона, умноженный на 100. Это отношение расстояний, которые транспортное средство продвинется по вертикали и горизонтали соответственно при движении вверх или вниз по склону, выраженное в процентах.
Процент также используется для выражения состава смеси в массовых процентах и мольных процентах .
Новое региональное различие между BrE и AmE в этой области развилось за последние тридцать лет. Хотя в 1961 году для американских журналистов было все еще довольно распространено писать либо процент, либо (реже) процент, последний вариант написания теперь, по-видимому, является единственно возможным.
Словарное определение процента в Викисловаре