Псевдоголоморфная кривая

В математике , в частности в топологии и геометрии , псевдоголоморфная кривая (или J -голоморфная кривая ) — это гладкое отображение римановой поверхности в почти комплексное многообразие , удовлетворяющее уравнению Коши–Римана . Введенные в 1985 году Михаилом Громовым , псевдоголоморфные кривые с тех пор произвели революцию в изучении симплектических многообразий . В частности, они приводят к инвариантам Громова–Виттена и гомологиям Флоера и играют важную роль в теории струн .

Определение

Пусть будет почти комплексным многообразием с почти комплексной структурой . Пусть будет гладкой римановой поверхностью (также называемой комплексной кривой ) со сложной структурой . Псевдоголоморфная кривая в — это отображение , удовлетворяющее уравнению Коши–Римана ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:C\to X}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=0.}$

Так как , то это условие эквивалентно ${\displaystyle J^{2}=-1}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

что просто означает, что дифференциал является комплексно-линейным, то есть отображает каждое касательное пространство ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

к себе. По техническим причинам часто бывает предпочтительнее ввести какой-либо неоднородный член и изучить отображения, удовлетворяющие возмущенному уравнению Коши–Римана ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f=\nu .}$

Псевдоголоморфная кривая, удовлетворяющая этому уравнению, может быть названа, более конкретно, -голоморфной кривой . Иногда предполагается, что возмущение порождается гамильтонианом ( особенно в теории Флоера), но в общем случае это не обязательно. ${\displaystyle (j,J,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

Псевдоголоморфная кривая по определению всегда параметризована. В приложениях часто действительно интересуются непараметризованными кривыми, то есть вложенными (или погруженными) двумерными подмногообразиями , поэтому выполняется модификация с помощью репараметризаций области, которые сохраняют соответствующую структуру. В случае инвариантов Громова–Виттена, например, мы рассматриваем только замкнутые области фиксированного рода и вводим отмеченные точки (или проколы ) на . Как только проколотая эйлерова характеристика становится отрицательной, существует только конечное число голоморфных репараметризаций , которые сохраняют отмеченные точки. Кривая области является элементом пространства модулей Делиня–Мамфорда кривых . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2-2g-n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Аналогия с классическими уравнениями Коши–Римана

Классический случай имеет место, когда и оба являются просто плоскостью комплексных чисел . В действительных координатах ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle j=J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},}$

и

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}du/dx&du/dy\\dv/dx&dv/dy\end{bmatrix}},}$

где . После умножения этих матриц в двух разных порядках сразу видно, что уравнение ${\displaystyle f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j}$

Записанное выше эквивалентно классическим уравнениям Коши–Римана

${\displaystyle {\begin{cases}du/dx=dv/dy\\dv/dx=-du/dy.\end{cases}}}$

Приложения в симплектической топологии

Хотя они могут быть определены для любого почти комплексного многообразия, псевдоголоморфные кривые особенно интересны, когда взаимодействуют с симплектической формой . Почти комплексная структура называется -ручной тогда и только тогда, когда ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (v,Jv)>0}$

для всех ненулевых касательных векторов . Ручность подразумевает, что формула ${\displaystyle v}$

${\displaystyle (v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)}$

определяет риманову метрику на . Громов показал, что для заданного пространство -tame непусто и стягиваемо . Громов использовал эту теорию для доказательства теоремы о несжимаемости, касающейся симплектических вложений сфер в цилиндры. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$

Громов показал, что некоторые пространства модулей псевдоголоморфных кривых (удовлетворяющих дополнительным указанным условиям) являются компактными , и описал способ, которым псевдоголоморфные кривые могут вырождаться, когда предполагается только конечная энергия. (Условие конечной энергии выполняется в первую очередь для кривых с фиксированным классом гомологии в симплектическом многообразии, где J является -ручным или -совместимым). Эта теорема Громова о компактности , теперь значительно обобщенная с использованием устойчивых отображений , делает возможным определение инвариантов Громова–Виттена, которые учитывают псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Компактные пространства модулей псевдоголоморфных кривых также используются для построения гомологии Флоера , которую Андреас Флоер (и более поздние авторы, в большей общности) использовали для доказательства знаменитой гипотезы Владимира Арнольда о числе неподвижных точек гамильтоновых потоков .

Приложения в физике

В теории струн типа II рассматриваются поверхности, вычерченные струнами, когда они движутся по путям в 3-кратном пространстве Калаби–Яу . Следуя формулировке интеграла по траектории квантовой механики , требуется вычислить определенные интегралы по пространству всех таких поверхностей. Поскольку такое пространство бесконечномерно, эти интегралы по траектории в общем случае не определены математически хорошо. Однако при A-твисте можно вывести, что поверхности параметризованы псевдоголоморфными кривыми, и поэтому интегралы по траектории сводятся к интегралам по пространствам модулей псевдоголоморфных кривых (или, скорее, устойчивых отображений), которые являются конечномерными. Например, в теории струн закрытого типа IIA эти интегралы являются в точности инвариантами Громова–Виттена .

Смотрите также

• Голоморфная кривая

Ссылки

• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон , J-голоморфные кривые и симплектическая топология , публикации коллоквиума Американского математического общества, 2004. ISBN  0-8218-3485-1 .
• Михаил Леонидович Громов , Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях, Inventiones Mathematicae, т. 82, 1985, стр. 307-347.
• Дональдсон, Саймон К. (октябрь 2005 г.). «Что такое... псевдоголоморфная кривая?» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 52 (9): 1026–1027 . Получено 17.01.2008 .