Прямой метод в вариационном исчислении

Метод построения доказательств существования и вычисления решений в вариационном исчислении

В математике прямой метод в вариационном исчислении — это общий метод построения доказательства существования минимизатора для заданного функционала , ^[1] введенный Станиславом Зарембой и Давидом Гильбертом около 1900 года. Метод основан на методах функционального анализа и топологии . Помимо использования для доказательства существования решения, прямые методы могут использоваться для вычисления решения с требуемой точностью. ^[2]

Метод

Вариационное исчисление имеет дело с функционалами , где — некоторое функциональное пространство и . Основной интерес предмета — нахождение минимизаторов для таких функционалов, то есть функций, таких, что для всех . ${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle J(v)\leq J(u)}$ ${\displaystyle u\in V}$

Стандартным инструментом для получения необходимых условий для функции, чтобы быть минимизатором, является уравнение Эйлера–Лагранжа . Однако поиск минимизатора среди функций, удовлетворяющих этим условиям, может привести к ложным выводам, если существование минимизатора не установлено заранее.

Функционал должен быть ограничен снизу, чтобы иметь минимизатор. Это означает, что ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,}$

Этого условия недостаточно, чтобы знать, что минимизатор существует, но оно показывает существование минимизирующей последовательности , то есть последовательности такой , что ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.}$

Прямой метод можно разбить на следующие этапы:

1. Возьмем минимизирующую последовательность для . ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle J}$
2. Покажите, что допускает некоторую подпоследовательность , которая сходится к относительно топологии на . ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle (u_{n_{k}})}$ ${\displaystyle u_{0}\in V}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle V}$
3. Покажите, что является последовательно полунепрерывным снизу относительно топологии . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \tau }$

Чтобы увидеть, что это доказывает существование минимизатора, рассмотрим следующую характеристику последовательно полунепрерывных снизу функций.

Функция последовательно полунепрерывна снизу, если ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$для любой сходящейся последовательности в . ${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$ ${\displaystyle V}$

Выводы следуют из

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}}$,

другими словами

${\displaystyle J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}}$.

Подробности

Банаховы пространства

Прямой метод часто может быть успешно применен, когда пространство является подмножеством сепарабельного рефлексивного банахова пространства . В этом случае последовательная теорема Банаха–Алаоглу подразумевает, что любая ограниченная последовательность в имеет подпоследовательность, которая сходится к некоторой в относительно слабой топологии . Если является последовательно замкнутым в , так что находится в , прямой метод может быть применен к функционалу , показывая ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$

1. ${\displaystyle J}$ограничен снизу,
2. любая минимизирующая последовательность для ограничена, и ${\displaystyle J}$
3. ${\displaystyle J}$слабо секвенциально полунепрерывна снизу, т.е. для любой слабо сходящейся последовательности справедливо, что . ${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$

Вторая часть обычно выполняется путем демонстрации того, что допускает некоторое условие роста. Примером может служить ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta }$для некоторых , и . ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle q\geq 1}$ ${\displaystyle \beta \geq 0}$

Функционал с таким свойством иногда называют коэрцитивным. Демонстрация последовательной полунепрерывности снизу обычно является самой сложной частью при применении прямого метода. Ниже приведены некоторые теоремы для общего класса функционалов.

Соболевские пространства

Типичным функционалом в вариационном исчислении является интеграл вида

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$

где — подмножество и — вещественная функция на . Аргумент — дифференцируемая функция , а ее якобиан отождествляется с -вектором. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \nabla u(x)}$ ${\displaystyle mn}$

При выводе уравнения Эйлера–Лагранжа общепринятый подход заключается в предположении, что имеет границу, и пусть область определения для будет . Это пространство является банаховым пространством, если наделено супремум-нормой , но оно не рефлексивно. При применении прямого метода функционал обычно определяется на пространстве Соболева с , которое является рефлексивным банаховым пространством. Производные в формуле для тогда должны быть взяты как слабые производные . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle J}$

Другое общее функциональное пространство — это которое является аффинным подпространством функций, след которых является некоторой фиксированной функцией в образе оператора следа. Это ограничение позволяет находить минимизаторы функционала , которые удовлетворяют некоторым желаемым граничным условиям. Это похоже на решение уравнения Эйлера–Лагранжа с граничными условиями Дирихле. Кроме того, существуют настройки, в которых есть минимизаторы в , но нет в . Идею решения задач минимизации при ограничении значений на границе можно дополнительно обобщить, рассмотрев функциональные пространства, где след фиксирован только на части границы и может быть произвольным на остальной части. ${\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

В следующем разделе приводятся теоремы о слабой секвенциальной полунепрерывности снизу функционалов указанного типа.

Последовательная нижняя полунепрерывность интегралов

Так как многие функционалы в вариационном исчислении имеют вид

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$,

где открыто, теоремы, характеризующие функции , для которых слабо секвенциально полунепрерывно снизу по имеет большое значение. ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

В общем, есть следующее: ^[3]

Предположим, что это функция, обладающая следующими свойствами: ${\displaystyle F}$

1. Функция является функцией Каратеодори . ${\displaystyle F}$
2. Существуют сопряженные по Гёльдеру и такие , что следующее неравенство справедливо для почти любого и любого : . Здесь обозначает скалярное произведение Фробениуса и в ). ${\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ ${\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$ ${\displaystyle F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)}$ ${\displaystyle \langle a(x),A\rangle }$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}}$

Если функция выпукла для почти каждого и каждого , ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$

тогда последовательно слабо полунепрерывен снизу. ${\displaystyle J}$

Когда или имеет место следующая обратная теорема ^[4] ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle m=1}$

Предположим, что является непрерывным и удовлетворяет условию ${\displaystyle F}$

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

для любого , и фиксированной функции, возрастающей по и , и локально интегрируемой по . Если является последовательно слабо полунепрерывной снизу, то для любого заданного функция является выпуклой. ${\displaystyle (x,y,A)}$ ${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$ ${\displaystyle |y|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

В заключение следует отметить, что при или функционал , предполагающий разумный рост и ограниченность на , является слабо секвенциально полунепрерывным снизу тогда и только тогда, когда функция выпукла. ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

Однако есть много интересных случаев, когда нельзя предположить, что является выпуклым. Следующая теорема ^[5] доказывает последовательную полунепрерывность снизу, используя более слабое понятие выпуклости: ${\displaystyle F}$

Предположим, что это функция, обладающая следующими свойствами: ${\displaystyle F:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}\to [0,\infty )}$

1. Функция является функцией Каратеодори . ${\displaystyle F}$
2. Функция имеет -рост для некоторых : Существует константа такая, что для каждого и для почти каждого . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq C(1+|y|^{p}+|A|^{p})}$
3. Для каждого и для почти каждого функция является квазивыпуклой: существует куб такой, что для каждого выполняется: ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{mn},\varphi \in W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

$${\displaystyle F(x,y,A)\leq |D|^{-1}\int _{D}F(x,y,A+\nabla \varphi (z))dz}$$

где объем .​​ ${\displaystyle |D|}$ ${\displaystyle D}$

Тогда последовательно слабо полунепрерывна снизу по . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

Обратной теоремой в этом случае является следующая: ^[6]

Предположим, что является непрерывным и удовлетворяет условию ${\displaystyle F}$

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

для любого , и фиксированной функции, возрастающей по и , и локально интегрируемой по . Если является последовательно слабо полунепрерывной снизу, то для любого заданного функция является квазивыпуклой. Утверждение верно даже тогда, когда оба больше и совпадает с предыдущим утверждением, когда или , поскольку тогда квазивыпуклость эквивалентна выпуклости. ${\displaystyle (x,y,A)}$ ${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$ ${\displaystyle |y|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1}$

Примечания

1. Дакоронья, стр. 1–43.
2. И. М. Гельфанд; С. В. Фомин (1991). Вариационное исчисление . Dover Publications. ISBN 978-0-486-41448-5.
3. Дакоронья, стр. 74–79.
4. Дакоронья, стр. 66–74.
5. Ачерби-Фуско
6. Дакоронья, стр. 156.

Ссылки и дополнительная литература

• Дакоронья, Бернард (1989). Прямые методы в вариационном исчислении . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
• Фонсека, Ирене ; Джованни Леони (2007). Современные методы в вариационном исчислении: пространства ${\displaystyle L^{p}}$ . Springer. ISBN 978-0-387-35784-3.
• Морри, К. Б., младший: Кратные интегралы в вариационном исчислении . Springer, 1966 (переиздано в 2008 г.), Берлин ISBN 978-3-540-69915-6 . 
• Йиндржих Нечас: Прямые методы в теории эллиптических уравнений . (Перевод с французского оригинала 1967 г. А.Куфнера и Г.Тронеля), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-10455-8 . 
• T. Roubíček (2000). «Прямой метод для параболических задач». Adv. Math. Sci. Appl . Vol. 10. pp. 57–65. MR  1769181.
• Ачерби Эмилио, Фуско Никола. "Проблемы полунепрерывности в вариационном исчислении". Архив для Rational Mechanics and Analysis 86.2 (1984): 125-145