Прыжки с переменной дальностью

Прыжки с переменной длиной прыжка — это модель, используемая для описания переноса носителей в неупорядоченном полупроводнике или в аморфном твердом теле с помощью прыжков в расширенном диапазоне температур. ^[1] Она имеет характерную температурную зависимость

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{\beta }}}$

где — проводимость, а — параметр, зависящий от рассматриваемой модели. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta }$

Мотта с переменным диапазоном прыжков

Прыжки Мотта с переменной длиной прыжка описывают низкотемпературную проводимость в сильно неупорядоченных системах с локализованными состояниями носителей заряда ^[2] и имеют характерную температурную зависимость

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/4}}}$

для трехмерной проводимости (с = 1/4) и обобщена на d -измерения ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/(d+1)}}}$.

Прыжковая проводимость при низких температурах представляет большой интерес из-за экономии, которую могла бы получить полупроводниковая промышленность, если бы ей удалось заменить монокристаллические устройства стеклянными слоями. ^[3]

Вывод

В оригинальной статье Мотта было введено упрощающее предположение о том, что энергия прыжка обратно пропорциональна кубу расстояния прыжка (в трехмерном случае). Позже было показано, что это предположение было излишним, и это доказательство приведено здесь. ^[4] В оригинальной статье вероятность прыжка при заданной температуре рассматривалась как зависящая от двух параметров: R — пространственного разделения участков и W — их энергетического разделения. Эпсли и Хьюз отметили, что в истинно аморфной системе эти переменные случайны и независимы, и поэтому их можно объединить в один параметр — диапазон между двумя участками, который определяет вероятность прыжка между ними. ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

Мотт показал, что вероятность перехода между двумя состояниями пространственного разделения и энергетического разделения W имеет вид: ${\displaystyle \textstyle R}$

${\displaystyle P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]}$

где α ⁻¹ — длина затухания для водородоподобной локализованной волновой функции. Это предполагает, что переход в состояние с более высокой энергией является процессом, ограничивающим скорость.

Теперь определим , диапазон между двумя состояниями, так что . Состояния можно рассматривать как точки в четырехмерном случайном массиве (три пространственные координаты и одна энергетическая координата), причем «расстояние» между ними задается диапазоном . ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT}$ ${\displaystyle \textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

Проводимость является результатом многих серий прыжков через этот четырехмерный массив, и поскольку прыжки на короткие расстояния являются предпочтительными, то это среднее расстояние между ближайшими соседями между состояниями, которое определяет общую проводимость. Таким образом, проводимость имеет форму

${\displaystyle \sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R}}}_{nn})}$

где — средний диапазон ближайших соседей. Поэтому проблема состоит в том, чтобы вычислить эту величину. ${\displaystyle \textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}}$

Первый шаг — получить , общее число состояний в диапазоне некоторого начального состояния на уровне Ферми. Для d -измерений и при определенных предположениях это оказывается ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}}$

где . Конкретные предположения таковы, что это намного меньше ширины полосы и намного больше межатомного расстояния. ${\displaystyle \textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\times 2^{d}\alpha ^{d}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}}$

Тогда вероятность того, что состояние с диапазоном является ближайшим соседом в четырехмерном пространстве (или в общем случае ( d +1)-мерном пространстве), равна ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\partial {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}{\partial {\mathcal {R}}}}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]}$

распределение ближайших соседей.

Для d -мерного случая тогда

${\displaystyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int _{0}^{\infty }(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\mathcal {R}}}$.

Это можно оценить, выполнив простую подстановку в гамма-функцию , ${\displaystyle \textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}}$ ${\displaystyle \textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$

После некоторой алгебры это дает

${\displaystyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{d+1}})}{K^{\frac {1}{d+1}}}}}$

и отсюда следует, что

${\displaystyle \sigma \propto \exp \left(-T^{-{\frac {1}{d+1}}}\right)}$.

Непостоянная плотность состояний

Когда плотность состояний не является постоянной (нечетный степенной закон N(E)), проводимость Мотта также восстанавливается, как показано в этой статье.

Прыжок Эфроса–Шкловского с переменной дальностью

Прыжки с переменной длиной волны Эфроса-Шкловского (ES) — это модель проводимости, которая учитывает кулоновскую щель , небольшой скачок в плотности состояний вблизи уровня Ферми из-за взаимодействия между локализованными электронами. ^[5] Она была названа в честь Алексея Л. Эфроса и Бориса Шкловского , которые предложили ее в 1975 году. ^[5]

Учет кулоновской щели изменяет температурную зависимость на

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/2}}}$

для всех измерений (т.е. = 1/2). ^{[6] [7]} ${\displaystyle \beta }$

Смотрите также

• Физический портал

• Край мобильности

Примечания

1. Хилл, Р. М. (1976-04-16). «Прыжки с переменной дальностью». Physica Status Solidi A. 34 ( 2): 601–613. Bibcode : 1976PSSAR..34..601H. doi : 10.1002/pssa.2210340223. ISSN  0031-8965.
2. Мотт, Н. Ф. (1969). «Проводимость некристаллических материалов». Philosophical Magazine . 19 (160). Informa UK Limited: 835–852. Bibcode : 1969PMag...19..835M. doi : 10.1080/14786436908216338. ISSN  0031-8086.
3. PVE МакКлинток, DJ Мередит, JK Вигмор. Материя при низких температурах . Блэки. 1984 ISBN 0-216-91594-5 . 
4. Эпсли, Н.; Хьюз, Х. П. (1974). «Зависимость прыжковой проводимости от температуры и поля в неупорядоченных системах». Philosophical Magazine . 30 (5). Informa UK Limited: 963–972. Bibcode : 1974PMag...30..963A. doi : 10.1080/14786437408207250. ISSN  0031-8086.
5. Эфрос, АЛ; Шкловский, БИ (1975). "Кулоновская щель и низкотемпературная проводимость неупорядоченных систем". Journal of Physics C: Solid State Physics . 8 (4): L49. Bibcode :1975JPhC....8L..49E. doi :10.1088/0022-3719/8/4/003. ISSN  0022-3719.
6. Ли, Чжаогуо (2017). «Переход между прыжковой проводимостью Эфроса–Шкловского и Мотта с переменной длиной прыжка в тонких пленках поликристаллического германия». Наука и технология полупроводников . 32 (3). et. al: 035010. Bibcode : 2017SeScT..32c5010L. doi : 10.1088/1361-6641/aa5390. S2CID  99091706.
7. Розенбаум, Ральф (1991). «Переход от Мотта к Эфросу-Шкловскому скачкообразной проводимости в пленках InxOy». Physical Review B. 44 ( 8): 3599–3603. Bibcode : 1991PhRvB..44.3599R. doi : 10.1103/physrevb.44.3599. ISSN  0163-1829. PMID  9999988.