Четвертая, пятая и шестая производные положения.

Высшие производные вектора положения по времени

Производные по времени от позиции

В физике четвертая , пятая и шестая производные положения определяются как производные вектора положения по времени , причем первая, вторая и третья производные представляют собой скорость , ускорение и рывок соответственно. Производные более высокого порядка встречаются реже, чем первые три; ^{[1] [2]} таким образом, их имена не стандартизированы, хотя концепция минимальной траектории привязки использовалась в робототехнике и реализована в MATLAB . ^[3]

Четвертая производная называется snap , поэтому пятая и шестая производные «иногда несколько шутливо» ^[4] называются «треск» и «поп» , вдохновленные талисманами Rice Krispies Snap, Crackle и Pop . ^[5] Четвертую производную еще называют прыжком . ^[4]

.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Четвертая производная (щелчок/отскок)

Щелчок, ^[6] или отскок, ^[2] — это четвертая производная вектора положения по времени или скорости изменения рывка по времени. ^[4] Эквивалентно, это вторая производная ускорения или третья производная скорости и определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

$${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.}$$

гражданском строительствежелезнодорожных путейрадиусами кривизнырадиального ускоренияклотоидной^[1]

Следующие уравнения используются для постоянной привязки:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle {\vec {s}}}$это постоянная привязка,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$это первоначальный рывок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$это последний придурок,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$- начальное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$конечное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$- начальная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$конечная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$это исходное положение,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$это конечная позиция,
• ${\displaystyle t}$время между начальным и конечным состояниями.

Обозначение (используемое Виссером ^[4] ) не следует путать с вектором смещения, обычно обозначаемым аналогичным образом. ${\displaystyle {\vec {s}}}$

Размеры щелчка представляют собой расстояние в четвертой степени времени (LT ^-4 ). Соответствующей единицей СИ является метр в секунду в четвертой степени, м/с ⁴ , м⋅с ⁻⁴ .

Пятая производная

Пятую производную вектора положения по времени иногда называют потрескиванием. ^[5] Это скорость изменения привязки во времени. ^{[5] [4]} Треск определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

$${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$$

Следующие уравнения используются для постоянного потрескивания:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\[1ex]{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\[1ex]{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\[1ex]{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\[1ex]{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ : постоянный треск,
• ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : начальная привязка,
• ${\displaystyle {\vec {s}}}$ : последний снимок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : начальный рывок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : последний рывок,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : начальное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ : окончательное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : Начальная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ : конечная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : исходное положение,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ : конечная позиция,
• ${\displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры кракле составляют LT ^-5 . Соответствующая единица измерения СИ — м/с ⁵ .

Шестая производная

Шестую производную вектора положения по времени иногда называют поп. ^[5] Это скорость изменения потрескивания во времени. ^{[5] [4]} Pop определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

$${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}}$$

Следующие уравнения используются для постоянного пульса:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}&={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t\\{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle {\vec {p}}}$ : постоянный хлопок,
• ${\displaystyle {\vec {c}}_{0}}$ : начальный треск,
• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ : финальный треск,
• ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : начальная привязка,
• ${\displaystyle {\vec {s}}}$ : последний снимок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : начальный рывок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : последний рывок,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : начальное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ : окончательное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : Начальная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ : конечная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : исходное положение,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ : конечная позиция,
• ${\displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры pop составляют LT ⁻⁶ . Соответствующая единица измерения СИ — м/с ⁶ .

Рекомендации

1. Игер, Дэвид; Пендрилл, Энн-Мари; Рейстад, Нина (13 октября 2016 г.). «Помимо скорости и ускорения: рывок, рывок и высшие производные». Европейский журнал физики . 37 (6): 065008. Бибкод : 2016EJPh...37f5008E. дои : 10.1088/0143-0807/37/6/065008 . hdl : 10453/56556 . ISSN  0143-0807. S2CID  19486813.
2. Грагерт, Стефани; Гиббс, Филип (ноябрь 1998 г.). «Какой термин используется для обозначения третьей производной положения?». Usenet Часто задаваемые вопросы по физике и теории относительности . Математический факультет Калифорнийского университета, Риверсайд . Проверено 24 октября 2015 г.
3. "Документация MATLAB: minsnappolytraj" .
4. Виссер, Мэтт (31 марта 2004 г.). «Рывок, щелчок и космологическое уравнение состояния». Классическая и квантовая гравитация . 21 (11): 2603–2616. arXiv : gr-qc/0309109 . Бибкод : 2004CQGra..21.2603V. дои : 10.1088/0264-9381/21/11/006. ISSN  0264-9381. S2CID  250859930. Привязку [четвертую производную по времени] также иногда называют прыжком. Пятую и шестую производные по времени иногда в шутку называют треском и треском.
5. Томпсон, Питер М. (5 мая 2011 г.). «Щелчок, треск и хлоп» (PDF) . Информация АИАА . Хоторн, Калифорния: Системные технологии. п. 1. Архивировано из оригинала 26 июня 2018 года . Проверено 3 марта 2017 г. Общие названия первых трех производных — скорость, ускорение и рывок. Не столь распространенные названия следующих трех производных — Snap, Crackle и Pop.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
6. Меллингер, Дэниел; Кумар, Виджай (2011). «Формирование и управление минимальной траекторией привязки для квадрокоптеров». 2011 Международная конференция IEEE по робототехнике и автоматизации . стр. 2520–2525. дои : 10.1109/ICRA.2011.5980409. ISBN 978-1-61284-386-5. S2CID  18169351.

Внешние ссылки

• Словарное определение прыжка в Викисловаре