Прямоугольная волна — это несинусоидальная периодическая волна , в которой амплитуда чередуется с постоянной частотой между фиксированными минимальными и максимальными значениями, с одинаковой длительностью в минимуме и максимуме. В идеальной прямоугольной волне переходы между минимумом и максимумом происходят мгновенно.
Прямоугольная волна — это особый случай пульсовой волны , который допускает произвольные длительности при минимальной и максимальной амплитуде. Отношение высокого периода к общему периоду пульсовой волны называется рабочим циклом . Истинная прямоугольная волна имеет рабочий цикл 50% (равные высокие и низкие периоды).
Прямоугольные волны часто встречаются в электронике и обработке сигналов , особенно в цифровой электронике и цифровой обработке сигналов . Их стохастический аналог — двухуровневая траектория .
Прямоугольные волны повсеместно встречаются в цифровых коммутационных схемах и естественным образом генерируются бинарными (двухуровневыми) логическими устройствами. Они используются в качестве опорных сигналов синхронизации или « тактовых сигналов », поскольку их быстрые переходы подходят для запуска синхронных логических схем в точно определенных интервалах. Однако, как показывает график частотной области, прямоугольные волны содержат широкий спектр гармоник; они могут генерировать электромагнитное излучение или импульсы тока, которые мешают другим близлежащим схемам, вызывая шум или ошибки. Чтобы избежать этой проблемы в очень чувствительных схемах, таких как прецизионные аналого-цифровые преобразователи , вместо прямоугольных волн в качестве опорных сигналов синхронизации используются синусоидальные волны .
В музыкальных терминах их часто описывают как звучащие пусто, и поэтому они используются в качестве основы для звуков духовых инструментов, созданных с помощью субтрактивного синтеза . Они также составляют «пикающие» оповещения, используемые во многих бытовых, коммерческих и промышленных контекстах. Кроме того, эффект искажения, используемый на электрогитарах, обрезает самые внешние области формы волны, заставляя ее все больше напоминать квадратную волну по мере применения большего искажения.
Простые двухуровневые функции Радемахера представляют собой прямоугольные волны.
Прямоугольная волна в математике имеет много определений, которые эквивалентны, за исключением точек разрыва:
Его можно определить просто как функцию знака синусоиды: которая будет равна 1, когда синусоида положительна, −1, когда синусоида отрицательна, и 0 на разрывах. Здесь T — период прямоугольной волны, а f — ее частота, которые связаны уравнением f = 1/ T .
Прямоугольную волну можно также определить относительно ступенчатой функции Хевисайда u ( t ) или прямоугольной функции Π( t ):
Прямоугольную волну можно также сгенерировать, используя функцию пола напрямую: и косвенно:
Используя ряд Фурье (ниже), можно показать, что функция пола может быть записана в тригонометрической форме [1]
Используя разложение Фурье с частотой цикла f за время t , идеальную прямоугольную волну с амплитудой 1 можно представить в виде бесконечной суммы синусоидальных волн:
Идеальная прямоугольная волна содержит только компоненты нечетно-целых гармонических частот (вида 2π(2 k − 1) f ).
Любопытным фактом о сходимости представления ряда Фурье прямоугольной волны является явление Гиббса . Можно показать, что артефакты звона в неидеальных прямоугольных волнах связаны с этим явлением. Явление Гиббса можно предотвратить, используя σ-приближение , которое использует сигма-факторы Ланцоша, чтобы помочь последовательности сходиться более гладко.
Идеальная математическая квадратная волна мгновенно переходит из высокого состояния в низкое и обратно, без пере- или недобросов. Этого невозможно достичь в физических системах, так как это потребовало бы бесконечной полосы пропускания .
Прямоугольные волны в физических системах имеют только конечную ширину полосы пропускания и часто демонстрируют эффекты звона , подобные эффектам явления Гиббса, или эффекты ряби, подобные эффектам σ-приближения.
Для разумного приближения к форме прямоугольной волны должны присутствовать как минимум основная и третья гармоники, а пятая гармоника желательна. Эти требования к полосе пропускания важны в цифровой электронике, где используются аналоговые приближения с конечной полосой пропускания для прямоугольных волновых форм. (Звенящие переходные процессы являются здесь важным электронным соображением, поскольку они могут выходить за пределы электрических номинальных пределов схемы или приводить к многократному пересечению плохо позиционированного порога.)
Как уже упоминалось, идеальная прямоугольная волна имеет мгновенные переходы между высоким и низким уровнями. На практике это никогда не достигается из-за физических ограничений системы, которая генерирует форму волны. Время, необходимое для того, чтобы сигнал поднялся с низкого уровня на высокий и обратно, называется временем нарастания и временем спада соответственно.
Если система передемпфирована , то форма волны может никогда не достичь теоретических высокого и низкого уровней, а если система недодемпфирована, она будет колебаться около высокого и низкого уровней, прежде чем стабилизируется. В этих случаях время нарастания и спада измеряется между указанными промежуточными уровнями, такими как 5% и 95% или 10% и 90%. Полоса пропускания системы связана со временем перехода формы волны; существуют формулы, позволяющие приблизительно определить одно из другого.
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=2\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {2(t-nT)}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1\\&=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[u\left({\frac {t}{T}}-n\right)-u\left({\frac {t}{T}}-n-{\frac {1}{2}}\right)\right]-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64023feb7c2635877ec4a5e073e8ab92e0223396)
