Процесс Кэли Ω

Математический процесс

В математике Ω-процесс Кэли , введенный Артуром Кэли  (1846), представляет собой относительно инвариантный дифференциальный оператор на общей линейной группе , который используется для построения инвариантов группового действия .

Как оператор частного дифференциала, действующий на функции n ² переменных x _ij , оператор омега задается определителем

${\displaystyle \Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.}$

Для бинарных форм f в x ₁ , y ₁ и g в x ₂ , y ₂ оператор Ω равен . Тогда r -кратный Ω-процесс Ω ^r ( f , g ) на двух формах f и g в переменных x и y равен ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{2}\partial y_{1}}}}$

1. Преобразовать f в форму x ₁ , y ₁ и g в форму x ₂ , y ₂
2. Применим оператор Ω r раз к функции fg , то есть f умножим на g по этим четырем переменным
3. Замените x на x ₁ и x ₂ , y на y ₁ и y ₂ в результате

Результат r -кратного Ω-процесса Ω ^r ( f , g ) двух форм f и g также называется r - м трансвектантом и обычно записывается как ( f , g ) ^r .

Приложения

Процесс Кэли Ω появляется в тождестве Капелли , которое Вейль (1946) использовал для нахождения генераторов инвариантов различных классических групп, действующих на натуральных полиномиальных алгебрах.

Гильберт (1890) использовал процесс Кэли Ω в своем доказательстве конечной генеративности колец инвариантов общей линейной группы. Его использование процесса Ω дает явную формулу для оператора Рейнольдса специальной линейной группы.

Для определения трансвектантов используется Ω-процесс Кэли .

Ссылки

• Кейли, Артур (1846), «О линейных преобразованиях», Cambridge and Dublin Mathematical Journal , 1 : 104–122Перепечатано в Cayley (1889), The collected Mathematical Papers , т. 1, Кембридж: Cambridge University Press, стр. 95–112
• Гильберт, Дэвид (1890), «Ueber die Theorie der алгебраических форм», Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi : 10.1007/BF01208503, ISSN  0025-5831, S2CID  179177713
• Хоу, Роджер (1989), «Замечания о классической теории инвариантов», Труды Американского математического общества , 313 (2), Американское математическое общество: 539–570, doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X , ISSN  0002-9947, JSTOR  2001418, MR  0986027
• Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55821-1
• Штурмфельс, Бернд (1993), Алгоритмы в теории инвариантов , Тексты и монографии по символьным вычислениям, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-211-82445-0, МР  1255980
• Вейль, Герман (1946), Классические группы: их инварианты и представления, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR  0000255 , получено 26 марта 2007 г.