В математике произведение колец или прямое произведение колец — это кольцо , образованное декартовым произведением базовых множеств нескольких колец (возможно, бесконечности), снабженное покомпонентными операциями . Это прямое произведение в категории колец .
Поскольку прямые произведения определены с точностью до изоморфизма , в разговорной речи говорят, что кольцо является произведением некоторых колец, если оно изоморфно прямому произведению этих колец. Например, китайская теорема об остатках может быть сформулирована так: если m и n — взаимно простые целые числа , то фактор-кольцо является произведением и
Важным примером является Z / n Z , кольцо целых чисел по модулю n . Если n записать как произведение степеней простых чисел (см. Основная теорема арифметики ),
где p i — различные простые числа , то Z / n Z естественно изоморфно произведению
Это следует из китайской теоремы об остатках .
Если R = Π i ∈ I R i — произведение колец, то для каждого i из I мы имеем сюръективный гомоморфизм колец p i : R → R i , который проецирует произведение на i -ю координату. Произведение R вместе с проекциями p i обладает следующим универсальным свойством :
Это показывает, что произведение колец является примером произведений в смысле теории категорий .
Когда I конечно, базовая аддитивная группа Π i ∈ I R i совпадает с прямой суммой аддитивных групп R i . В этом случае некоторые авторы называют R «прямой суммой колец R i » и пишут ⊕ i ∈ I R i , но это неверно с точки зрения теории категорий , поскольку обычно это не копроизведение в категории колец (с тождеством): например, когда два или более из R i нетривиальны , отображение включения R i → R не отображает 1 в 1 и, следовательно , не является гомоморфизмом колец.
(Конечное копроизведение в категории коммутативных алгебр над коммутативным кольцом является тензорным произведением алгебр . Копроизведение в категории алгебр является свободным произведением алгебр .)
Прямые произведения коммутативны и ассоциативны с точностью до естественного изоморфизма, то есть не имеет значения, в каком порядке формируется прямое произведение.
Если A i является идеалом кольца R i для каждого i из I , то A = Π i ∈ I A i является идеалом кольца R . Если I конечно, то обратное верно, т. е. каждый идеал кольца R имеет этот вид. Однако, если I бесконечно и кольца R i нетривиальны, то обратное неверно: множество элементов со всеми, кроме конечного числа, ненулевыми координатами образует идеал, который не является прямым произведением идеалов кольца R i . Идеал A является простым идеалом в R , если все, кроме одного, A i равны R i , а оставшийся A i является простым идеалом в R i . Однако обратное неверно, когда I бесконечно. Например, прямая сумма R i образует идеал, не содержащийся ни в одном таком A , но аксиома выбора гласит, что он содержится в некотором максимальном идеале , который заведомо является простым.
Элемент x в R является единицей тогда и только тогда, когда все его компоненты являются единицами, т. е. тогда и только тогда, когда p i ( x ) является единицей в R i для каждого i в I. Группа единиц R является произведением групп единиц R i .
Произведение двух или более нетривиальных колец всегда имеет ненулевые делители нуля : если x — элемент произведения, все координаты которого равны нулю, за исключением p i ( x ), а y — элемент произведения со всеми координатами, равными нулю, за исключением p j ( y ), где i ≠ j , то xy = 0 в кольце произведения.
