Прямоугольник

Четырехугольник с четырьмя прямыми углами

В евклидовой геометрии прямоугольник — это прямоугольный выпуклый многоугольник или четырёхугольник с четырьмя прямыми углами . Его также можно определить как: равноугольный четырёхугольник, поскольку равноугольный означает, что все его углы равны (360°/4 = 90°); или параллелограмм, содержащий прямой угол. Прямоугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины — квадрат . Термин «продолговатый» используется для обозначения неквадратного прямоугольника . ^{[1] [2] [3]} Прямоугольник с вершинами ABCD будет обозначаться как ABCD . 

Слово «прямоугольник» происходит от латинского rectangulus , которое представляет собой комбинацию слов rectus (как прилагательное, прямой, правильный) и angulus ( угол ).

Пересеченный прямоугольник — это пересечённый (самопересекающийся) четырёхугольник, который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями ^[4] (следовательно, только две стороны параллельны). Это особый случай антипараллелограмма , и его углы не прямые и не все равны, хотя противолежащие углы равны. Другие геометрии, такие как сферическая , эллиптическая и гиперболическая , имеют так называемые прямоугольники с противолежащими сторонами, равными по длине и равными углами, которые не являются прямыми.

Прямоугольники используются во многих задачах замощения, таких как замощение плоскости прямоугольниками или замощение прямоугольника многоугольниками .

Характеристика

Выпуклый четырехугольник является прямоугольником тогда и только тогда, когда он удовлетворяет одному из следующих условий: ^[5] [ ^6]

• параллелограмм , имеющий по крайней мере один прямой угол
• параллелограмм с диагоналями одинаковой длины
• параллелограмм ABCD , в котором треугольники ABD и DCA равны
• равноугольный четырехугольник
• четырехугольник с четырьмя прямыми углами
• четырехугольник, в котором две диагонали равны по длине и делят друг друга пополам ^[7]
• выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d, площадь которого равна . ^{[8] : fn.1} ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$
• выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d, площадь которого равна ^[8] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.}$

Классификация

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма и трапеции . Квадрат является частным случаем прямоугольника.

Традиционная иерархия

Прямоугольник — частный случай параллелограмма , в котором каждая пара смежных сторон перпендикулярна .

Параллелограмм — это частный случай трапеции (в Северной Америке её называют трапецией ), в которой обе пары противоположных сторон параллельны и равны по длине .

Трапеция — выпуклый четырёхугольник , имеющий по крайней мере одну пару параллельных противолежащих сторон.

Выпуклый четырехугольник — это

• Все просто : граница не пересекает сама себя.
• Звездообразная : вся внутренняя часть видна из одной точки, не пересекая ни одного края.

Альтернативная иерархия

Де Вильерс определяет прямоугольник в более общем смысле как любой четырехугольник с осями симметрии, проходящими через каждую пару противоположных сторон. ^[9] Это определение включает как прямоугольные прямоугольники, так и перекрещенные прямоугольники. Каждый из них имеет ось симметрии, параллельную и равноудаленную от пары противоположных сторон, и другую, которая является перпендикуляром к этим сторонам, но в случае перекрещенного прямоугольника первая ось не является осью симметрии ни для одной из сторон, которую она делит пополам.

Четырехугольники с двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через пару противоположных сторон, относятся к большему классу четырехугольников, имеющих по крайней мере одну ось симметрии через пару противоположных сторон. Эти четырехугольники включают равнобедренные трапеции и скрещенные равнобедренные трапеции (скрещенные четырехугольники с тем же расположением вершин, что и равнобедренные трапеции).

Характеристики

Симметрия

Прямоугольник является вписанным : все его углы лежат на одной окружности .

Он равноугольный : все его углы равны (каждый по 90 градусов ).

Он изогональный или вершинно-транзитивный : все углы лежат внутри одной и той же орбиты симметрии .

Имеет две линии отражательной симметрии и вращательную симметрию 2-го порядка (на 180°).

Двойственность прямоугольника и ромба

Двойственный многоугольник прямоугольника — ромб , как показано в таблице ниже. ^[10]

• Фигура, образованная соединением по порядку середин сторон прямоугольника, является ромбом , и наоборот.

Разнообразный

Прямоугольник — это прямоугольный многоугольник : его стороны пересекаются под прямым углом.

Прямоугольник на плоскости можно определить пятью независимыми степенями свободы , например, тремя для положения (включая две для перемещения и одну для вращения ), одной для формы ( соотношение сторон ) и одной для общего размера (площадь).

Два прямоугольника, ни один из которых не помещается внутри другого, называются несравнимыми .

Формулы

Формула периметра прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

Если прямоугольник имеет длину и ширину , то: ^[11] ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle w}$

• имеет площадь ; ${\displaystyle A=\ell w\,}$
• имеет периметр ; ${\displaystyle P=2\ell +2w=2(\ell +w)\,}$
• каждая диагональ имеет длину ; и ${\displaystyle d={\sqrt {\ell ^{2}+w^{2}}}}$
• когда , прямоугольник является квадратом . [ ^1] ${\displaystyle \ell =w\,}$

Теоремы

Изопериметрическая теорема для прямоугольников утверждает, что среди всех прямоугольников заданного периметра квадрат имеет наибольшую площадь .

Середины сторон любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями образуют прямоугольник.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником .

Японская теорема для вписанных четырехугольников ^[12] гласит, что инцентры четырех треугольников, определяемые вершинами вписанного четырехугольника, взятыми по три за раз, образуют прямоугольник.

Теорема о британском флаге гласит, что для любой точки P на той же плоскости прямоугольника с вершинами, обозначенными как A , B , C и D : ^[13]

${\displaystyle \displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.}$

Для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C таким образом, что гомотетическая копия R прямоугольника r будет описана около C , а положительный коэффициент гомотетии не будет превышать 2 и . ^[14] ${\displaystyle 0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)}$

Существует уникальный прямоугольник со сторонами и , где меньше , с двумя способами сгибания вдоль линии, проходящей через его центр, так что область перекрытия минимизируется, и каждая область дает другую форму – треугольник и пятиугольник. Уникальное соотношение длин сторон равно . ^[15] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \displaystyle {\frac {a}{b}}=0.815023701...}$

Перекрещенные прямоугольники

Пересеченный четырехугольник (самопересекающийся) состоит из двух противоположных сторон несамопересекающегося четырехугольника вместе с двумя диагоналями. Аналогично, пересеченный прямоугольник — это пересеченный четырехугольник , который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника вместе с двумя диагоналями. Он имеет то же расположение вершин , что и прямоугольник. Он выглядит как два одинаковых треугольника с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.

Перекрещенный четырехугольник иногда сравнивают с галстуком-бабочкой или бабочкой , иногда называют «угловой восьмеркой». Трехмерный прямоугольный проволочный каркас , который скручивается, может принять форму галстука-бабочки.

Внутренняя часть перекрещенного прямоугольника может иметь плотность полигонов ±1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации намотки (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Пересеченный прямоугольник можно считать равноугольным, если разрешены правые и левые повороты. Как и в случае любого пересеченного четырехугольника , сумма его внутренних углов составляет 720°, что позволяет внутренним углам появляться снаружи и превышать 180°. ^[16]

Прямоугольник и перечеркнутый прямоугольник — это четырёхугольники, обладающие следующими общими свойствами:

• Противоположные стороны имеют одинаковую длину.
• Две диагонали имеют одинаковую длину.
• Имеет две линии отражательной симметрии и вращательную симметрию 2-го порядка (на 180°).

Другие прямоугольники

Седловой прямоугольник имеет 4 неплоские вершины, чередующиеся с вершинами прямоугольного кубоида , с уникальной минимальной внутренней поверхностью, определяемой как линейная комбинация четырех вершин, создающая седловую поверхность. В этом примере показаны 4 синих ребра прямоугольника и две зеленые диагонали, все из которых являются диагоналями прямоугольных граней кубоида.

В сферической геометрии сферический прямоугольник — это фигура, четыре ребра которой являются дугами большого круга , которые встречаются под равными углами, большими 90°. Противоположные дуги имеют одинаковую длину. Поверхность сферы в евклидовой стереометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия — это простейшая форма эллиптической геометрии.

В эллиптической геометрии эллиптический прямоугольник — это фигура в эллиптической плоскости, четыре ребра которой являются эллиптическими дугами, которые встречаются под равными углами, большими 90°. Противоположные дуги имеют одинаковую длину.

В гиперболической геометрии гиперболический прямоугольник — это фигура на гиперболической плоскости, четыре стороны которой являются гиперболическими дугами, которые встречаются под равными углами, меньшими 90°. Противоположные дуги имеют одинаковую длину.

Тесселяции

Прямоугольник используется во многих периодических мозаичных узорах, например, в кирпичной кладке , в следующих мозаиках:

Квадратные, идеальные и другие мозаичные прямоугольники

Идеальный прямоугольник порядка 9

Самый низкий порядок полного квадрата (1) и три наименьших полных квадрата (2–4) – все являются простыми квадратами.

Прямоугольник, замощенный квадратами, прямоугольниками или треугольниками, называется «квадратным», «прямоугольным» или «триангулированным» (или «треугольным») прямоугольником соответственно. Замощенный прямоугольник является идеальным ^{[17] [18]} , если плитки похожи и их количество конечно, и нет двух плиток одинакового размера. Если две такие плитки имеют одинаковый размер, то замощение несовершенно . В совершенном (или несовершенном) треугольном прямоугольнике треугольники должны быть прямоугольными . Базу данных всех известных совершенных прямоугольников, совершенных квадратов и связанных с ними фигур можно найти на сайте squaring.net. Наименьшее количество квадратов, необходимое для идеальной замощения прямоугольника, равно 9 ^[19] , а наименьшее количество, необходимое для идеальной замощения квадрата, равно 21, найдено в 1978 году с помощью компьютерного поиска. ^[20]

Прямоугольник имеет соизмеримые стороны тогда и только тогда, когда его можно разбить на плитки из конечного числа неравных квадратов. ^{[17] [21]} То же самое верно, если плитки представляют собой неравные равнобедренные прямоугольные треугольники.

Укладки прямоугольников другими плитками, которые привлекли наибольшее внимание, — это укладки конгруэнтными непрямоугольными полимино , допускающими все вращения и отражения. Существуют также укладки конгруэнтными полиаболо .

Юникод

Следующие кодовые точки Unicode изображают прямоугольники:

 U+25AC ▬ ЧЕРНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК U+25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК U+25AE ▮ ЧЕРНЫЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК U+25AF ▯ БЕЛЫЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК

Смотрите также

• Кубоид
• Золотой прямоугольник
• Гиперпрямоугольник
• Суперэллипс (включает прямоугольник со скругленными углами)

Ссылки

1. Tapson, Frank (июль 1999 г.). «Сборник выдержек из словаря математики» (PDF) . Oxford University Press. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-05-14 . Получено 2013-06-20 .
2. "Определение продолговатого". Математика — это весело . Получено 13 ноября 2011 г.
3. Oblong – Geometry – Math Dictionary. Icoachmath.com. Получено 13 ноября 2011 г.
4. Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, М.С.; Миллер, Дж.С.П. (1954). «Однородные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 246 (916). Королевское общество: 401–450. Bibcode : 1954RSPTA.246..401C. doi : 10.1098/rsta.1954.0003. ISSN  0080-4614. JSTOR  91532. MR  0062446. S2CID  202575183.
5. Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Information Age Publishing, 2008, стр. 34–36 ISBN 1-59311-695-0 . 
6. Оуэн Байер; Феликс Лазебник; Дейрдре Л. Смельцер (19 августа 2010 г.). Методы евклидовой геометрии. MAA. стр. 53–. ISBN 978-0-88385-763-2. Получено 13 ноября 2011 г. .
7. Джерард Венема, «Изучение продвинутой евклидовой геометрии с помощью GeoGebra», MAA, 2013, стр. 56.
8. Josefsson Martin (2013). «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF) . Forum Geometricorum . 13 : 17–21.
9. Расширенная классификация четырехугольников. Архивировано 30 декабря 2019 г. на Wayback Machine (Отрывок из De Villiers, M. 1996. Some Adventures in Euclidean Geometry. University of Durban-Westville.)
10. Де Вильерс, Майкл, «Обобщение Ван Обеля с использованием двойственности», Mathematics Magazine 73 (4), октябрь 2000 г., стр. 303–307.
11. "Прямоугольник". Математика - это весело . Получено 2024-03-22 .
12. Вписанный четырехугольник с центром в окружности — прямоугольник. Архивировано 28 сентября 2011 г. на Wayback Machine с интерактивной анимацией, иллюстрирующей прямоугольник, который становится «перекрещенным прямоугольником», что является хорошим аргументом в пользу того, чтобы считать «перекрещенный прямоугольник» типом прямоугольника.
13. Холл, Леон М. и Роберт П. Роу (1998). «Неожиданный максимум в семействе прямоугольников» (PDF) . Mathematics Magazine . 71 (4): 285–291. doi :10.1080/0025570X.1998.11996653. JSTOR  2690700.
14. Лассак, М. (1993). «Приближение выпуклых тел прямоугольниками». Геометрии Дедиката . 47 : 111–117. дои : 10.1007/BF01263495. S2CID  119508642.
15. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A366185 (Десятичное разложение действительного корня уравнения пятой степени x 5 + 3 x 4 + 4 x 3 + x − 1 = 0 {\displaystyle \ x^{5}+3x^{4}+4x^{3}+x-1=0} )". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
16. Звезды: Второй взгляд. (PDF). Получено 13 ноября 2011 г.
17. RL Brooks; CAB Smith; AH Stone & WT Tutte (1940). «Разложение прямоугольников на квадраты». Duke Math. J. 7 (1): 312–340. doi :10.1215/S0012-7094-40-00718-9.
18. JD Skinner II; CAB Smith & WT Tutte (ноябрь 2000 г.). «О разбиении прямоугольников на прямоугольные равнобедренные треугольники». Журнал комбинаторной теории, серия B. 80 ( 2): 277–319. doi : 10.1006/jctb.2000.1987 .
19. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A219766 (Число неквадратных простых совершенных квадратов прямоугольников порядка n с точностью до симметрии)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
20. "Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds и Imperfect Simples". www.squaring.net . Получено 26.09.2021 .
21. Р. Спрэг (1940). «Ũber die Zerlegung von Rechtecken in lauter verschiedene Quadrate». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 1940 (182): 60–64. дои : 10.1515/crll.1940.182.60. S2CID  118088887.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Прямоугольник». MathWorld .
• Определение и свойства прямоугольника с интерактивной анимацией.
• Площадь прямоугольника с интерактивной анимацией.